文 平，黄薏舟

（1.常州工学院 理学院，江苏 常州 213022；2.新疆财经大学 金融学院，乌鲁木齐 830012）

均值-方差分析［1-2］是马克威茨提出的一种分析方法。他指出，投资组合的选择应根据2个标准：投资组合的均值和投资组合的方差。投资组合的均值用来描述其收益，而投资组合方差用来描述其风险。一个投资组合优于另一投资组合，假如它有较大的均值和较小的方差。均值-方差分析被提出后，由于其所富有的启发性以及容易在实践中应用等特点，故被金融界广泛采用，许多金融模型就构建在均值-方差分析的基础之上。

均值-方差分析是不同于期望效用理论的一种决策方法，所以两者的一致性一直在被研究。例如，是否所有风险厌恶的投资者确定的投资组合也是被均值-方差分析所确定的最优投资组合。然而，答案是否定的。现在的观点是，除非多种投资的联合分布是多元正态分布或效用函数为二次的，均值-方差分析才与期望效用理论是一致的。然而，正态分布的假定常有其局限性，因为收益分布往往呈现出“高峰肥尾”的特征。同时，二次效用函数的假定也不能令人满意，因为二次效用函数意味着递增的绝对风险规避程度，以及当财富超过某一点时效用随财富递减。这不仅限制了均值-方差分析的应用范围，而且动摇了包括投资组合理论和资本资产定价理论在内的众多理论的基础。

那么，除了投资的联合分布是多元正态分布或效用函数为二次函数的情形，是否还存在其他条件且在该条件下均值-方差分析与期望效用理论是一致的呢？即要找到某种条件，在该条件下对于每一个风险厌恶的期望效用最大化者，他总是喜欢均值大方差小的随机变量，反之亦然。无疑这是一个极其重要且富有挑战的理论问题，也是一个极具应用价值的实际问题。

Levy等［3-5］指出，进一步的理论发展应集中在对分布加以限制或对偏好加以限制。Meyer［6］证明了LS（Location and Scale）条件下，期望效用可以表示为均值和方差的函数，而且还证明了在一般情况下，期望效用随均值单调递增随方差单调递减，同时他指出，许多经济模型都满足LS条件。但是Meyer没有能够在LS条件下直接证明均值-方差分析与期望效用理论的一致性。文平［7］讨论了在位置-尺度分布族下，均值-方差分析与期望效用理论的一致性，证明了在位置-尺度分布族中当源的支撑可达到负无穷时，均值-方差分析与期望效用理论是完全一致的。在此基础上，本文通过进一步的研究发现，可以将均值-方差分析的应用范围拓展至椭圆分布族。

1 位置-尺度分布族中均值-方差分析与期望效用理论的一致性

关于该问题的讨论，已有论述，以下只列出一些结论，结论的证明详见文献［7］。之所以在这里列出，主要是便于下面的讨论。

定义1位置-尺度分布族是其分布函数形如的随机变量组成的集合，其中，μ∈R为位置参数，σ＞0为尺度参数，F（·）已知，且是某一个随机变量的分布函数。

在经济与管理中，为了便于应用，位置-尺度分布族通常被定义为由一个随机变量经过仿射变换Y=μ+σX生成的分布族。这样任何一个随机变量都可生成一个位置-尺度分布族。为讨论方便，不妨设X是均值为0、方差为1的随机变量；否则，

此时，Y可视为由X1生成的分布族，而X1是均值为0、方差为1的随机变量。由此可得位置-尺度分布族的等价定义。

定义2设X为随机变量，其均值为0、方差为1。S=｛Y|Y=σX+μ，σ＞0，μ∈R｝，称集合S为以X为源的位置-尺度分布族，称X为该分布族的源，若Y1、Y2均属于集合S，则称Y1、Y2属于同源位置-尺度分布族。

