韩文民，吴满成，王 洁，张信兵

（江苏科技大学 经济管理学院，镇江 212003）

0 引言

虚拟制造单元[1]根据生产任务的相似性，将制造资源视为共享资源，既能保持成组技术加工柔性特点，又能保持流水线的生产性能。通过共享设备，虚拟单元能够提供比成组单元更少的生产时间，在一个虚拟单元中，设备被灵活的分配至各零件或零件族进行加工，但由于设备物理位置并不固定，因此，设备的这种逻辑重组能够极大的降低生产成本和零件的加工时间。

目前关于虚拟单元调度的研究中，从虚拟单元调度建模角度讲，K.Mertins[2]以最小资源能力能力占用时间、最小成本及设备准备时间为目标构建混合整数模型，以控制虚拟制造单元生产能力分配；Erhan Kesen[3]针对不同加工路径的多任务调度问题构建了一个能够为各设备分配任务的模型；Saadettin Erhan Kesen， Sanchoy K.Das和Zulal Gungor[4]在动态环境下构建了多目标混合整数规划模型以解决多路径的虚拟单元作业调度问题，采用代数模型系统求解；Luis Pinto Ferreira，Enrique Ares Gomez，Gustavo Pelaez Lourido和Benny Thahjono[5]基于虚拟单元的概念，研究汽车制造业拥有四个闭环结构的装配线的离散项目，并用Arena进行仿真。从虚拟单元调度目标角度讲，Hamed等人[6]以设备的调整时间和产品完工时间为目标解决单元的复杂调度问题；白俊杰，龚毅光，王宁生和唐敦兵[7]以完工时间最小为调度目标，研究了柔性制造单元的两阶段调度问题；Amit[8]以合理分配产品和设备至已有单元，提高设备利用率为目标，针对不同单元内产品组合变化采取不同策略性方法。从虚拟单元调度算法角度讲，Saravanan M.和Nooral Haq,A.[9]采取分散搜索算法求解最小化完工时间调度，实验发现该方法对求解单元内调度问题具有可行性；M.B.Aryanezhada，Jamal Aliabadi和Reza Tavakkoli-Moghaddam[10]采用遗传算法求解了装配性制造单元最小化装配周期和单元间移动距离的调度问题；王雷[11]以总加工时间最小为目标，以鲁棒性较好的粒子群算法解决了敏捷制造系统自组织多级协调控制结构模型。这些研究都很好的证明，在采取虚拟单元调度方式后，企业的生产效率能够得到较为明显的改善。

但是，在传统的调度问题中，都是假设每项作业不可分，且各项作业的任意加工都必须在一台设备上加工完毕后方能进入下一台设备进行加工，而在实际生产中，如果一项作业包含多个相似操作，企业可以将其操作分成多个加工子批，将其在设备上不断重复生产，以降低设备重置成本，提升生产效率。因此，有必要考虑虚拟单元调度中的批量分割问题。

目前在关于批量分割的研究中，Rahime[12]以启发式规则解决了作业车间中多产品并行时的批量分割问题；Saricicek[13]研究了并行机批量分割问题，并用禁忌搜索算法予以求解；Taofeng Ye[14]将问题分为三类，研究了作业车间中转移方式对最有批量的确定问题；Defersha[15]研究了单元生产中考虑批量分割的设计问题；Ahkioon[16]通过构建非线性整数规划模型，研究了考虑批量分割后单元生产系统的重构问题。在当前在车间调度、并行机调度与单元调度的研究中发现，采用批量分割能改善企业运营效率。

本文将结合虚拟单元生产方式特点，构建允许批量分割与不允许批量分割的多目标混合整数规划模型，通过结合批量分割的遗传算法求解，以证明在虚拟单元调度中考虑批量分割能帮助企业生产取得更好的效果。本文的构建思路如下：第一节将介绍批量分割，以及在虚拟单元调度中，采取批量分割时应当考虑的影响因素；第二节将介绍不考虑批量分割的虚拟单元调度模型与相关假设；第三节将介绍考虑批量分割的虚拟单元调度模型与相关假设；第四节将介绍考虑批量分割的遗传算法及在虚拟单元调度中的求解过程；第五节将根据算例验证在虚拟单元调度中实施批量分割后，能否得到生产效果的改善；第六节是本文小结。

