王春阳，刘雪莲

（长春理工大学，电子信息工程学院，长春　130022）

分数阶Fourier变换在信号处理中的应用研究

王春阳，刘雪莲

（长春理工大学，电子信息工程学院，长春130022）

本文综述了分数阶Fourier变换的定义、数值化实现方法及其应用。重点比较了三种数值化实现方法的优缺点，详细阐释了离散采样型数值化方法的实现过程。此外，本文对分数阶Fourier变换在数字水印、信号检测与参数估计和生理信号去噪等信号处理中的应用做了概述，系统阐释其算法原理与处理过程。最后，总结了分数阶Fourier变换在时变、非平稳等复杂信号处理中表现出的优势，并展望了今后的研究发展方向。

分数阶Fourier变换（FrFT）；数值化实现；数字水印；信号检测与参数估计；生理信号去噪

分数阶Fourier变换（Fractional Fourier Transform，FrFT）因其具有许多传统Fourier变换不具备的性质受到众多研究人员的关注，在很多科学研究和工程技术领域均有应用，如量子力学［1-4］、光学系统和光信号处理［5，6］、光图像处理［7-9］等。FrFT之所以首先在光信号处理中得到了应用，是因为光学实现相对比较容易，而直到20世纪90年代中期，由于提出了多种分数阶Fourier变换的离散化方法及其快速实现算法，才使得FrFT真正在电信号处理领域中体现出其应用价值［10-12］。

FrFT作为一种新的信号分析工具，在信号处理领域中具有非常广泛的应用前景。近几年，新的研究成果也不断涌现。从处理方法的角度来分析，目前国内外对FrFT的应用研究主要围绕以下几种思想：

（1）利用FrFT的聚焦性。直接将传统Fourier变换的某些理论和应用推广到分数阶Fourier变换域。传统的Fourier变换通常用于平稳信号的分析与处理，对于非平稳信号、时变信号的分析处理能力则失效，而FrFT对该类信号表现出良好的分析能力。传统Fourier变换可以理解为信号在一组完备正交的正弦基上的展开，因此正弦信号的Fourier变换是一个冲激函数；FrFT则可以理解为信号是在一组正交的Chirp基上的展开，相应地，Chirp信号在某个特定阶次的FrFT也是一个冲激函数，我们称其为聚焦性。聚焦性对分析和处理Chirp类信号是十分有利的，其直接应用就是对Chirp信号进行检测和参数估计。正是由于Chirp信号广泛应用于通信、声纳、生物医学等领域中，尤其是现代雷达系统，因此基于FrFT的分析与处理算法被用于雷达信号处理中的多目标检测与跟踪、SAR与ISAR成像、运动参数估计等技术中［13-17］。

（2）利用FrFT的时频旋转特性。一个信号的FrFT的Wigner分布是原信号Wigner分布的坐标旋转形式。FrFT的这种时频旋转特性对于分析与处理非平稳信号是十分有利的。在实际工程应用中，有用信号的提取与噪声的抑制是一项十分重要的课题。传统滤波方法一般只限于频域加窗或遮隔处理，但是当信号与噪声之间存在较强的时频耦合时，传统的滤波器难以有效实现信噪分离。此时，利用FrFT将坐标轴旋转到合适的角度，在新的分数阶Fourier变换域上解除信号与噪声之间的耦合，可实现噪声的完全滤除和信号的无失真恢复。这就是分数阶Fourier域滤波的基本原理［18-22］。

（3）利用FrFT与短时Fourier变换、小波变换、Wigner分布、Radon-Wigner变换等时频分析工具的内在联系，改进了一些非平稳信号的处理方法，并进一步扩展了FrFT的应用领域。如Radon-Wigner变换经常用于分析各种时变信号，而FrFT与Radon-Wigner变换之间的关系表明：信号FrFT后的模平方恰好是该方向上的Radon-Wigner变换。基于这一关系，Radon-Wigner变换的许多研究成果均可以直接应用到FrFT中。此外，在某些场合，用FrFT来替代其他的时频变换还可以带来一些优势，如FrFT可以借助FFT实现，计算方法较为简便；另一方面，FrFT是一种一维线性变换，在多分量信号情况下，可以有效地避免交叉项的干扰［18，23］。

