叶为川

摘 要：在高三数学复习中，专题性质的复习课是高三复习课的一种重要模式。而有效教学设计是提高高三专题复习课效率的重要途径。有效的教学设计必须在课题的选择、数学思想方法的合理渗透、例题与练习的选择与设置、对学生思维的启发与引导、方法的提炼与思维的拓展等方面得到真正贯彻与落实。

关键词：高三数学;专题复习;有效教学

围绕“如何能使高三的专题复习课更加有效”这一主题，2012年10月14日，本人在我校高中数学教研组主题研讨会上开了一段片段教学“应用基本不等式求最值问题”，以下呈现该片段教学的教学设计，希望能与同行进行交流，以期抛砖引玉。

一、教学目标

（1）知识目标：熟练理解掌握课本两个基本不等式，并能灵活选用基本不等式解决求最大与最小值的问题。

（2）能力目标：培养学生的观察分析，拓展延伸，发现新结论与新方法的能力;培养学生抽象概括，转化化归以及应用数学知识解决问题的能力。

（3）情感态度与价值观：课堂教学中，学生通过对基本问题与基本方法的观察分析，拓展延伸，培养了细心观察，敢于探索，大胆发现的科学创新精神与能力。循序渐进的问题设置，激发了文科学生学习数学的自信心与积极性，提高了学习效率。

二、教学重点

基本不等式的回顾与拓展，灵活选用基本不等式解决一类求最大与最小值的问题。

三、教学难点

（1）理解应用基本不等式求最值的三个条件：“一正、二定、三相等”。

（2）灵活选用基本不等式解决求最大与最小值的问题。

四、学生特征分析

教学对象是高三文科班学生，数学基础相对较弱;从学习数学的心理角度分析，相当部分学生害怕数学。学习方式更趋于背与记，思维不够灵活，学习数学效率较低。比较适合的教学方式是教师表达数学方式通俗易懂，如教师语言通俗易懂，错综复杂关系，抽象问题借助图表表述使其更生动形象等。问题的设置简单精致而内涵丰富，教学过程循序渐进等。

五、教学方法

引导学生回顾基本不等式及成立的条件，并在此基础上启发学生探讨几个基本不等式的内在联系，进一步发现新的不等式及在解决数学问题中的应用;在对例题的分析过程中，引导学生在对已知条件分析透彻的前提下恰当进行问题转换。求最值问题的关键是锁定目标函数，根据题设条件与目标函数的特征灵活选择基本不等式求目标函数的最值。

六、本节课的构想

本片段教学构想分成两部分，其一：加深对基本不等式的理解，拓展基本不等式：在引导学生对基本不等式进行回顾的基础上，引导学生对基本不等式的简单证明、成立的条件进行理解与分析，然后进一步引导学生揭示基本不等式的内在联系，发现新的基本不等式及其应用。目的在于使复习课能够以点带面，夯实基础，形成知识体系;其二：灵活选用基本不等式解决最值问题。应用基本不等式解决有关最值的问题是新教材、新课标、新考纲的要求，教学时，我根据文科学生的特点，设置一些学生熟悉的、简单精致但蕴含丰富数学思想的问题，引导学生进行观察、分析与转化，让学生学会如何根据题设条件灵活选用基本不等式来解决最值问题，提高学生分析与解决问题的能力，提高学习效率。

七、教学过程

过程1：引导学生对基本不等式进行回顾：

师：同学们，请你们回顾一下，我们学过哪些基本不等式呢？（教师板书）

预设：学生平时应用较多的是a+b≥2（a>0，b>0），ab≤（a>0，b>0），a2+b2≥2ab（a∈R，b∈R）当且仅当a=b时取等号。

师：在应用基本不等式ab≤求最值时，常要求a>0，b>0，请同学们思考一下，a，b在实数范围内会成立吗？为什么？

预设：在教师引导下，学生对不等式进行等价变形，能发现在实数范围内不等式也会成立。

师：还有其他的基本不等式吗？（学生疑惑）

师：我們来看看这几个基本不等式之间的内在联系：我们对这几个基本不等式进行归纳，发现它们之间的关系无非就是两个数的和与积的关系，平方和与积的关系，我们用一个三角形的示意图来揭示它们之间的关系如图，这个图引导我们进一步思考：两个数的和与平方和之间有没有一个不等式相联呢？

