谷荷莲

排列、组合问题是高中数学的重要内容之一，是学习概率的基础. 纵观近几年高考试题，排列、组合问题每年必考，特别是与概率分布问题结合的题目在高考中占有相当的比重.

重点：理解排列、组合的概念；掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质；能解决简单的实际应用问题.

难点：排列、组合的综合应用，解题方法的灵活多变；元素异同、有序还是无序问题的区别，解答方法的选择依据；元素、位置容易混淆，元素位置如何的对应.

1. 识别元素是解决排列、组合计数问题的首要条件

一个问题给出后，什么是“元素”，要看成几个元素，元素中有没有相同的元素，要不要“分层次”“分集团”处理.

2. “元素”与“位置”的关系

大多计数问题都可以看做“元素”与“位置”的对应关系问题，题目中“元素”与“位置”要如何对应？比如：简单的组合问题就是只有一个位置，把所有的元素都放在一个位置，所以没有顺序；简单的排列问题就是元素个数与位置个数一样多，所以计数时“先取后排”.

3. “有序”与“无序”是排列与组合的重要特征

“有序”为排列问题，“无序”为组合问题. 对于有特殊元素（位置）的排列、组合问题，特殊元素（位置）可优先安排，也可采用间接法.

4. 解排列组合应用题的基本规律

（1）通过“元素”与“位置”的识别，将具体问题抽象为数学问题，先确定怎么使用分类计数原理与分步计数原理：①单独使用；②联合使用.

（2）再确定如何用排列模型或组合模型解决问题.

（3）对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑：①元素分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素. ②位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置. ③相同“元素”排列时注意利用除法“消序”. ④整体排除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数.

（4）对解组合问题，应注意以下三点：①对“组合数”恰当地分类计算，是解组合题的常用方法. ②用“直接法”还是“间接法”解组合题，其原则是“正难则反”. ③设计“分组方案”是解组合题的关键所在. ④相同“元素”组合时注意利用“挡板法”或“不定方程法”.

■例1 三名女同学和两名男同学排成一排照相，要求女同学站在一起，男同学也站在一起，且女同学甲不排在左边第一个，则有多少种排法？（ ）

A. 36种 B. 32种？摇？摇？摇

C. 24种 D. 20种

思索 对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑并看做一个元素再与其他元素进行排列，同时对相邻元素进行自排；对于不相邻问题，可以先安排好没有限制条件的元素，然后在排好的元素之间的空位再排入不相邻的元素，要注意不相邻问题和相邻问题的处理方式的不同之处. 本题同时要注意剔除女同学甲排在左边第一个的情况.

破解 法1：把女同学捆绑在一起，男同学捆绑在一起，共有A■■·A■■·A■■=24种排法，剔除女同学甲在左边第一个的排法，有A■■·A■■=4种，所以满足条件的排法有24-4=20种.

法2：按条件进行分类：第一类，两名男同学排在左边第一、第二的位置，共有A■■·A■■=12种；第二类，两名男同学排在第四、第五的位置，且女同学甲不排在左边第一个，共有C■■A■■A■■=8种. 综上可知，总共有12+8=20种排法.

■例2 某城市有7条南北走向的街，5条东西走向的街，如果从城市的一端的O地走向另一端的A地，如图1，最短走法有多少种？

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图1

思索 本题属于两类不同元素的排列问题，模型是部分相同元素的排列问题，一般地，含有m个元素的排列，其中有n个相同的元素（m>n），则这m个元素共有■种排列方法.

破题 法1：以a表示一段东西走向的街，b表示一段南北走向的街，每一种路程都必须含有6个a和4个b，因此不同走法就是6个a和4个b的全排列，其排列数有■=210种，所以最短的走法有210（种）.

法2：问题等价转化为从4+6=10条街中选出6条街，设a表示一段东西走向的街，b表示一段南北走向的街，问题等价于从10个空位中选出6个填上a，即有C■■=210（种）.

■例3 定义：任何一条棱都不与面垂直的三棱锥称为“斜三棱锥”.现在从正方体的8个顶点中任取四个作为三棱锥的四个顶点，则其中“斜三棱锥”的个数是（ ）

A. 24 B. 26 C. 34 D. 50

思索 涉及几何图形的排列、组合问题，应根据图形特征及题目要求求解，要特别注意共点、共线、共面，线线平行、垂直，线面平行、垂直，面面平行、垂直等特殊情况的处理. 计算时可以用直接法，也可以用间接法，要注意在限制条件较多时，分类计算符合题意的组合数.

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图2

破题 在正方体一个面的正方形的四个顶点中任取三个点，在与这个面平行的面的正方形中只能有一个顶点与刚才三个顶点构成“斜三棱锥”（比如：三棱锥D1-ABC），所以这一对平行平面的顶点共构成2×C■■=8个“斜三棱锥”，正方体中共有三对平行平面，所以可以构成“斜三棱锥”3×8=24个，另外正方体8个顶点中任取4个可以构成2个正四面体（四面体A1C1BD和四面体ACB1D1），故“斜三棱锥”共有24+2=26个.

1. 某学校有甲、乙、丙、丁四名学生参加“北大”“清华”“港大”三个学校的自主招生考试，每个学校至少有一名学生报考，且甲、乙两名学生不报考同一个学校，则不同的报名方法有（ ）

A. 72种 B. 36种

C. 30种 D. 18种

2. 已知四面体6条棱所在直线中有三对异面直线，那么在过正八面体（由两个棱长相同的四棱锥拼接而成，如图3）的任意两个顶点的所有直线中，随机取两条，则这两条直线异面的种数有（ ）

A. 24

B. 36

C. 48

D.60

3. 将5名学生分到A，B，C三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法种数有（ ）

A. 18 B. 36

C. 48 D. 60

4. 一行7个空格，现在要写上4个汉字，恰有两个空格是相邻的情况的种数是______.

参考答案

1. C 2. B 3. D

4. 480？摇把4个写上汉字的空格看做4个元素，分别为a，b，c，d，把三个空格中的2个捆在一起看做一个元素A，剩下一个空格看做一个元素B，先把写上字的4个元素a，b，c，d任意排列，再在五个空档中有顺序的放上A，B两个元素，则共有A■■·A■■=480种. ■endprint