本文从分数阶Fourier变换的定义、离散化方法及其应用三个层面对分数阶Fourier变换的理论体系进行阐述。具体内容如下：首先，介绍了分数阶Fourier变换的定义；然后，阐述了分数阶Fourier变换的离散化算法，对各种离散化方法进行了对比，重点分析了离散采样型分数阶Fourier变换的计算方式；其次介绍了分数阶Fourier变换在信号处理中的应用，包括数字水印、信号检测与参数估计、生理信号去噪；最后，对全文进行总结，对今后的研究方向进行了展望。

1　分数阶Fourier变换定义

分数阶Fourier变换又称为角度Fourier变换（AFT）或者旋转Fourier变换（RFT），其函数x（t）的FrFT定义如下［24］：

根据式（1）和式（2），FrFT的定义式改写为：

2　分数阶Fourier变换离散化

FrFT自诞生以来，凭借自身的优势和广阔的应用潜力在各个领域中受到广泛的关注，如同快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）大力推动了Fourier变换理论飞速发展一样，为了在实际工程中能够实现分数阶Fourier算子、滤波器、相关器以及其他系统的应用，需要对FrFT进行数值化实现［24，25］。为了便于计算机处理，必须对输入信号和FrFT的核函数进行离散化处理，从FrFT的基本定义可看出其离散化计算比DFT复杂的多，因此，一种高效精确的FrFT离散化和快速算法是工程应用中急需解决的问题。

为了确保离散化分数阶Fourier变换（DFRFT）在基本概念上的缜密性，每个真正“严格”的形式都需符合以下性质［26-30］：（1）旋转相加性；（2）酉性；（3）当变换阶次为1时，退化为DFT；（4）变换阶次的连续性；（5）近似连续分数阶傅里叶变换；（6）具有快速算法；（7）有闭合表达式。国内外学者提出的许多离散方法中没有一种方法能够同时满足上述所有要求。目前，主要有三种比较可行的离散化方法［31-33］：离散釆样型、特征分解型、线性加权型。表1给出了这三种DFRFT的对比结果。

表1　三种DFRFT的对比结果

目前已有的各种DFRFT算法中，离散采样型DFRFT与连续变换近似，其精度较高、计算复杂度低、运算量小并有闭合形式的表达式，因此广泛应用于分数域非均匀釆样与重构、chirp信号检测和参数估计、分数域滤波等研究领域中，是目前应用最广的数值计算方法之一。

该算法是由Ozaktas提出［34］，又被称作分解法。由式（1）定义的连续FrFT出发，先将复杂的积分表达式进行分解，简化为几个简单的计算，再通过离散化，最后得到其离散卷积的表达式，该离散卷积即可用FFT计算，因此本文主要介绍采样型方法的实现。

另外，需要特别强调的是，必须对信号进行量纲归一化［35］处理后才能对其进行FrFT数值计算，这一特殊技巧在离散化过程中起到了非常重要的作用。

量纲归一化具体过程如下：

其中T表示信号的时宽，F表示信号的带宽。则量纲归一化坐标为：

量纲归一化后的信号可以进行采样型DFRFT，具体步骤如下［36］：

步骤2：g（t）与chirp信号exp（jπt2cscφ）做卷积，即

DFRFT可以借助FFT实现，其流程图如图1所示。

图1　a阶FrFT流程图

3　FrFT在信号处理中的应用

3.1数字水印

近几年，随着互联网的快速发展，越来越多的数字信息在网上被传送和发布，相应地，信息窃取、信息诈骗等违法活动也日益猖獗。因此，信息安全领域迫切需要一种保密技术，可以有效地对数字信息进行保护，数字水印技术应运而生。

传统数字水印方法可以分为空间域和变换域两种水印算法，其中变换域方法较为常用，如离散余弦变换、离散傅里叶变换、离散小波变换等。这些方法加入水印后，当图像进行几何变形、旋转、噪声干扰、图像压缩和剪切等操作时，水印信息容易丢失，因此算法的鲁棒性不高。2001年，Djurovic等人［37］首次将FrFT应用于数字水印，这种水印算法灵活性更高，其后又出现了一些改进算法［38-40］，进一步增强了数字水印的鲁棒性。