师：能不能从a2+b2≥2ab（a∈R，b∈R）这个不等式上找到答案？观察这个不等式，左边已是平方和，右边能否转化为和？如何转化？只要在不等式的左右两边同时加上a2+b2，就得到联系平方和与和的不等关系：2（a2+b2）≥2（a+b）2（a∈R，b∈R）。补充结构图：

过程2：应用基本不等式求最值：

师：今天这节课我们来解决一个问题：灵活选用基本不等式解决有关最值的问题。

利用基本不等式求最值的方法的回顾及方法的提炼：

（1）用基本不等式求最值要注意：一正（两个数为正数）、二定（定值）、三相等（能取得到等号）

（2）当两个正数的积为常数，和有最小值，常用不等式：

a+b≥2（a>0，b>0，），当且仅当a=b时取等号。

（3）当两个正数的和为常数，则这两个正数的积有最大值，常用不等式：

ab≤（a>0，b>0），当且仅当a=b时取等号。

（4）当涉及两个正数的平方和与积时，通常选用基本不等式：

a2+b2≥2ab（a∈R+，b∈R+），当且仅当a=b时取等号。

（5）当涉及两个正数的平方和与这两个数的和时，通常选用基本不等式：

2（a2+b2）≥2（a+b）2（a∈R+，b∈R+），当且仅当a=b时取等号。

过程3：典例分析

例1：已知一个直角三角形的斜边长为2。

（1）求这个直角三角形面积的最大值;

（2）求这个直角三角形周长的最大值。

设计意图：这个问题的设置是在研究课本例题的基础上进行变式，克服学生的思维定势，引导学生根据题设条件与目标函数的关系恰当灵活地选用基本不等式（选择平方和与积以及平方和与和的不等关系）解决问题。

例2：若两个正数a，b满足ab=a+b+3：

（1）求ab的范围;

（2）求a+b的范围。

设计意图：培养学生观察分析问题的能力，引导学生根据题设条件与问题灵活选用基本不等式（选择和与积的不等关系）解决问题。其中渗透了已知与未知之间的转化化归思想（已知和与积的关系，要求积的范围，如何把和转化为积;要求和的范围，又如何把积转化为和）以及换元的思想。

例3：三角形△ABC中，A，B，C所對的边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，求角B的范围。

设计意图：这个问题综合性较强，涉及数列，三角函数，余弦定理及基本不等式知识，目的在于训练学生综合应用知识的能力。教学中，我引导学生把已知条件分析透彻，由已知：2b=a+c，给出的是三角形边的关系。要求三角形角的范围，引导学生思考：如何将三角形的边与角联系起来？三角函数！根据已知条件特点，将目标函数定为角B的余弦！

（当且仅当a=c时取等号），由余弦函数图象，得角B的范围为：

cosB===-≥-=（当且仅当a=c时取等号），由余弦函数图象，得角B的取值范围为：（0，]。

过程4：总结与提升：

引导学生对例题进行回顾与反思，提炼解题方法。

常见问题的回顾及方法的提炼：

（1）用基本不等式求最值要注意：一正（两个数为正数）、二定（定值）、三相等（能取得等号）

（2）当涉及两个正数的和与积关系时，常用不等式：

a+b≥2（a>0，b>0）或ab≤（a>0，b>0），

当且仅当a=b时取等号。

（3）当涉及两个正数的平方和与积的关系时，通常选用基本不等式：

a2+b2≥2ab（a∈R+，b∈R+），当且仅当a=b时取等号。

（4）当涉及两个正数的平方和与这两个数的和的关系时，通常选用基本不等式：

2（a2+b2）≥2（a+b）2（a∈R+，b∈R+），当且仅当a=b时取等号。

（4）三个基本不等式之间的三角关系

参考文献：

陈日斌.巧用基本不等式变形解题[J].高中数学教与学，2014（1）.

？誗编辑 李建军