1 虚拟单元调度中的生产批量分割

1.1 批量分割

生产批量确定能够决定系统表现[17]，因此批量大小的确定对生产计划十分重要。批量分割指将生产中的大批量分割为子批量，从而使同一作业的各工序在具有相同加工能力的设备上重叠以重复生产。在批量分割的加工方式中，前一设备完成子批量的生产后，该子批无需等待其他子批生产结束即可进入下一设备继续生产，从而能有效降低系统在制品库存与最早完工时间，也能够降低设备布置成本。虽然采取这样的生产方式会增加作业的加工流程时间，但由于该方式允许工序重叠，所以能够更快速的满足生产交货期。批量分割有横向分割与纵向分割的分割方式。横向分割指同一作业的不同子批在连续加工的设备中同时加工，产生工序重叠的加工现象，纵向分割指同一作业各工序在具有相同加工能力的相似设备或同一类设备中的加工现象。虽然子批的生产重叠能够满足交货期，但子批数量的增加会影响的增加系统运输成本，并影响到相关设备的分配。因此，批量分割生产方式需要解决设备的分配问题，合理确定子批大小并确定设备的加工顺序与子批种类，以使虚拟制造单元内设备的负荷均衡，获得虚拟单元生产方式的最大利润。以A(B)（AN*，B N*）表示设备类型为A的第B台设备，图1所示为批量分割示意图，图2所示为纵向分割批量分割方式工艺路线图，其中，图1设备1(1)，1(2)与1(3)属于同一设备，设备2与设备3,4属于具有某种相同加工能力的相似设备，子批1与子批2和3属于由同种类型设备存在多台设备引起的批量分割，子批1与子批4，子批2与子批5和子批3与子批6属于同一产品各工序在连续生产中出现重叠，同时进行，图2中SD表示开始加工设备，TD表示结束加工设备，虚线表示有多少子批在该设备上加工。

图1 批量分割示意图

图2 纵向分割示意图

1.2 虚拟单元调度中的批量分割

一般调度中的批量问题包括流水车间与作业车间的批量分割问题，采用批量分割解决车间批量分割问题已被广泛使用，但是关于单元批量分割的研究较少，尤其是关于采用批量分割对虚拟单元生产方式的企业绩效的论证的研究很少。批量分割问题主要解决转移批量与加工批量问题，其中，企业的生产提前期受转移批量的影响，资源的利用水平受加工批量决定，所以，在虚拟单元调度中，需要同时考虑加工转移批量与加工批量。因此，为了构建全局优化的的批量分割模型，需要首先分析影响批量分割的因素。

传统单元生产中考虑批量时，会从工件相似性、加工工艺相似性、加工作业转移方式、设备运输能力与费用、在制品库存、在制品缓冲、降低设备的调整时间等方面考虑。考虑到虚拟制造单元存在共享资源设备，以及各设备是逻辑成组的生产组织特点，在确定批量分割策略时，需要考虑生产计划期、交货期、设备特性及加工作业在产品结构中的位置。

单元构建与调度必须要考虑生产计划期，它代表单元调整频率与单元重构节点，不同计划期可能带来不同的单元内任务提前期，且单元内任务和时间范围也不同，因此，在虚拟单元生产方式中，生产提前期是影响系统提前期的重要因素。

由于多项目并行的生产系统中，同一生产批次中可能存在不同交货期的加工零件，批量策略不能仅考虑生产加工的相似性，需要考虑交货期的影响，以满足不同产品的交货期要求。

由于虚拟单元生产方式的设备具有逻辑重组的组织特点，因此可以调用闲置的设备加工，当单元出现负荷不均衡状态时，可以将部分任务分配至其他单元，也可利用本单元内具有相似加工功能的其他设备，因此，设备特性应当也成为批量分割的考虑因素。

由于虚拟制造单元根据任务相似性，通过物流系统连接合适资源组织生产，因此，生产批量的确定不仅需要考虑作业的生产加工时间与设备的装备时间，也需要考虑各作业在加工中的位置，上层作业数量决定下层作业数量，作业的加工位置影响其批量，因此，也需要考虑作业在产品结构中的位置。

2 未考虑批量分割的虚拟单元调度模型构建与假设

2.1 问题描述

假设未考虑批量分割的虚拟单元调度中存在m种类型与n项作业，每种类型设备包含多台设备。以s(i)表示属于设备类型i的某台设备，假设s(i)在车间中被分散布局，每台设备能力相同，且不存在平行加工。以Oj,h表示作业j的第h项操作，以hj表示加工作业数，这里，每项作业的加工作业数不一定相等且每项作业各有其加工路径与生产设备。在生产过程中，如果Oj,h在需要设备类型为i的设备加工，那么该类型设备中的所有需要加工的设备可能出现生产冲突。所以，调度中需要考虑设备分配和工序调度，且这里假设每台设备一次最多只能加工一项作业，且已知作业在各设备间的移动距离、加工作业的生产批量、所需加工时间与加工优先级。模型不考虑批量分割情况，即当s(i)加工Oj,h时，作业j的所有零部件必须全部在设备s(i)上加工至完毕，不允许加工中断。模型不考虑提前加工、设备故障及生产延迟，并假设当t=0时，所有作业等待加工。

