调和映照与像域为线性连结的剪切函数的关系

2015-09-29占龙俊黄心中

华侨大学学报（自然科学版） 2015年5期

关键词：华侨大学单叶调和

占龙俊，黄心中

（华侨大学数学科学学院，福建泉州362021）

调和映照与像域为线性连结的剪切函数的关系

占龙俊，黄心中

（华侨大学数学科学学院，福建泉州362021）

调和映照；线性连结；调和拟共形映照；α近于凸.

1 预备知识

Huang［3］对Chuaqui等［2］所得的结论进一步推广，得到不少有趣的成果.Huang［3］还特别指出，在一定条件下，f（D）的线性连结性与f（z）的拟共形性，及h（D）线性连结性与h（z）的单叶性是一对不变量.文献［6－8］分别对单叶调和映照的性质及稳定性问题进行研究.

Chen等［10］证明了定理C［2］.

2 主要结果及证明

证明假设F（z）＝h（z）－g（z），若h（z）在D上不单叶，则存在z1，z2∈D，且z1≠z2，使得h（z1）＝h（z2）.由h（z）＝F（z）＋g（z），则F（z2）－F（z1）＝g（z1）－g（z2）.根据F（z）的单叶性，令w＝F（z）有w2－w1＝g（F－1（w1））－g（F－1（w2））.由于F（D）是M－线性连结区域.则存在连结w1－w2∈F（D）的可求长曲线γ∈F（D）满足l（γ）≤M｜w1－w2｜，即

这与w2－w1＝g（F－1（w1））－g（F－1（w2））矛盾，从而说明h（z）在D上单叶.

令ξ＝h（F－1（w））＝w＋g（F－1（w）），任意ξ1，ξ2∈h（D），存在w1，w2∈F（D），使ξ1＝h（F－1（w1）），ξ2＝h（F－1（w2））.由于F（D）是M－线性的连结区域，则存在γ为连结w1，w2的曲线，使l（γ）≤M｜w1－w2｜.取Γ＝h（F－1（γ）），有

又

相应于定理C的结果，进一步研究其参数化的情况，得到定理2.

证明因F（z）为D上α近于凸映照，由文献［6］得F（z）在D上的单叶，且F（D）是1／cos（απ／2）－线性连结区域，则由定理C可得h（z）在D上的单叶.

令ξ＝h（F－1（w））＝w＋g（F－1（w）），任意ξ1，ξ2∈h（D），存在w1，w2∈F（D），使ξ1＝h（F－1（w1）），ξ2＝h（F－1（w2））.由于F（D）是1／cos（απ／2）－线性连结区域，则存在γ为连结w1，w2的曲线，使l（γ）≤1／cos（απ／2｜w1－w2｜）.取Γ＝h（F－1（γ）），有

又

注1 注意到当｜λ｜＜1时，这时t可以取到小于2的常数.

又

对于fλ（z）＝h（z）＋λg（z）时，采用相同的证明方法，可得到定理3中的结论.定理3证毕.

在定理1，2，3中，若F（z）＝h（z）＋g（z）有相应的假定，结论仍是成立的.

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［10］ CHEN Shao－lin，PONNUASMY S，RASILA A，et al.Linear connectivity，Schwarz－Pick lemma and univalency criteria for planar harmonic mappings［EB／OL］.［2015－01－05］.http：／／arxiv.org／abs／1404.4155.

Relation Between Harmonic Mapping and Its Shear Function With Linearly Connected Image Domain

ZHAN Long－jun，HUANG Xin－zhong

（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）