常 娟，杜迎雪，刘卫锋

(郑州航空工业管理学院 数理系，河南 郑州450015)

区间数多指标决策问题广泛地应用在经济、管理及现实生活中，研究者针对这一问题提出了很多决策方法，如刘家学［1］提出了多指标决策的最优线性分派法，张吉军［2-3］给出了权重为区间数的多指标决策问题的逼近理想点法和灰色关联分析法.但区间数取值范围往往过大，不能体现取值的重心，会造成较大的信息误差.针对这一不足，卜广志［4］定义了三参数区间数，并提出了三参数区间数灰色模糊综合评价法的方法和步骤.在此基础上，胡启洲［5］介绍了逼近理想点法在解决权重为区间数的三参数多指标决策问题中的应用.吴红华［6］通过建立三参数区间数的综合评价模型给出了其在灾害损失评估中的应用.汪新凡［7］介绍了三参数区间数据信息的集成算子及其在决策中的应用.然而，在现实中对于三参数区间数中重心的选择往往是模糊的.因此，胡军华［8］提出了四参数区间数，并给出了一种基于四参数区间数的集结算子的决策方法.

本研究针对四参数区间数的多指标决策问题提出了逼近理想点法.首先，介绍了区间数的相关定义，给出了四参数区间数的一些运算形式，定义了四参数区间数向量间的距离.随后，通过定义正负理想点和计算各方案到理想点的距离及贴近度实现方案的优劣排序，确定最优方案.最后，通过实例说明了此方法在实际问题中的应用.

1 相关概念

定义1［9］设R为实数域，a，b∈R且a≤b，则称闭区间［a，b］为区间数，即两参数区间数.特别地，当a=b时区间数就退化为实数，即确定数.

定义2三参数区间数指用3个参数来表示的区间数，记为α=［al，a*，au］，其中的al，a*，au∈R且al≤a*≤au.al和au分别表示区间数取值的下限和上限，称为区间数的下限和上限;a*表示此区间数中取值可能性最大的数，称为三参数区间数的重心或最理想值，且满足，fmax=f(a*).

定义3四参数区间数是用4个参数表示的区间数，记为α=［al，a*l，a*u，au］，其中的al，a*l，a*u，au∈R且al≤a*l≤a*u≤au.al和au分别表示此区间数的下限和上限，称为四参数区间数的下限和上限;a*l和a*u分别表示在此区间内的下限最可能值与上限最可能值，也是此区间的双重心点.当a*l=a*u时，α退化为三参数区间数;当al=a*l=a*u=au时，α退化为普通实数.

定义4设四参数区间数α=［al，a*l，a*u，au］，β=［bl，b*l，b*u，bu］，k∈R.定义如下运算:α+β=［al+bl，a*l+b*l，a*u+b*u，au+bu］，kα=［kal，ka*l，ka*u，kau］(k≥0)，kα=［kau，ka*u，ka*l，kal］(k＜0)，αβ=，这里要求al，bl＞0.

定义5设四参数区间数α=［al，a*l，a*u，au］，β=［bl，b*l，b*u，bu］，定义|α-β|=max{|al-bl|，|a*l-b*l|，|a*u-b*u|，|au-bu|}为四参数区间数α，β的距离.

定义6 设ξ={α1，α2，…，αn}，η={β1，β2，…，βn}表示两个四参数区间数的向量，其中，，，i=1，2，…，n，定义为ξ，η的距离．

容易验证d(ξ，η)满足下面3个性质:

(1)d(ξ，η)≥0，且d(ξ，η)=0当且仅当ξ=η;

(2)d(ξ，η)=d(η，ξ);

2 四参数区间数多指标决策的逼近理想点法

2.1 建立决策矩阵和规范化决策矩阵

设方案集为X={x1，x2，…，xm}，指标集为U={u1，u2，…，un}，指标权重集为w={w1，w2，…，wn}，决策者根据第i个指标uj给出评价对象xi的属性值为四参数区间数，于是四参数区间数决策矩阵可表示为

由于各指标的量纲各异，所以需要对决策矩阵进行无量化处理.令J+={效益型指标}，J+={成本型指标}，可利用以下公式对矩阵A规范化得到矩阵，其中

2.2 建立加权规范决策矩阵

将已知的权重w={w1，w2，…，wn}加权到规范化矩阵上，得到加权规范化矩阵其中，］，i=1，2，…，m，j=1，2，…，n.

2.3 确定正负理想方案

2.4 计算距离和贴近度

设第i个方案到正理想方案A+的距离为，到负理想方案A-的距离为，由定义6可得

记第i个方案到正理想点A+的贴近度为ei，则，i=1，2，…，m.按贴近度由大到小排列，贴近度越大，则方案越优.

3 应用

近年来，中国淡水湖水质富营养化日趋严重，表1分别为中国5个湖泊的实测数据.已知指标中总磷、耗氧量、总氮含量越少，则透明度越高，水质就越好，各指标的权重集为{0.28，0.25，0.25，0.22}.现对5个湖泊的水质进行综合评估.

表1 5个湖泊评价参数的实测数据Tab.1 Observation data of attribute parameters for 5 lakes

步骤1建立决策矩阵，对决策矩阵进行规范化，得矩阵

步骤2加权后的决策矩阵

步骤3确定正负理想点

正理想点A+={［0.28，0.28，0.28，0.28］，［0.25，0.25，0.25，0.25］，［0.25，0.25，0.25，0.25］，［0.22，0.22，0.22，0.22］}.

负理想点A-={［0.040 3，0.041 4，0.044 5，0.045 6］，［0.025 8，0.031，0.034，0.037 5］，［0.01，0.018 5，0.026 8，0.041 8］，［0.005 5，0.009 9，0.014 3，0.022］}.

步骤4计算贴近度

故有e3＞e5＞e4＞e2＞e1，即5个湖泊水质的优劣次序为A3＞A5＞A4＞A2＞A1.

［1］刘家学，黄德成.多指标决策的最优线性分派法［J］.系统工程与电子技术，2000，22(7):25-27.

［2］张吉军.权重为区间数的多指标决策问题的逼近理想点法［J］.系统工程与电子技术，2002，24(11):76-78.

［3］张吉军.区间数多指标决策问题的灰色关联分析法［J］.系统工程与电子技术，2005，27(6):1030-1033.

［4］卜广志，张宇文.基于三参数区间数的灰色模糊综合评判［J］.系统工程与电子技术，2001，23(9):43-45.

［5］胡启洲，张卫华，于莉.三参数区间数研究及其在决策分析中的应用［J］.中国工程科学，2007，9(3):47-51.

［6］吴红华，李正农.灾害损失评估的三参数区间数模糊综合评判法［J］.自然灾害学报，2008，17(5):64-69.

［7］汪新凡.三参数区间数据信息集成算子及其在决策中的应用［J］.系统工程与电子技术，2008，30(8):1468-1473.

［8］胡军华，林增钰.基于四参数区间数的多准则决策方法［J］.运筹与管理，2013，22(6):84-91.

［9］Sengupta A，Pal T K.On comparing interval numbers［J］.European Journal of Operational Research，2000(127):28-43.