2.2 参数设置与模型构建

在相应的模型构建中，以Cmax表示最早完工时间，以j（j=1,…,n）表示作业数，i与k（i,k=1,…,m）表示设备类型，h（h=1,…hj）表示加工工序数，l表示每台设备的加工顺序，Nj表示作业j的加工批量，Pj,h表示作业j加工第h道工序的单位生产时间，Ds(i),s(k)表示每项作业从s(i)至s(k)的单位运输距离，M表示足够大的数，W1表示最早完工时间权重，W2表示总运输距离。

模型以最早完工时间和总运输距离加权和最小为目标，构建如下混合多目标整数规划模型：

约束条件如下：

在约束条件中，以tj,h表示oj,h开始加工时间，Tms(i),1表加工第l道工序的设备s(i)的开始加工时间。约束(2)表示最早完工时间必须超过所有工序的完成时间；约束(3)表示所有工序必须在上一道工序结束后方能加工；约束(4)表示工序约束，即每道工序不可提前加工；约束(5)、(6)属于二选一约束，表示当Xs(i),j,h,1=1时，s(i)对应的加工工序l必须与作业j第h项操作同时加工；约束(7)表示每台设备最多只能加工一道工序；约束(8)表示每项作业的操作只能由i类型设备中的一台设备加工；约束(9)表示如果选择某台设备加工一项作业的某道工序，则该道工序不受该设备加工顺序的约束；约束(10)和约束(11)为二进制约束，约束(10)表示如果Oj,h在s(i)上加工，那么Ys(i),j,h=1，否则，Ys(i),j,h=0，约束(11)表示如果Oj,h在s(i)上加工第l道工序，那么Xs(i),j,h,1=1，否则，Xs(i),j,h,1=1=0；约束(12)和约束(13)表示非负约束。

3 考虑批量分割的虚拟单元调度模型构建与假设

3.1 问题描述

假设有n项作业和m种设备，每种类型设备包含多台设备。每项作业需要不同类型设备加工，每种类型设备包含多种加工工能相似的设备，因此，有多台设备可供任意作业的加工选择。结合虚拟单元设备共享和逻辑重组的特点，本文以最早完工时间和总运输距离加权和最小为目标，构建多目标混合整数规划模型。在考虑批量分割的虚拟单元调度中，由于每种类型的设备包含多个加工路径，所以，每项作业的加工子批都尽可能会选择能提供最短路径或最小成本的加工路径，而这种选择会加大最小完工时间，因此，在考虑批量分割的虚拟单元调度中，最小完工时间和总运输距离相互矛盾。此外，在虚拟单元中考虑批量分割时，由于任意一项作业的加工批量被分割为多个子批，这会导致加工操作数的增加。所以，在考虑批量分割的模型构建中，应当考虑需要选取某种类型设备中的哪台设备，以及该台设备需要加工任意作业的子批量和这些加工何时开始操作。

3.2 模型假设与构建

模型需要考虑以下情况：1）不存在返工情况，即每项作业只能被同一台设备加工一次；2）在加工初始时刻t=0时，每一项作业都等待被加工；3）调度开始前，已知每项作业的加工时间、批量大小以及加工优先级；4）已知每种类型设备之间的运输距离；5）每台设备在一个时间点只能加工一项作业；6）当一项作业开始加工某一工序时，其他工序不允许被加工。

在相应的模型构建中，以j和u表示作业数，i、k和o表示设备种类，以s(i)表示第i类设备中的单一设备s，Nj表示作业j的批量大小，Pi,j表示第i类设备生产作业j的加工时间，Ds(i),s(k)表示从每项作业从设备s(i)到s(j)的运输距离，Vj,s(i),s(k)表示作业j从设备s(i)到设备s(k)的转移批量，B表示子批（b=1,2,…,B），Fj,b表示作业j的加工子批，W1表示最小完工时间Cmax的权重，W2表示最小运输距离的权重。同时，以(j,i)表示作业j在设备i上加工，以(j,i)→(j,k)表示j在i上的加工优先于j在k上的加工。基于上述假设与参数设置，考虑最小化最早加工时间和最小运输距离的多目标整数规划模型构建如下：

