李思农

摘要：凡是提到相对论，都会只使用一种特殊的相对运动：相对运动方向沿x轴。这种情况最简单，却也容易引起歧义。所以本文将给出任意相对速度方向下的洛伦兹变换以供读者参考、使用。

关键词：相对论 任意相对速度 洛伦兹变换

一、引言

在许多文献和参考书中，都提到了两个做相对运动的惯性系，几乎全部都选取了一个特殊的情况：相对速度v的方向与两坐标系的x轴方相同（如图1）。这种情况下的洛伦兹变换关系是最简单的。尽管有简单的好处，但是在一般情况下，或者在讲到四维动量、四维力时，相对速度方向仅与x轴方向相同就显得不太够了，它展示出来的物理图像过于“特殊情况”或者不完整，容易引起很多歧义。所以，本文将给出任意相对速度方向下的洛伦兹变换（如图2），以供读者参考、使用。

[z][y][x] [v] [z′][y′][x′]

图1 两个惯性系之间相对速度方向与x轴

方向相同，相对速度为v

[z][y][x] [v] [z′][y′][x′]

图2 两惯性系之间的相对速度方向

是任意方向

二、相对速度

如圖2显示，相对速度方向是任意的，我们先分析一下相对速度。如图3，蓝色为相对速度矢量 。红色为坐标轴上的相对分量v1、v2、v3。我们采用逆变矢量方式：符号的指标写在上面，并不是表示次方的意思。绿色表示在 平面上的速度分量矢量和。

[y][x][v1] [] [v][v3][v2][v1][β][α]

图3 蓝色是相对速度矢量，红色是其在坐标轴上的分量，绿色是xy平面上的速度分量矢量和

很明显最终的转换公式中，这些分量全部都会出现，我们约定凡是两个相同量相乘的连续写出两次，例如：v2v2表示两个v2相乘，并不是四个v相乘，我们不再使用指数。

根据很简单的三角函数，我们可以得到关系：

三、坐标系的旋转

对于任意相对运动速度方向的情况，我们先将坐标系进行旋转，变成图1的情况，然后利用简单的洛伦兹变换推出一般情况下的洛伦兹变换。这种旋转分两步进行。会得到三个坐标系，我们分别用红、绿、蓝三种颜色来表示（如图3）。

从红色坐标系R（red）开始，先是绕z轴旋转α角，得到绿色坐标系G（green）。再绕绿色坐标系的y轴旋转β角，得到蓝色坐标系B（blue）。这个蓝色坐标系的x轴沿着相对运动速度的方向。

这里会有两套这种坐标，我们约定第一套的R、G、B坐标分别为（ct，x，y，z）R、（ct，x，y，z）G、（ct，x，y，z）B。第二套的R′、G′、B′坐标分别为

红色坐标系R与绿色坐标系G转换关系为

绿色坐标系G与蓝色坐标系B转换关系为

四、任意相对速度方向下的洛伦兹转换关系

通过上面的准备，现在可以进入转换关系的求解。大致过程如下，先从红色坐标系R开始，转换成蓝色坐标系B，通过简单洛伦兹转换变成蓝色坐标系B′，再通过逆转换变回红色坐标系R′。

这两个公式在研究四维力、四维动量、电磁场的描述中将非常有用。而且只需将速度的第二与第三分量设为零，很容易转变为相对速度沿x轴的简单情况。

至于加入虚指标的情形，

由于逐渐被人们所淘汰，建议读者不必过多使用。

参考文献：

[1]B Schutz. A first course in general relativity[J]， 1985.

[2]Sean M. Carroll. Lecture notes on general relativity.

[3]Misner， Thorne， Wheeler. Gravitation[J].

[4]Cl′audio Nassif. A fundamental explanation for the tiny value of the cosmological constant[J].

[5]Tomohiro Harada. I： formulation and asymptotic analysis. Self-similar cosmological solutions with dark energy[J].

（责编 赵建荣）