王芳

算理和算法在计算教学中相辅相成，缺一不可。算理和算法又十分抽象，对于以直观形象思维为主的小学生来说是学习的难点。数形结合思想是通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法。有效运用数形结合的思想方法可以化抽象为直观，帮助学生理解算理和掌握算法，提高计算教学效率。下面以“分数乘分数”一课为例谈谈具体的做法。

一、以形解数，感知算理

基于学生的生活经验和思维，分数乘分数计算的算理和算法对于他们来说很抽象、难以理解的。所以，为分数找对应的图形，以图形来表达分数，解释其中的算理，使学生在直观操作中理解算理。

【片断一】

1.探究1/2 ×1/4

师：像1/2 ×1/4 这样的分数乘分数问题怎样研究呢？如果用一个长方形表示“1”，那么怎样画图表示出算式中的分数？请同学们试一试。

师：画图时先分了什么，表示了哪个分数？

生：先把单位“1”平均分成2份，取这样的1份。

师：接着怎么分的？又取了几份？

生：再把这一份平均分成4份，取其中的1份。

课件演示：

师：通过画图我们知道了1/2 ×1/4 实际上是求1/2 的1/4 是多少。那1/2 的1/4 到底是多少呢？是怎么知道的？

生：只要把刚才平均分的虚线画下去，也就是把空白部分一起平均分，就能看出是1/8 。

师：8在哪里？1在哪里？

2.探究1/2 ×3/4

师：怎样在长方形图中表示出1/2×3/4？请大家画画看。

学生反馈：

师：1/2 的3/4 积是多少呢？怎样修改这幅图？

生：只要把整个大长方形竖着平均分成4份，整个大长方形一共平均分成了8份，所以1/2×3/4 =3/8 。

【教学分析】

在探究算理的过程中，以长方形作为探究材料。第一次让学生尝试画图，理清画图的方法，得出“分了取，再分再取”的画法，“以形助数”，使学生理解1/2×1/4 = 1/8 是怎样得到的；第二次画图则更注重以形解数，在追问中让学生感知1/2×3/4 = 3/8 中3/8 的算理。两次经历从数到形，再从形抽象出数的过程，学生初步感知了算理。因此，在探究算理时，先教给学生准确的画图方法，再引导学生以形解数，层层递进来感知算理。

二、以数思形，深化算理

画图操作初步理解算理后，常会发现学生很难用完整的数学语言对操作的结果加以提炼和概括，主要是因为学生由动手操作到抽象概括缺少了“表象”这一支撑点。儿童的认识规律，一般是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程，表象介于感知和形成科学概念之间，所以需要帮助学生建立这个支撑点，引导学生由具体思维合理地向抽象思维转化，从而深化算理。

【教学分析】

在深化算理的环节中，教师让学生静静地“想一想，先画什么？再画什么？”看似多余的一个过程却非常有必要。因为“分数乘分数”算理模型的构建从具体思维向抽象思维转化，对于学生来说是具有难度的，如果没有留给学生一个思考的空间，没有借助“在脑中画图”这种半具体半抽象的表象操作，那么一些学生难以实现从形象思维到抽象思维的有效转化。

三、以数质形，向算法过渡

算理是算法的依据，它保证了计算的合理性和正确性；而算法是算理的概括，它为计算提供了快捷的操作方法。学生只有真正理解了算理和算法，才能灵活、准确地进行计算。因此，在对算理有了较深的理解后，要帮助学生从算理过渡到算法。

四、数形互释，生成算法

算理和算法是计算教学中不可分割的两个方面，只有实现算理和算法的相互交融，才能促进算法的有效生成。那么如何沟通“数”与“形”之间的联系，促进算理和算法的交融，让学生更进一步明晰“分母相乘、分子相乘”这一算理，从而有效生成算法呢？

【片断二】

1.师：如果按照刚才的想法，3/5×4/7 怎样计算？

生：5乘7作分母，3乘4作分子，积是12/35 。

师：我们利用长方形图来验证一下，该怎么分怎么取？

生：先把这个长方形横着平均分成5份，取3份；再竖着平均分成7份，这样一共平均分成了35份。

师：再取4份，最终取了多少份？

生：最终取了12份。所以3/5 ×4/7 的积是12/35

2.师：只验证一题，还不能够说明。换一题再试一试，行吗？

出示：5/6 ×7/8

师：从图中你知道了什么？

生：6×8算的是把整个长方形一共平均分成了多少份，5×7算的是最终取了多少份。

师：观察刚才两题的验证过程，想一想，分母相乘实际算的是什么呢？分子相乘又是算的什么呢？

生：分母相乘是求把单位“1”平均分成的份数，分子相乘就是取的份数。

师引导学生自主归纳出“分母相乘就一共分了多少份，分子相乘表示一共取了多少份”。

【教学分析】

上述教学中教师紧紧抓住引导学生验证的过程，通过数形互释，打通了算理和算法之间的联系，有效促进算理和算法的相互交融。用“数解释形” ，让学生明白一共35份是指把整个长方形平均分成了5行7列，5×7就是35份；最终取了3×4=12份。由“形解释数” ，使学生清晰了6×8算的是把整个长方形一共分成了48份，5×7算的是最终取的35份，从而自然得出“分数乘分数，分母相乘的积作分母，分子相乘的积作分子”的计算方法。学生再次经历了自主验证的过程，通过观察、比较、验证、归纳，在算法形成与巩固的过程中进一步明晰算理，在真正理解算理的基础上掌握算法，从而形成计算技能。再次利用图形来沟通算理和算法的联系，在数形互释中进一步理解算理和掌握算法，使学生对计算方法做到知其然，更知其所以然。

在计算教学中，有的放矢地运用数形结合思想方法，为学生构建一个算理算法交融的课堂，引导学生在算法探究中理解算理，在理解算理的基础上形成算法，那么计算课堂同样会是精彩的。

【作者单位：太仓市城厢镇第四小学 江苏】