在约束条件的构建中，以tj,s(i),s(k)表示作业j从设备s(i)到设备s(k)后的开始加工时间，Q表示足够大的数。设置约束条件如下：

其中，式(14)表示目标函数为最早完工时间与运输距离最小化；式(15)表示每项作业加工约束关系，即后项作业必须在前向作业完成后方开始加工；式(16)表示最早完工时间必须在系统完工时间内；式(17)表示批量等于前一台设备加工的作业数；式(18)表示每台设备加工的作业数需等于该设备产出的作业数；式(19)表示作业j的加工子批数等于其加工批量；式(20)前一台设备加工的作业需在后一台设备的空闲段加工；式(21)表示需在不同时间段加工不同作业；式(22)表示如果s(i)作业j优先于s'(t)的作业在s(k)上加工即为1，否则为0；式(23)表示设备s(k)上加工的作业j先于作业u抵达，即为1，否则为0；式(24)表示非负约束。

4 基于遗传算法的考虑批量分割的虚拟单元调度模型求解

4.1 遗传算法介绍

遗传算法（GA）是一种被广泛应用于解决组合优化问题的元启发式算法。该算法通过产生随机初始种群开始计算，这些初始种群中包含的所有个体被称为染色体或可行解。遗传算法通过前期确定的迭代次数，以交叉、变异等模仿生物界进化论的思想增强可行解的质量。遗传算法的目的是在每一代的最后都保持最优解。

4.2 染色体编码

虚拟单元调度实际上是一个关于设备分配、作业调度以及子批量决策的组合调度问题。这样，可以通过设备机器的分配、设备加工顺序以及加工的子批量大小确定可行解。因此，一条染色体编码可以由4部分构成，分别以v1表示设备分配矢量，以v2表示作业加工顺序矢量，以v3表示所加工序列的子批量数，以v4表示子批量大小。假设有2个子批量，有4种设备类型A、B、C与D，每种设备类型包含多台设备，如表1所示，表2所示为各加工作业加工顺序与批量大小。

表1 设备类型与加工设备

表2 作业顺序及加工批量

以表3表示设备分配矢量，在设备分配矢量v1中，以v1(r)表示分配给某一项加工的某台设备，且该台设备的位置以r表示。在染色体编码中，染色体长度表示为设备需要加工操作的数目与子批量数目的乘积。例如，在本例中，加工操作数是10，子批量数是2，因此，染色体长度是20。在针对表3列示的设备分配矢量表格中，4号位置表示o2,2，v1(4)则表示o2,2加工的设备。通过表3发现，设备4和设备3可加工o2,2，所以，子批量为2时，分配加工o2,2的是位置在14的设备3。

通过以上置换表示方法能够清楚的表示出作业的加工顺序，但是考虑到加工优先级，通过上述方式产生的初始解可能难以是可行解。Gen（1994）[18]针对车间调度问题提出一种取代置换方法的方法，即指定一项作业中具有相同加工特征的操作，而后根据加工优先级给出一条染色体中各作业的加工顺序。Gen的置换取代法可以(oj,h)p应用于虚拟单元调度中，以表示第p个子批中作业j的第h项加工操作，例如，表3的加工可以表示为：

以Vj,p表示第p个子批中生产作业j所需批量。如作业3批量大小为13，那么V3.1=7就表示加工作业3的第一个子批中所需批量为7，V3.2=6表示加工作业3的第二个子批所需批量为6。通过这种染色体编码方式，可以使每条生成染色体表示能体现作业加工优先级的可行解，也减少了与置换表示方法相比所需的程序解码时间。程序将随机生成代表四个部分的染色体，然后通过解码方式将染色体与虚拟单元调度相结合，通过基因算子进化初始解以寻求最优解。

4.3 解码

由于作业操作之间通常能够被插入多余空闲时间，所以，能将一条染色体转换为无数个调度。解码的目的是重新排序染色体将其编入调度，为了达到这个目的，设置如下解码规则。

在特定子批量p加工过程中，同一作业加工操作存在加工顺序，加工顺序之间就存在设备空闲时间，这里假设bj,h表示oj,h开始加工时间，cj,h表示oj,h加工完成时间，oj,h只能在oj,h-1加工结束后加工。假设设备i的加工开始时间分别是，如果在存在足够的空白时间，就能在中能够插入oj,h进行加工，因此，定义bj,h和如下：

该解码规则能根据加工顺序矢量v2将加工分配至对应的设备。当oj,h在设备i上调度时，将从左到右评估已经在设备i上完成调度的加工操作，以寻得能够开始的最早空闲时间。如果存在这样的空闲时间，则安排该项操作至这段时间，如果不存在这样的空闲时间，则将该项操作安排至设备i以最后加工。染色体即按照上述规则进行重新排序。

