马国丰，顾凌赟，艾 琪

（同济大学 经济与管理学院，上海 200092）

资源是影响工程项目进度、质量和成本的重要因素。项目进度计划不仅要考虑项目中各工序的逻辑顺序，还需考虑各类资源的均衡使用。资源均衡是在尽可能使进度计划中描述资源使用的各种动态曲线（劳动力、材料、机械等）不出现短时期的高峰和低谷，从而避免现场拥挤而增设临时设施，也减少二次搬运而造成的劳动管理复杂度。尤其是在现代大型复杂项目施工中，涉及各类租赁或采购费用高昂的施工机械等重要资源。在项目计划中，资源的使用模式比资源的使用峰值更值得关注。然而，考虑到任何项目都需要建设时间，且资金时间价值的存在［1］，为有效利用并节约项目投入资金，应在尽可能范围内推迟项目各活动的开工时间，避免过早地投入资金，造成资金积压；但推迟活动开工时间，则可能导致抢工现象和材料供应脱节，影响工程的顺利进行。需要考虑资金时间价值因素的均衡优化。因此，项目进度计划需保证资源波动及投入资本两者的最小化。

目前，对资源均衡问题（Resource Leveling Problem，RLP）的研究主要集中在资源不受限和资源受限两类，早期研究主要集中在前一类［2］。RLP问题的优化方法可分为基于枚举、整数规划或动态规划的精确算法，基于优先规则的启发式算法及智能算法。其中，精确算法中主要归纳为3类：

（1）对活动可行的整数开始时间进行迭代。Ahuja［3］考虑了资源轮廓变化的平方和，而Younis等［4］则考虑了相对于期望值的资源需求的偏离绝对值。Bandelloni等［5］设计了基于活动整数时差的动态规划方法。对于有时间约束的问题，Neumann等［6］在上述方法的基础上，提出了基于分支定界的时间窗。Rieck等［7］则采用快速精确算法，将经典资源均衡问题的目标函数线性化表示，列出了割平面框架。在考虑资源需求实际值与计划值的偏差的基础上，Tang等［8］引入了重要性权重因子进行约束规划求解。

（2）对所有可行的次序网络中的进行迭代。Gather等［9］提出一种基于树的方法，对所有似稳定调度计划进行迭代，并采用了避免冗余的方法。为了迭代所有次序网络的极点，通过固定活动开始时间来生成对应的生成树。同时引进了“T-最小树”概念，以避免实施2个代表1个或相同似稳定调度计划的不同树。

（3）通过引进二进制变量的混合整数规划方法。这是在Pritsker等［10］和Easa［11］的研究中所启示。Pritsker等引进了一个将活动分别配置在不同时刻的二进制变量；Easa则是引进了一个描述活动相对于最早开始时间推迟程度的二进制变量。在前人研究的基础上，El-Sayegh等［12］进行了创新，提出了一个允许活动分裂以控制成本的二进制变量。

综上，在资源均衡问题研究中，已有的解决方法已较成熟，而具有特殊目标函数的资源均衡问题将成为当前研究的主流方向。因此，本文考虑项目实施主体的同时也关注投资主体的投入，构建最小化项目投资成本的多资源均衡优化模型，对模型中涉及的2个目标函数分别进行线性化处理，提出一种混合整数线性规划方法进行求解。

1 问题描述

1.1 资源均衡问题

本文研究的资源均衡问题的基本前提：

（1）工程项目由n+2个任务组成，执行没有中断。用单节点网络图表示，记作N=（V，A），V是顶点的集合，A是弧长的集合。顶点集V=｛1，2，…，n，n+1，n+2｝，其中，任务第1和第n+2个为虚工序，分别表示唯一最早开始和最晚完成的任务。

（2）资源均衡问题只针对有限资源，且单位时间的资源提供量为常数。

（3）项目中的每个任务都能使用多种资源，但每种任务仅考虑为单执行模式。

资源均衡优化是指在项目工期固定不变的条件下，合理地调整项目网络计划中的某些任务，使资源的需求量在项目工期范围内趋于均衡的过程。衡量资源使用量是否均衡的指标有多种，如方差［13］、根方差、极差、最大绝对离差和不均衡系数。本文考虑活动资源使用相对于各资源使用水平的偏差绝对值作为目标函数，目标函数定义为

1.2 投资成本问题

由于在工程建设实践中资金是具有时间价值的，尤其在建设周期较长、费用较大的建筑工程中。故应考虑资金时间价值，将项目现金流量按资本成本进行折现，使不同时点的资金具有可比性，真实地反映出不同时期的现金流出对项目的影响。保证项目总投入最小，即，其中，qi为活动i的资金流入，折现因子e—α=1/（1+r），r为资金的机会成本。

1.3 投资成本最小化的资源均衡优化

对建筑工程施工计划优化的目的在于制定一个合理的网络调度计划，使得资源配置均衡，且网络净现值最大。综合考虑资源优化及资金时间价值的现实意义，将两者结合组成一个多目标规划问题。本文采用线性加权法构造一个新的目标函数，即为F（s）=φ1f（s）+φ2g（s）。其中：

2个权重系数φ1、φ2取固定值，分别为资源均衡目标函数f（s）和投资成本目标函数g（s）的最大值的倒数，以此对活动资源使用相对于各资源使用水平的偏差绝对值进行量化处理。

