三角函数的图象与性质

2015-10-21崔兴清

新课程学习·下 2015年2期

关键词：三角函数知识点教学策略

崔兴清

摘要：三角函数一直是高中数学的重点，也是一个难点，许多学生学不好数学，觉得三角函数方面的知识太难理解，其实只要学生认真学习，三角函数解题还是有规律可循的。从三角函数的图象和性质出发探讨如何实现教学的有效性。

关键词：三角函数;知识点;教学策略

数学一直都被认为是一门比较抽象的科目，但其实，只要学生结合图象和性质，加上老师的有效教学方式，学生掌握起来也就没那么难了。本文就以三角函数为例，根据知识点解析教师如何进行教学。

一、三角函数的主要知识点

1.三角函数的单调性与值域

求三角函数的值域，首先必须要清楚其单调性以及在定义域的范围内。很多学生都会忽略定义域，这是不能小视的，因为定义域不同，值域也可能是不同的。教师在教这方面知识的时候要重点提醒学生千万不能忘记值域范围内的定义域。

而最好解决这个问题的办法就是数形结合，虽然并不是适用于所有题型，但是一般都比较适用，而且图形是最直观的东西，出错率会没那么高。

例：求函数y=的值域。

解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P（cosx，sinx）与定点Q（2，0）所确定的直线斜率的范围。作出如图1的图象，当过Q点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数y=的最值，由几何知识易求得过Q的两切线的斜率分别为-、。结合图形可知，此函数的值域是[-、]。

图1

值域就是在定义域内求最大值或者最小值，解题思路就是：首先，明确定义域;然后，求该函数在定义域内的单调性，根据其单调性找出最值。

2.三角函数的奇偶性与图象的对称性

三角函数是对称的图形，我们根据其对称性，可以求其对称轴、对称坐标等。

例：函数y=3sin（2x+）图象的一条对称轴方程是（）

A.x=0 B.x= C.x=- D.x=

解：由性质1知，令3sin（2x+）=±1，得2x+=kπ+（k∈Z），即x=π+（k∈Z），取k=1时，x=，故选B。

例：求函数y=3tan（2x+）的对称中心的坐标。

解：由性质3知，令tan（2x+）=0，得2x+=kπ（k∈Z），即x=π-（k∈Z），所以函数y=3tan（2x+）的图象的对称中心是（π-，0）（k∈Z）。

3.三角函数的周期性与图象的变换

三角函数是具有周期性的，图象的变换与周期性密切相关。

例：已知函数f（x）=sin（x-）（x∈R），下面结论错误的是（）

A.函数f（x）的最小正周期为2π

B.函数f（x）在区间[0，]上是增函数

C.函数f（x）的图象关于直线x=0对称

D.函数f（x）是奇函数

分析：先利用三角函数的诱导公式化简f（x），利用三角函数的周期公式判断出A正确;利用余弦函数图象判断出B错误;利用三角函数的奇偶性判断出C，D正确。

二、教学策略

1.以学生为主体

学生是学习的主体，老师要多倾听学生的意见，了解关于三角函数这个知识点，学生的薄弱环节是什么，然后一一击破。因为学好三角函数最重要的是理解，对性质的深刻理解，所有的题目都是万变不离其宗的，只要对性质有深刻的了解，解答题目也就轻松多了，不论是求值域、对称轴，还是周期，只要把握奇函数和偶函数的性质，知道其变换方式，就能很好地答题。但是，很多老师都不了解學生究竟是哪里不明白，所以就要给学生表达意见的机会，以学生为中心，毕竟数学是不能靠死记硬背达到效果的。

2.联想法

奇函数和偶函数的联系是密切的，学生要对图象有一个基本的了解和记忆，因为这样才能更好地答题，所以，教师在教学中，可以由奇函数或者偶函数为切入点，根据两者的联系，再讲另一个，这样，学生能比较好地掌握函数的图象和性质，当遗忘了另一个性质的时候，还能很好地根据记住的这个联想起来。

如下图（图3，图4）：

图3

y=sinx向左移动π，得到：

图4

联系两者，加深学生的印象。

3.数图结合

数图结合是数学解答中常用的方法，因为图片看起来更加具体，没有那么抽象，可以说是化抽象为具体，学生答题时，可以充分利用这种方法。但是，教师首先要重视数图结合的方法，在平时的三角函数教学中，在知识点的讲解中，要重视这个方法，给学生树立一个参照的对象，让学生在答题时，一看到某种题型，就想起这种方法。

例：已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R.

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期;

（Ⅱ）求函数f（x）在区间[，]上的最小值和最大值。