显然，若X服从标准正态分布，则以X为源的位置-尺度分布族就是正态分布族。若X服从均值为0、方差为1的均匀分布，则以X为源的位置-尺度分布族就是由所有均匀分布组成的分布族。位置-尺度分布族还包括拉柯西分布族、拉普拉斯分布族及稳定分布族等。由定义可以看出，任何一个均值为0、方差为1的随机变量X都可以生成一个位置-尺度分布族，位置-尺度分布族中的任何一个随机变量都是其源X的一个仿射变换。位置-尺度分布族有以下性质：

定义3设X的分布函数为F（x），则称（a，b）为X的支撑，其中，

对于正态分布族，其源X的支撑为（—∞，+∞），即a=b=+∞，所以正态分布族中的任一随机变量的支撑为（—∞，+∞）。同理，拉普拉斯分布族中的任何一个随机变量的支撑也为（—∞，+∞）。对于均匀分布族，其源X的支撑为），即a=b=，所以均匀分布中任一随机变量Y的支撑为

定理1设Y1、Y2同属以X为源的位置-尺度分布族，Y1=σ1X+μ1，Y2=σ2X+μ2，则有：

（1）Y2一级随机占优于Y1，即Y2≻FSDY1的充要条件为

其中（—a，b）为X的支撑。

（2）Y2二级随机占优于Y1，但不是一级随机占优于Y1，即Y2≻SSDY1但Y2FSDY1的充要条件为μ2≥μ1且（μ2—μ1）/b≤σ1—σ2，其中（—a，b）为X的支撑。

定理2（Hardar-Ressel定 理）［8］Y1、Y2为2个随机变量，则对于任意单调递增且凹的效用函数u（x），E［u（Y2）］≥E［u（Y1）］的充要条件是Y2二级随机占优于Y1，即Y2≻SSDY1

Hardar-Ressel定理表明，期望效用理论与二级随机占优是完全一致的。从而只要证明与随机占优的一致性，就可证明与期望效用理论的一致性。

定理3设Y1、Y2同属以X为源的位置-尺度分布族，Y1=σ1X+μ1，Y2=σ2X+μ2，则对于任意单调递增且凹的效用函数u（x）有E［u（Y2）］≥E［u（Y1）］的充要条件为μ2≥μ1且σ1—σ2，其中（—a，b）为X的支撑。

由定理1和Hardar-Ressel定理就可得到定理3。由定理3可知，在位置-尺度分布族中，期望效用理论与均值-方差分析之间是有关系的。那么何时两者是完全一致的呢？由定理3的结论可以看出，只需位置-尺度分布族的源的支撑趋于无穷或均值相等时。因而，有以下结论。

推论1设Y1、Y2同属以X为源的位置-尺度分布族，Y1=σ1X+μ1，Y2=σ2X+μ2，（—a，b）为源X的支撑，且a=+∞，则对于任意单调递增且凹的效用函数u（x）有E［u（Y2）］≥E［u（Y1）］的充要条件为μ2≥μ1且

推论2设Y1、Y2同属以X为源的位置-尺度分布族，Y1=σ1X+μ1，Y2=σ2X+μ2，若μ1=μ2，则对于任意单调递增且凹的效用函数u（x）有E［u（Y2）］≥E［u（Y1）］的充要条件为。

推论1、2揭示了一个非常重要的结论：当决策集为同源的位置-尺度分布族时，且源的支撑又可抵达负无穷时或均值相等时，均值-方差分析与期望效用理论是完全一致的。该结论是在一维情形下得到的，能否将之推广到多维随机变量呢？

2 椭圆分布与球形分布

2.1 椭圆分布的定义

众所周知，随机向量X=（X1，X2，…，Xn）T被称为多元正态分布，假如它的特征函数

等价地，可以称X为多元正态分布，假如Y=μ+AZ，这里Z=（Z1，Z2，…，Zm）T，是由m个相互独立的标准正态分布组成的随机向量，A是n×m矩阵，μ是n维向量。若随机向量X服从参数为μ和∑的多元正态分布，则记为X～N（μ，∑）。这里，向量μ是X的均值向量，∑是X协方差矩阵，而且∑与A之间的关系为∑=A AT。