该项解码规则和重新排序规则可使一项操作加工寻求最早的设备空闲时间，所以，基于上述规则，在加工顺序矢量v2中，列在r前面的操作v不一定能在r前加工。在遗传算法中，为了保证子代能够准确继承父代的作业加工顺序信息，有必要根据解码规则生成的新加工顺序对染色体中原作业加工顺序进行重新编排。

4.4 交叉

Gen（1994）[19]认为，加工顺序矢量v2中的每个等位基因并不能代表某项作业的某个具体操作，只代表该作业的一项操作，因此，交叉很难生成保持父代加工顺序信息的子代。为让子代能够保留父代的遗传信息，将染色体编码部分的Gen的置换取代法转换成置换表示方法。Gao（2008）[17]指出，当前有许多交叉采用置换表示方法，如顺序交叉、局部映射交叉、循环交叉等。本文将对加工顺序矢量v2采用顺序交叉方式，该交叉步骤如下：

第一步：随机从父代选取两个不同的等位基因形成子部分；

第二步：复制加工顺序的字串到相同位置生成后代；

第三步：从左到右检查第二代父代的所有加工以完成子代加工顺序中未被分配的位置。如果相应的位置在第一代父代遗传后已经被分配，则在第二代父代中调至下一代，否则，将第二代父代中相应操作分配至子代对应位置。这里，来自第二代父代的加工操作是后代所需要的。交叉过程如图3所示。

表3 设备分配矢量表

图3 加工顺序矢量上的顺序交叉

4.5 变异

变异的目的是产生和父代略有不同的新解。本文采用基于等位基因的变异操作。对设备分配矢量v1，基于等位基因的变异操作以随机选取等位基因r（r[1,N]）进行变异，然后根据所选等位基因分配设备进行作业操作。对加工顺序矢量v2，基于等位基因的变异操作随机决定是否需要变异等位基因s（s[2,N]），如果等位基因s需要变异，则交换v2(s-1)和v2(s)。本文中，将对所有新解进行变异操作。

4.6 选择

在遗传算法中，选择操作在放大的样本空间内进行，这样无论子代还是父代就拥有相同的生存几率。在每一代，如果子代有更好的适应度值，则排除整个种群中适应度值最差的染色体，剩下的部分用轮盘赌进行选择操作，以在每一次进化中提升种群质量。表4所示为遗传算法伪代码。

表4 遗传算法伪代码

5 算例分析

5.1 算例基础数据

为验证模型的有效性，本章以算例说明VCMS调度。假设虚拟单元内设备类型有3类，每种设备包含多台设备，如表5所示。表6列出虚拟单元内需要加工的作业及各作业对应的加工工序、加工时间与生产批量，共有6项作业。各设备间移动距离矩阵如表7所示。由于模型涉及到权重设定，而权重的确定属多目标决策问题，为方便计算，这里假设最早完工时间权重W1为0.95，运输距离权重W2为0.05。

表5 设备类型与对应设备

表6 作业加工顺序、加工工时与生产批量

表7 设备移动距离矩阵

5.2 计算结果

用MATLAB7.12进行计算，初始种群设为100，交叉和变异概率为0.4，最大迭代次数为100。得出图4的调度结果。图5为不考虑批量分割的调度结果。发现模型2对应的最早完工时间Cmax和总运输距离分别为272和3756，模型1对应的最早完工时间和总运输距离分别为360和3106，通过比较图4和图5可以发现，当考虑批量分割时设备的利用效率得到改善，因此，讨论批量分割在虚拟单元调度中显得很有必要。

本文主要讨论批量分割在虚拟单元调度中的必要性，通过构建不允许批量分割和允许批量分割的两个混合多目标整数规划模型，用遗传算法求解，结果表明在虚拟单元调度中实行批量分割的策略能够提高生产效率，而讨论批量分割的思路也更符合实际生产实际。

图4 考虑批量分割的虚拟单元调度

图5 不考虑批量分割的虚拟单元调度

6 结束语

本文意在强调虚拟单元调度中批量分割的重要性。虚拟单元生产方式能够帮助企业实现设备的灵活配置，加大的降低生产成本和零件的加工时间，但如果一项作业具有多个相似操作，即可将其分成多个批量予以加工以降低设备的重置成本，因此，在虚拟单元调度中考虑批量分割的理念显得尤为重要。本文分别构建了考虑批量分割与不考虑批量分割的多目标整数规划模型，并介绍了考虑批量分割的遗传算法，文章最后通过算例验证了所提方法的有效性，并在虚拟单元调度中实行批量分割的理念提供了一定的理论依据。

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