裴然，杜敬涛，朱明刚，杨铁军

(1.哈尔滨工程大学 教务处，黑龙江哈尔滨150001;2.哈尔滨工程大学动力与能源工程学院，黑龙江 哈尔滨150001)

弹性板结构广泛应用于船舶工业、航空航天、建筑结构及辆工程等各个领域，围绕其振动特性分析，各国学者开展了大量的研究，Leissa［1］对领域成果进行了较为全面的总结。然而，关于弹性板结构振动分析主要局限于横向弯曲振动，对于弹性板面内振动研究尚不充分。近年来，有学者研究表明，弹性板结构面内振动在耦合板结构振动能量传输［2-3］、三明治板结构建模［4］和压电超声电机研制［5］等方面起到重要作用，从而，关于弹性板结构面内振动分析又重新引起研究人员的广泛关注。

Bardell等人［6］对弹性板结构面内振动开展了具有卓越贡献的研究，他们不仅对早期弹性板结构面内振动研究文献进行较为全面的梳理与评述，还针对几种经典边界条件下弹性板结构面内振动模态特性首次获得精确数据。Farag和Pan［7］分析了对边钳定边界条件下弹性板结构面内自由振动特性，求得面内耦合与解耦模态固有频率表达式。Gorman［8］采用叠加方法对完全自由边界条件下弹性板面内振动固有特性进行了建模分析，随后，Gorman［9］又将该建模方法进一步拓展至简支与钳定边界条件下弹性板结构面内自由振动特性预报。Xing和Liu［10］获得了对边简支边界条件下弹性板结构面内振动固有频率与模态振型分布。

除了上述经典边界条件之外，还有学者对弹性约束边界条件下弹性板结构面内振动进行了研究。Gorman［11］应用叠加分析方法考虑了沿边界法向弹性约束条件下矩形板结构面内振动模态特性。Du等［12］提出一种二维改进傅里叶级数方法，建立了沿边界法向和切向均为弹性约束情况的任意边界条件下矩形板结构面内自由振动固有特性分析框架，数值结果表明该方法能够快速收敛并且能够准确预报弹性板结构面内振动模态信息。随后，Du等［13］进一步将该建模分析方法拓展至任意弹性点约束边界条件下弹性板面内振动固有频率与模态振型预报。文献调研表明，针对弹性板结构面内振动研究，目前主要集中在理论建模与特性预报，对于从实验角度进行弹性板面内特性测量研究还不多见。

本文将首先采用二维改进傅里叶级数建立弹性板结构面内自由振动分析模型，采用能量原理并结合瑞利－里兹方法获得弹性板结构面内振动系统矩阵方程，并给出数值算例，同文献中其他预报方法结果进行比较，随后，搭建相关实验台架，开展弹性板面内振动实验测量研究。

1 理论推导

1.1 模型描述

如图1所示，考虑一个长为a、宽为b、厚度为h的矩形板结构面内振动模型，在该矩形板上建立直角坐标系，弹性板结构的两条边分别与坐标系中x轴和y轴重合。为了统一处理弹性板结构面内边界约束条件，此处采用沿法向和切向分布的2种边界约束弹簧来进行模拟，这样，各种经典边界条件及其任意组合便可以通过将边界约束弹簧刚度系数为无穷大或零进而得到。

图1 弹性边界约束条件下矩形板结构面内振动模型Fig.1 In-plane vibration model of rectangular plate with elastically restrained edges

1.2 面内振动位移场函数展开

同弹性板结构横向弯曲振动分析相比，面内振动过程中涉及纵向和剪切2个方向上振动位移场相互耦合，为了克服弹性边界约束条件下位移场函数在包含边界在内的任意场点处空间坐标微分的连续性，此处2个方向上的面内振动位移场采用二维改进傅里叶级数进行展开［12-13］:

和

式中:λam=mπ/a，λbn=nπ/b，ξ1(x)和ξ2(x)是面内位移辅助函数。此处，在标准二维傅里叶级数上引入这些辅助函数的目的在于去除面内位移及其相应空间导数在结构边界上的不连续性，进而提高傅里叶级数在整个数值求解域内的收敛速度和求解精度。理论上，这些辅助函数的形式可以不唯一，为了简便相关数学推导步骤，辅助函数在这里分别构造为

容易证明

通过在标准的傅里叶级数中引入辅助函数，可以改进解的收敛性和精确性，此处，构造的辅助函数形式将有助于简化后续数学推导过程。

1.3 能量原理

为了确定矩形板结构面内振动位移场改进傅里叶级数中所有的未知系数，将采用能量原理对弹性板结构面内自由振动进行描述，进而利用瑞利－里兹方法进行求解。弹性板结构面内自由振动的系统拉格朗日函数为

式中:V和T分别为系统的总势能和总动能。

总势能V包括应变能和边界约束弹簧的弹性势能两部分，它可以表示为

式中:G为纵向拉伸刚度，μ为弹性板材料泊松比，u和v分别为弹性板结构沿x、y轴面内振动位移，knx0和kpx0分别表示在边界x=0上边界约束弹簧在法向与切向的刚度系数，类似地，其余约束弹簧的下标含义可以此类推。

弹性板面内振动引起的总动能T为

式中:ρ为弹性板材料密度，ω是振动圆频率，h为弹性板结构的厚度。

1.4 系统特征方程

将所构建弹性板结构面内振动位移场2个改进傅里叶级数振动位移分量函数式(1)、(2)代入至系统的拉格朗日函数式(7)～(9)中，利用瑞利－里兹方法对位移函数中的傅里叶表达式中的各个系数Amn，am，bm，cn，dn，Bmn，em，fm，gn和hn分别求导取极值，在实际计算过程中，改进傅里叶级数进行有限截断m=M，n=N，从而可以得到关于所有傅里叶系数的系统特征矩阵方程