3.1.1水印嵌入

首先，对大小为M×N的载体图像I进行分块，记作Ii，i=1，2，3…，对每块图像进行变换阶次为（a1，a2）的二维FrFT，此阶次作为数字水印的密钥，变换后得到Ii的FrFT系数矩阵，将其按降序排列，记为变换系数Si，i=1，2，3…。

然后，产生一组伪随机序列R，对待嵌入的水印图像信息W（i，j）进行加密，加密后的水印信息记作W¯（i，j），其中=W+R。

其中，Sj∈Si，σ表示水印嵌入的强度。

最后，将嵌入水印后的变换系数Sw重新排列为矩阵，并对其进行二维FrFT，其中变换阶次为（-a1，-a2），得到的含水印的图像记作Iw。水印嵌入过程如图2所示。

3.1.2水印提取

水印提取与水印嵌入的过程正好相反，他们互为逆过程。对于存在疑问的图像检测其中是否含有水印信息的过程，称为水印提取。首先对待检测图像Iw进行分块，然后分别对其进行（a1，a2）阶的二维FrFT，选择原始水印的嵌入位置，利用原始图像信息提取叠加信息W*：

最后将叠加信号中的伪随机序列R去除，得到水印信息W：

水印提取过程如图3所示。

3.2信号检测与参数估计

图2　水印嵌入过程示意图

图3　水印提取过程示意图

由于分数阶Fourier变换可以解释为Chirp基分解，因此分数阶Fourier变换特别适合于处理Chirp类信号。在雷达、声纳等通信系统中常用的信号就是线性调频（Chirp）信号，由于它在FrFT域中不同的阶次呈现出不同的能量聚集性，如图4所示，通过这一特性在FrFT域中进行峰值二维搜索，即可实现对Chirp信号的检测和参数估计。

图4　FrFT的能量聚集性

目前，对Chirp信号进行检测和参数估计的大多数研究［41-45］均是基于这一思想，系统框图如图5所示。

图5　Chirp信号参数估计系统框图

设x（t）为待检测的LMF信号，即

其中，f0表示信号的初始频率，k表示信号的调频率，n（t）表示高斯噪声。

通过量纲归一化后对其进行FrFT，得到其二维分布图，如图6所示。

图6　FrFT的二维分布图

通过以上计算，可完成对Chirp信号的检测和参数估计，在高斯噪声背景下较低信噪比时，该方法仍然表现出十分好的检测效果。

3.3生理信号去噪

生理信号属于非平稳的低频微弱信号，具有长相关特性，且与干扰信号存在较强的时频耦合，如脑电信号［46，47］，心电信号［48］，肌电信号［49］等，这类随机信号的波形和相位一方面受采集方式和环境的影响，另一方面，不同的采集对象所表现出的生理信号波形的特征也是不同的。

一般情况下，我们无法准确预测当前实现中的随机信号在某一刻的取值，但是，随机信号一般服从确定的概率分布和联合概率分布。以心电信号为例，信号的取值具有确定的概率分布和概率密度函数。另外，经过多次实际观察与统计，可以明确掌握心电信号具有哪些确定的统计特征量，这些统计特征量能够反映信号的许多性质，这些性质正是评价心血管疾病，特别是心脏功能的重要依据。在生理信号中，一个噪声点可能会导致某些疾病的误判，因此，为了获得清晰准确的生理信号波形，提高分析和诊断的精确性，必须对信号进行一定的分析和处理，使数据曲线更平滑，特征点更突出。

如果信号与噪声在时间轴上的投影不存在重叠（如图7（a）所示），那么可以在时域中采用合适的滤波器滤除噪声；如果信号与噪声在频率轴投影不存在重叠（如图7（b）所示），那么可以通过合适的滤波器在频域中滤掉此时的干扰；但是当信号和干扰噪声在时域和频域中的投影均存在重叠，即存在时频耦合（如图7（c）所示），此时不可能只通过时域或频域滤波完全滤除噪声。但是，分数阶Fourier变换可以将坐标旋转到某一角度，解除时频耦合，最大程度地滤除噪声。也就是说，在某个角度的分数阶Fourier域能够得到更好的信号与噪声分离效果。不仅如此，时域和频域还可以看作是特殊情况下的分数阶Fourier变换域，当变换阶次a=0时，对应时域，当变换阶次a=1时，对应频域，如图7所示。