类似地，可以定义椭圆分布，椭圆分布是多元正态分布的自然延伸。椭圆分布的定义与性质详见文献［9-10］，以下只给出本文要用的内容。

定义4随机向量X=（X1，X2，…，Xn）T被称为椭圆分布，假如它的特征函数

记为X～En（μ，∑，φ），φ称为X的特征产生器。

随机向量的特征函数总是存在的，并且与分布函数存在一一对应的关系。因而椭圆分布的特征产生器一旦确定，椭圆分布的密度函数形式就确定了。椭圆分布包括的多元分布有：柯西分布、拉普拉斯分布、多元正态分布、Logistic分布、多元Student分布以及部分稳定分布等。

对于多元正态分布而言，若X～N（μ，∑），则对于任何向量X的线性组合ωTX也服从正态分布，并且ωTX的均值为ωTμ，ωTX方差为ωT∑ω。椭圆分布也有类似的性质。

定理4若随机向量X～En（μ，∑，φ），则对于任意n维向量w，有ωTX～E1（ωTμ，ωT∑w，φ）。

由定理4可知，若多种资产的投资收益用多元椭圆分布来描述，则多种资产的投资组合收益服从具有相同特征产生器的一维椭圆分布。而一维椭圆分布只要特征产生器相同，其实就是位置-尺度分布族。这样就可以在位置-尺度分布族中讨论投资组合问题。

2.2 球形分布

n维随机向量Z=（Z1，Z2，…，Zn）T，若Z1，Z2，…，Zn相互独立且服从标准正态分布，则Z服从多元标准正态分布，记为Z～N（O，In），这里O为n维零向量，In为n阶单位矩阵，Z的特征函数

类似地，可以将多元标准正态分布推广至多元球形分布。

定 义5设Z=（Z1，Z2，…，Zn）T，若Z～En（O，In，φ），则称Z服从特征产生器为φ的n维球形分布，记为Z～Sn（φ）。

由定义可知，若Z～Sn（φ），则Z的特征函数

设A=（aij），μ=（μ1，μ2，…，μn）T，若Z～Sn（φ）。令Y=μ+A Z，可以证明Y～En（μ，∑，φ），这里∑=A AT。

定理5设Z～Sn（φ），则对于任意n维向量w，有

作为定理的一个特例可知，若Z=（Z1，Z2，…，Zn）T，Z～Sn（φ），则Zi均服从S1（φ）。

3 椭圆分布中均值-方差分析与期望效用理论的一致性

设有n种金融资产，其资产收益用向量X=（X1，X2，…，Xn）T表示，这里Xi为第i种金融资产的收益。由于收益具有随机性，故X1，X2，…，Xn均为随机变量，故X为一随机向量。设其均值为μ=（μ1，μ2，…，μn）T，这里EXi=μi，i=1，2，…，n。各种金融资产的收益以某种方式相互依赖，这种依赖可用它们之间的协方差矩阵表示。设Xi与Xj的协方差为

令∑=（σij），则∑为X的协方差矩阵。

投资决策从本质上讲为一个投资组合，投资组成由w=（ω1，ω2，…，ωn）T表示，这里ωi为第i种金融资产的投资权重，因而满足ωi≥0且ω1+ω2+…+ωn=1。

该组合投资不妨设为r1，其收益为

由此可知，该组合投资的期望收益为

其方差为

若有另一投资组合r2由v=（υ1，υ2，…，υn）T组成，即r2=υTX，因而其期望收益为

r2的方差为

是否存在二级随机占优与均值-方差分析的一致性呢？即ωTX≻SSDυTX的充分必要条件为ωTμ≥υTμ且ωT∑w≤υT∑v。

目前研究的结论是，只有当X服从多元正态分布时，二级随机占优与均值-方差分析是一致的。由于二级随机占优与期望效用理论的一致性，故在多元正态分布条件下，根据均值-方差分析所做的投资决策与根据期望效用理论所做的投资决策是条件是一致的。但是，如前文所述，多元正态分布的假定存在局限性。正是因为这个原因，人们在不断探索用其他分布来描述投资收益。