式中

显然，弹性约束边界条件下弹性板结构面内振动所有模态频率参数可以通过求解一个标准的矩阵特征值问题而全部得到。通过将所对应的特征向量代入至所构建二维改进傅里叶级数位移表达式(1)、(2)中，即可得到该节模态频率所对应的物理模态振型分布。如果需要求解弹性板结构面内振动对于外部激励的振动响应，仅需在系统拉格朗日函数式(7)中包含外力的做功项，最终将会在矩阵方程式(10)的右端出现外力激励向量。

2 数值与实验结果分析

本节中将采用MATLAB科学计算语言对上述理论推导模型进行编程数值仿真，将计算所得到的结构模态频率与文献中其他方法所给出的结果进行比较，进而验证所提出预测模型的正确性与可靠性。在仿真模型中，选取文献［14］中的参数，弹性板结构尺寸为1.2 m ×1.0 m ×0.025 m，板结构材料特性为杨氏模量E=70×109N/m2和泊松比μ=0.33。正如前文所述，在本求解框架中，任意边界条件可以通过将法向和切向边界约束刚度系数设置为零或无穷大而得到，从而，对于此处的钳定边界条件，可以同时将2个方向边界约束弹簧设置为无穷大(在实际计算中，采用1×1015表示)即可，对于级数中的截断均取为M=N=12。

表1 2种方法计算得到的前七阶面内模态频率比较Table 1 Comparisons of the first seven in-plane modal frequencies from two solution methods

通过将对应的特征向量系数代入至所构建的二维改进傅里叶级数位移形式，从而得到钳定边界条件下矩形板板结构前几阶面内模态振型分布。

图2 钳定边界条件下矩形板面内模态振型分布图Fig.2 In-plane mode shapes of rectangular plate with clamped boundary conditions

为了从实验角度对弹性板结构面内振动特性进行研究，搭建了如图3所示的实验台架，其中将一长宽厚分别为Lx×Ly×h=1.16 m ×1.0 m ×4 mm 的矩形铝板，通过靠近顶边位置的2个吊孔，经弹簧连接后吊挂于横梁固定结构，从而实现面内振动的自由约束边界条件。在测试过程中，采用B＆K8206-003型力锤在右上角点位置分别沿x和y2个方向进行敲击，以激起矩形板结构面内振动的纵波和剪切波分量。

图3 矩形板面内振动模态测试系统Fig.3 Measuring system for in-plane mode test of a rectangular plate

矩形铝板表面被划分成为13×11个网格，共168个测点，依次在每一位置点处采用B＆K2258A-100型三向加速度计，对力锤敲击所激起的该点在x和y方向上的振动响应信号进行拾取。力锤和加速度计的输出信号则传递至与装有Modal Impact模态分析软件笔记本相连的SCADASIII型LMS多通道数据采集分析系统，通过对所采集数据的软件处理最终能够得到矩形铝板的面内模态信息。模态测试结果如表2所示。

表2 矩形铝板前六阶面内模态频率预测与测量结果比较Table 2 Comparisions of the first six in-plane modal frequencies of the rectangular aluminium panel between the predicited and measured results

面内模态振型分布测量与仿真结果比较情况如图4所示。

图4 矩形板面内模态振型实验与预测结果比较Fig.4 Comparisons of in-plane modal shapes of the rectangular plate between measured and predicted results

通过表1中的数据对比，可以看出:本文模型所得到钳定边界条件下弹性板结构面内振动频率能够与现有文献方法所得结果很好吻合，验证了本模型的准确性。同时，采用本文方法，当边界条件需要改变时，仅需在仿真程序中将边界约束刚度系统进行设置，而无需向文献中方法那样重新对理论进行推导和重新编写程序。进而，在实验台架搭建之后，将矩形板结构的边界约束刚度系统全部设置为零，即可得到实验照片中所示的完全自由边界条件。通过采用模态实验测试分析，将测试数据同本文方法预报结果进行比较(见表2)，可以发现，2种结果之间能够很好地吻合，再次验证了本文模型的有效性。对于模态振型分布，仅需将所对应特征向量代入至所构建改进傅里叶级数位移表示形式中，即可得到图2和图4中的模态振型预报图。一方面可以看到，弹性板结构面内振动由于涉及纵向和剪切2个方向的位移场耦合，从而模态振动图相比较为熟悉的横向弯曲情况，结果要复杂得多。实验测试模态图和预报图相比较中存在的偏差，主要是由于面内振动方向始终垂直于磁力作用方向，从而会对磁座产生一定的剪切作用，在较大的力锤敲击作用下，会导致加速度计的小幅移位或旋转，进而使得这些测点数据与实际振动情况之间存在偏差。

3 结束语

本文采用一种二维改进傅里叶级数方法研究了一般边界条件下矩形板结构面内振动特性，即弹性板结构在面内纵向和剪切2个方向上的振动位移场函数均采用标准二维傅里叶余弦级数附加多项式与单傅里叶级数形式进行展开，用以克服位移函数导数在边界处不连续问题。进而，基于能量原理和瑞利－里兹方法对所有未知傅里叶级数系数进行求解，得到包含所有模态频率参数的系统特征方程矩阵表达式。

采用MATLAB语言编制仿真程序，通过与文献中其他方法预报结果相比较，验证了本文方法和所编制程序的正确性和有效性。同文献中方法相比，本模型中边界条件修改时，不需要对理论模型重新推导和进行程序的重新编写。随后，搭建弹性板结构面内模态测试台架，通过与测试结果比较分析，再次验证了本模型的有效性，同时指出弹性板结构面内模态测试中加速度计的磁座固定方式是引起模态振型分布偏差的主要原因。

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