因此，可以利用在分数阶Fourier域中信号和噪声分离的特点对生理信号进行FrFT，找到使信号与噪声分离时的最佳旋转角度，在此分数阶Fourier域中进行滤波，然后再对其进行分数阶Fourier逆变换，最后得到去噪信号，具体算法如图8所示。

图7　信号与噪声的时频分布图

图8　去噪算法框图

通过上述的分析，该算法的具体步骤如下［50］：

（1）根据FrFT的对称性，变换阶次a∈［0，2），求输入信号x（n）的FrFT；

（2）对变换后的信号进行二维搜索，找到最佳变换阶次a′；

（3）计算信号x（n）在阶次为a′时的FrFT；

（4）在最佳分数阶Fourier变换域中进行滤波；

（5）对滤波后的信号进行分数阶Fourier逆变换，即-a′阶FrFT，得到时域输出信号y（n）。

4　结语

本文对近年来分数阶Fourier变换在数字水印、信号检测与参数估计以及生理信号处理中的研究成果进行了总结，对分数阶Fourier变换的理论体系做了系统的阐述。从分数阶Fourier变换域与时域、频域之间的关系可以看出，分数阶Fourier变换实质上是一种统一的时频变换，能够同时反映出信号在时域、频域的信息。通过本文介绍的几种分数阶Fourier变换在信号处理领域中的应用可以发现，它适于处理如Chirp类的非平稳信号，而且因为多了一个变换阶次的自由参量，所以分数阶Fourier变换在某些条件下往往能够得到传统时频分布或Fourier变换所得不到的效果，由于其具有比较成熟的快速离散化算法，在得到更好效果的同时并不需要付出太多的计算代价，因此具有十分广阔的工程应用前景。

至今为止，有关分数阶Fourier变换在信号处理中的应用研究已经取得了丰硕成果，但是仍然存在许多理论和工程上的问题需要解决。如在数字水印中，分数阶Fourier变换体现出较为理想的鲁棒性，因此应将分数阶Fourier变换推广到图像边缘检测、图像增强、模式识别等领域，拓宽其在图像处理中的应用范围，提高图像处理的质量；在Chirp信号的参数估计方面，在高斯噪声背景下FrFT表现出良好的估计效果，然而如何处理更加复杂的噪声，如非均匀噪声、有色噪声、非高斯噪声等情况，都是未来的研究和发展方向；在处理如生理信号这类非平稳信号时，通过分数阶Fourier变换可以将信号与噪声进行分离，但是非平稳信号是一个庞大而复杂的研究领域，不仅需要先进的理论支持，还涉及到多个交叉学科，在这一领域仍有很多问题有待进一步研究。因此不仅要拓宽分数阶Fourier变换在信号处理领域中的应用，如在声信号、通信信号、生物医学、神经网络等方面的应用，还应对其加以改进，与其他的信号处理技术相结合，形成优势互补的新技术，为解决非高斯、非平稳、非因果等“非”的问题提出解决方案。

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An Overview of Applied Research for Fractional Fourier Transform in Signal Processing

WANG Chunyang，LIU Xuelian
（School of Electronics and Information Engineering，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022）

In this paper，we provide an overview of the definition，digital realizations and applications of the Fractional Fourier transform.Specifically，the paper discusses various approaches for digital realizations of the FrFT and compares their advantages and disadvantages，and then，explains the implementation procedure of DFRFT through sampling of FrFT in detail.Furthermore，the paper introduces the applications of FrFT in digital watermarking signal detection and parameter estimation，physiological signal denoising，and illuminates systematically their algorithm principles and processing procedures.Finally，the paper summarizes the advantages of the fractional Fourier transform in non-stationary and time-varying complex signal processing，and looks ahead to the research and development directions in the future.

fractional Fourier transform（FrFT）；digital realizations；digital watermarking；signal detection and parameter estimation；physiological signal denoising

TN911

A

1672-9870（2015）05-0001-08

2015-10-12

王春阳（1964-），女，博士，教授，E-mail：wangchunyang19@cust.edu.cn