椭圆分布是多元正态分布的推广，而且椭圆分布具有与多元正态分布很多类似的性质。既然在多元正态分布条件下，二级随机占优与均值-方差分析是一致的，能否将两者一致性的范围扩大至椭圆分布就成为一个值得研究的课题。研究发现，当椭圆分布满足某种条件二级随机占优与均值-方差分析是一致的，结果由下述定理给出。

定理6设X～En（μ，∑，φ），若X的边际分布的支撑可抵达负无穷，则r1=ωTX二级随机占优于r2=υTX的充分必要条件为ωTμ≥υTμ且ωT∑w≤υT∑v。

证明r1=ωTX则r1～E1（ωTμ，ωT∑w，φ），同理，r1～E1（υTμ，υT∑v，φ）。即r1、r2服从具有相同特征产生器的一维椭圆分布，由于特征函数与分布的一一对应，故r1、r2的分布相同，只是参数不同。另一方面，由椭圆分布和球形分布的定义可以看出，一维椭圆分布一定为一位置-尺度分布族。当椭圆分布的边际分布的支撑可抵达负无穷时，由椭圆分布产生的投资组合r1、r2的支撑也可抵达负无穷。根据定理1，有r1=ωTX二级随机占优于r2=υTX的充分必要条件为ωTμ≥υTμ且ωT∑w≤υT∑v。

推论3在椭圆分布中，若椭圆分布的边际分布的支撑可抵达负无穷，则按期望效用理论进行的投资决策与案均值-方差分析进行的投资决策是一致的。

证明设X～En（μ，∑，φ），r1=ωTX，r2=υTX，当X的边际分布的支撑可抵达负无穷时，由定理6可知，r1=ωTX二级随机占优于r2=υTX的充分必要条件为ωTμ≥υTμ且ωT∑w≤υT∑v。根据Hadar-Ressel定理，对于任意单调递增且凹的效用函数u（x）有E［u（r1）］≥E［u（r2）］的充要条件为ωTμ≥υTμ且ωT∑w≤υT∑v。即在该条件下，期望效用理论与均值-方差准则是一致的。

在金融研究中，常假设投资收益服从正态分布，多种投资收益的联合分布即为多元正态分布。之所以这样做，主要是多元正态分布具有一些非常好的性质：①若X=（X1，X2，…，Xn）T服从多元正态分布，则组合投资ω1X1+ω2X2+…+ωn Xn也服从正态分布，从而其边际分布也为正态分布。②在正态分布假设下，投资决策的均值-方差分析方法与期望效用理论是一致的。然而，用正态分布描述投资收益存在不合理性，实证表明，投资收益往往呈现高峰肥尾的特征，用多元正态分布来描述投资收益显然是不恰当的，必须引进其他更为复杂的分布甚至分布族。面对高峰肥尾现象，国内外的解决方法主要是运用呈现高峰肥尾特征的分布，诸如柯西分布、多元t-分布、多元拉普拉斯分布以及多元稳定分布等。而椭圆分布恰好是包含了这些分布的分布族。因此，推论3的结论无论从理论上还是从实际上都具有重要的意义。

4 结语

均值-方差分析与期望效用理论的一致性自该方法被提出后一直就是一个被研究的问题。一方面，从分布着手，对分布加以限制；另一方面，从效用函数入手，对效用函数加以限制。目前，普遍的结论是当分布为多元正态分布或效用函数为二次函数时，两者才是一致的，而多元正态分布以及二次效用函数都有局限性，这样拓展均值-方差分析的应用范围就非常有必要。研究发现，当椭圆分布的边际分布的支撑可抵达负无穷，两者存在一致性。而椭圆分布所包含的诸如柯西分布、拉普拉斯分布、多元正态分布、Logistic分布以及多元Student分布均满足此条件，就可将两者存在一致性的条件由多元正态分布拓广至这些分布。这不仅具有一定的理论意义，而且具有一定的应用价值。