渠伟

高中的周期问题是一个小而常用的知识点。说它小：课本只在三角函数性质中给出了定义，篇幅较少，介绍较为简单;说它常用：在考试中其作为函数的重要性质，经常性出现在选择题，甚至解答题中，可见其重要性。现笔者就高中函数的周期性问题进行总结、归纳。

一、定义

对于函数y=f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x）=f（x+t）都成立，則称y=f（x）为周期函数。对此定义的理解，应注意以下几点：

1.高中教材中关于函数周期的内容只有定义，这就要求解答题中关于函数周期的证明只能回到定义中。即必须证明f（x）=f（x+t）成立。

例如，2001年高考数学（文科）第22题，设f（x）是定义在R上的偶函数，其图像关于x=1对称，证明：y=f（x）是周期函数。

证明：依题设y=f（x）关于直线x=1对称，故f（x）=f（2-x）.

又由y=f（x）为偶函数，故f（x）=f（-x）。

所以，f（-x）=f（2-x）。将上式中-x代换为x，

则得f（x）=f（x+2）.所以y=f（x）是以2为周期的周期函数。

2.周期函数的定义要求对于定义域内的每一个x，都有f（x）=f（x+t）成立，而不是某几个特殊值，因此函数定义域必须至少有一侧趋于无穷大。即有一侧无界。

3.周期函数的周期肯定有无数个，若T为周期，则2T，3T，…nT也均为其周期，所以课本中出现了最小正周期的概念。对于一个函数f（x），如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f（x）的最小正周期。

4.周期函数可以无最小正周期。如常函数y=a。

二、周期的判断公式

解题过程中，要记住周期判断的几个变式：

1.f（x+T）=f（x） ？圳y=f（x）的周期为T

2.f（x+a）=f（b+x）（a

3.f（x+a）=-f（x） ？圳y=f（x）的周期为T=2a

4.f（x+a）=（c为常数） ？圳y=f（x）的周期为T=2a

5.f（x+a）=- ？圳y=f（x）的周期为T=4a

6.f（x+a）=- ？圳y=f（x）的周期为T=4a

7.f（x+2a）=f（x+a）-f（x） ？圳y=f（x）的周期为T=6a

这些都是周期的判断公式，其基础都是源于周期函数的定义。有了这些周期判断公式后，解决函数周期问题将变得简单、方便，下面试举几例。

例1.函数f（x）对任意实数x满足f（x+3）=，若f（-1）=3，f（5）=   .

解析：抽象函数周期推导总是以原恒成立等式推导而出。

解：由题意有f（x+3+3）===f（x）=f（x+6），故函数是周期函数，其中一个周期为6，故f（-1）=f（-1+6）=f（5）=3.

三、函数中对称性、奇偶性与周期性关系

（1）函数y=f（x）满足f（a+x）=（a-x）（a>0）恒成立，若f（x）为奇函数，则其周期为T=4a。

（2）函数y=f（x）满足f（a+x）=（a-x）（a>0）恒成立，若f（x）为偶函数，则其周期为T=2a。

以上两个性质的证明可以参考开篇提到的2001年高考数学（文科）第22题的证明方法，在此就不重复证明。下面试举其他几例，说明它们三者的关系。

1.函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则（  ）

A.f（x）是偶函数 B.f（x）是奇函数

C.f（x）=f（x+2） D.f（x+2）是奇函数

证明：若f（x+1）是奇函数，则f（-x+1）=-f（x+1）

因为f（x-1）是奇函数，则f（-x-1）=-f（x-1）？圳f[-（x+2）-1]=-f[（x+2）-1]=-f（x+1）

则：f（-x+1）=f[-（x+2）-1]=f（-x-3）？圳f（-x+1）=f（-x-3）？圳f（x+1）=f（x-3）

则f（x）是以4为周期的函数，即：f（x）=f（x+4）

又：f（-x+1）=-f（x+1）？圳f[-（x+4）+1]=-f[（x+4）+1]？圳f（-x-3）=-f（x+5），f（x+5）=f（x-3）

所以：f（-x-3）=-f（x-3），即：f（x+3）是奇函数。

以上是笔者对高中函数周期性的一些理解，周期作为函数的重要性质，在将来的考试中必然作为比较重点的知识进行考查，希望能给读者带来一些帮助。

？誗编辑 杨兆东