2 混合整数线性规划模型

资源均衡优化属于组合优化问题，对于活动数目较多的问题在理论上称为NP问题［14-16］。由于目标函数为非常规函数，故本文通过引进二进制变量及相关约束条件，对目标函数进行线性化处理，构建混合整数线性规划模型。

2.1 活动浮动约束

（1）引进二进制变量表示各活动的浮动程度，配置到可行的开始时间t中，即

2.2 网络逻辑约束

令活动i的紧后工序集为Qi，j∈Qi，对于活动i及其紧后工序中的每一个活动间存在约束：活动i的浮动时间超出其自由时差的部分不能多与其紧后工序的浮动时间。即xi—FFi≤xj，i∈V，j∈Qi。当xi≤FFi时，约束条件显然满足。

2.3 项目资源约束

项目共享K种有限资源，各种资源的单位成本为ck（ck≥0），Rk为各资源的额定资源量，每个工序i对资源k的资源需求量为rik，虚工序的资源需求量为0。令Zkt表示在某一调度计划中时刻t对资源k的消耗量，它包含关键活动及非关键活动的资源需求。由于工程实践中资源供给存在限制，故

其中：Zkt，c为t时刻在执行的关键活动对k的资源需求Zkt，c=rik；Zkt，nc为t时刻在执行的非关键活动对k的资源需求，由于非关键活动允许时差波动，故

2.4 目标函数线性化

本文选取计划资源消耗相对于各资源使用水平偏差的绝对值为衡量指标，即函数为非线性化，将绝对值消去进行分阶段考虑，并引进辅助变量，且满足

对所有的调度计划，（Zkt＞Yk时）或（Yk＞Zkt时）取值为正，另一则为0。因此，资源均衡目标函数转换为

其中前两项及αe—αsi0为常数，则投资成本最小值，转化为

2.5 模型构建

考虑资源均衡——投资成本2个目标的RLVC模型。

总目标函数

该优化问题即生成调度计划，调整各活动开始时间Si，即确定推迟时间xi，从而导致目标函数变化。

3 算例分析

PSPLIB（project scheduling problem library）由Kolisch等［16］采用实验设计的方法设计，通过设计软件ProGen来设定项目调度问题的各种参数。由软件可产生符合参数要求的具有不同目标的调度问题，包括480个调度问题，每个问题含30个任务，涉及4种可更新资源。同时，通过对ProGen的扩展，产生一套涉及多种任务模式的调度问题，从而形成PSPLIB。本文采用PSPLIB标准问题库中活动多模式j10测试问题集进行验证分析。运用Matlab进行编程计算。为简便计算，只选取活动的第1种模式数据做参考，如表1所示。

表1 算例基本信息

算例包括12个工序，其中有2个虚工序和10个实工序，施工过程涉及2种可更新资源，资源上限为R1=11，R2=9。假设活动i的资源需求qi与其持续时间及资源消耗强度呈线性关系，即目标函数

以最大资源需求总量为优先规则，计算各活动

最早开始时间

ES=｛0，1，0，0，2，6，9，9，14，14，2，21｝

最晚开始时间

LS=｛0，1，0，0，5，6，9，12，14，18，2，21｝

从而计算活动总时差

TF=｛0，0，0，0，3，0，0，3，0，4，0，0｝

自由时差

FF=｛0，0，0，0，3，0，0，3，0，4，0，0｝

确定关键活动集A（C）=｛1，4，2，11，6，7，9，12｝，非关键活动集A（NC）=｛3，5，8，10｝。以最早开始时间进行调度的资源轮廓图，如图1所示。资源水平Y1=3.7，Y2=7。

从t=1时刻开始，确定各个时刻关键活动和非关键活动对资源的需求量。确定目标函数取最小值时，活动的浮动时间为x3=0，x5=0，x8=1，x10=0，最优调度计划

图1 资源轮廓图（最早开始时间）

输出对应的资源轮廓图，资源波动偏差为156，如图2所示。

图2 综合优化资源轮廓图（最优调度计划）

本文考虑投资成本和资源均衡2个目标的优化，较仅考虑资源均衡为目标时的投资成本减少了16%，而资源波动保持不变；较仅考虑投资成本目标时的资源波动减少了2.5%，而投资成本则增大了1.3%。

4 结语

有效利用投资成本的同时保证资源均衡使用，在项目中对实施主体过程管理、投资主体资金投入具有重要作用。本文将双方关注点各取一个重要指标，综合考虑并提出资源受限情况下的项目多资源均衡——投资成本优化的混合整数线性规划模型：①对具有开工柔性的非关键活动的资源需求，借助于活动浮动参数来描述，结合关键活动的资源消耗，完成资源使用波动目标函数。②由于资金存在时间价值，为保证可比性，对不同时刻的资金投入折现在项目初始时刻，并运用泰勒展开线性化处理，完成投资成本的目标函数。③通过线性加权，将双目标优化统一，在网络及资源约束下建立模型，运用Matlab软件实现模型的求解。最后，对PSPLIB标准问题库进行验证，结果表明，较单目标优化，综合优化后的调度计划既能保证资源波动平稳，又能提高资金使用效率，有利于项目利益相关者间的协调，且计算过程可行有效。

另外，本文需要进一步研究的是在原先资源均衡基本前提之外，研究活动多模式、活动可抢断等情境下的资源均衡，不仅如此，用其他启发式或智能算法来解决也可成为该领域的努力方向。