李善国

一、理论研究

认知心理学研究告诉我们，学生学习数学的过程实际上是一个数学认知的过程，在这个过程中学生在教师的指导下把教材知识结构转化成自己的数学认知结构。《数学课程标准》要求：教师要积极利用各种教学资源，创造性地使用教材，设计适合学生发展的教学过程。因此，教学过程中，教师必须联系实际提高处理教材的能力，用自己的慧眼去发现教材中的生成点，变教教材为用教材。在数学教学中促进学生积极主动发展的有效途径就是让学生积极参与到数学知识的学习探究过程中来，使学生经历数学概念的形成、法则的概括、公式的推导、规律的揭示过程。这一过程应是在教师的精心设计下，学生运用已有的知识、经验积极探索未知的数学知识的过程，是学生数学知识的“发现”和数学知识的“再创造”的过程。

原型启发是指从事物的相似或类比中看到或发现问题解决的途径。其中具有启发作用的事物或现象叫做原型。利用原型启发，可以发展类比推理，有助于培养创造力。原型启发在创造性地解决问题中起着很大的作用。原型之所以具有启发作用，主要因为原型与所要解决的问题有某些共同点或相似点，所以可以使人通过联想把问题转化，找到解决问题的方法。数学知识充满着原型，它是对学生创新意识培养的良好载体，利用原型进行启发训练，不仅有利于问题的解决，而且能点燃学生创造性思维的火花。

二、实践案例

在学习人教版数学八年级上册“角的平分线的性质”时，为了让学生更好地掌握和理解本节知识，我把本节内容安排成了2课时，第1课时主要让学生动手学会怎样作一个角的平分线（尺规作图），并通过证明明白其原理，在此基础上猜想、探索角平分线的性质并加以证明，得出定理。第2课时我先让学生回忆并复述了角的平分线的性质，再让学生将定理的条件与结论“换位”得到一个新命题，说出这个新命题的内容，并判断命题是真命题还是假命题？学生分析、讨论，用文字叙述内容并加以证明。这两课时中命题的证明都是应用了三角形的全等进行证明，学生能自主解决。我对本节内容进行了简单的小结：本节内容的重点是角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。性质定理和它的逆定理为我们证明线段相等（利用角平分线的性质定理）、角相等（利用角平分线的性质定理的逆定理）提供了新的方法。为了让学生理解和应用所学的定理，在头脑中构建起问题原型，以便在以后解决类似问题时能更快的识别和联想，我利用教材中的例题作为问题原型对问题进行了几种变式。

例1： 如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。

求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。

这是教材的例题，学生通过预习交流，已顺利解决。我投放了问题2。

[图1] [A][B][C][N][M][P][图2][Q] [A][B][C][N][M][P]

问题2：如图2，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。

求证：AP平分∠BAC。

学生独立思考几分钟后，多数学生已经找到了证明的思路。

生1：要证明AP平分∠BAC，只要证明点P到∠BAC的两边AB、AC距离相等，而从例1中我们已经得出了结论点P到三边AB、BC、CA的距离都相等，所以……

生2：问题2实际上可以转化为例1。

为了把问题更进一步，我又投放了问题3。

问题3：求证：三角形的内角平分线交于一点。

学生马上画出图形，独立思考后展开交流。

生3：通过图形我们可以看，很显然三角形的内角平分线交于一点。

师：大家知道一个数学问题的结论要通过严格的证明和推理来获得的，不能用显然……那么应该怎么证明呢？

学生展开热烈的讨论，我巡视时询问后发现学生还是不知道如何表达解题过程。

生4：这道题的图形和问题2是一样的，但我还是不知道怎么说明三条线交于一点……

师：我们已经学过，两条直线相交……

生集体：只有一个交点。

师：如果第三条直线再……

生5：再和他们相交（生6插：应该说再经过这个交点），那么这三条线就交于一点。

生7：我知道了，应该先把P点确定为∠ABC和∠ACB的交点，然后再证明点P在∠BAC的平分線上，这样的话实际上就是问题2了。

师：说的很准确，这也为我们提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。

我继续投放问题4和问题5。

问题4：如图3，在三条两两相交的公路之间要建一座加油站，要使加油站到三条公路的距离相等，请你确定加油站的位置。

[图3][图4] [A][B][C][P]

问题5：如图4，将例1中的内角平分线改成外角平分线，请你说出会有哪些正确的结论？

问题4和问题5还是问题原型例1的变式，解题方法学生已掌握，学生都顺利完成，积极回答，效果很好。为了加深学生对这道问题原型的了解，我还留了2道课外作业，让学生继续交流探索。

问题6：在△ABC所在的平面上，一共能找出几个点，这个点到△ABC各边的距离相等？

问题7：等腰三角形ABC中，腰AB=AC=5，BC=6，在△ABC内有一点P，且P到△ABC各边的距离都相等，求出这个距离？（提示：利用三角形的面积求）

三、教后反思

本节课的大部分时间都用在了都对问题原型的各种变式的探索研究上，但我相信通过这节课，学生能够对这道问题原型有着清晰的认识和深刻的记忆，以后在解决此类问题是能够真正做到举一反三，而且通过这节课，学生对数学解题的思想——转化思想会有更深的理解。

在教学时，教师要以问题原型为基础，引导学生由眼前的知识联想到相关的知识和经验，从而探索出新的思路，以解决问题。为此，教师在教学时，一方面要注意组织启发学生进行联想，让学生从“原型”中通过联想，发展创造性思维，。另一方面应帮助学生积聚“原型”，使学生在潜移默化中学到有关联想以及转化的思想和方法，学会把复杂的数学问题转化分解为简单的问题原型，从而使学生在遇到困难时，能自觉地利用问题原型作为桥梁，准确地找到问题的答案。

（责编 赵建荣）