房正华（合肥工业大学,合肥230009）

FGM空心圆筒的稳态应力场解析解

房正华
（合肥工业大学,合肥230009）

本文主要利用微分方程的级数解法来求解FGM空心圆筒的一维应力场问题。假定圆筒的材料属性沿径向呈幂指乘积函数分布，并受到轴对称的温度荷载。最后以钼/多铝红柱石合成的功能梯度圆筒为例得到有限元软件模拟的数值解。

功能梯度材料；空心圆筒；应力场；级数解

0　引言

材料性能和组分的突变往往会导致明显的局部应力集中，如果复合材料中不同材料间的变化是逐步连续进行的，则应力集中会大大减小。为了提高材料性能，减小材料的应力集中，功能梯度材料的出现很好地解决了这一问题。功能梯度材料是指材料在其厚度或长度方向上组分和结构呈连续梯度变化的一种新型复合材料。梯度功能材料的主要特征可以简要概括一下有以下三点：

（1）材料的组成成份和结构呈连续性梯度变化；

（2）材料内部没有明显的界面；

（3）材料的性质相应地也呈连续性梯度变化。与传统材料易在基层和纤维之间界面容易破坏不同，功能梯度材料可以承受更大的荷载。其实自然界中早已存在功能梯度材料，如竹子、人的骨骼、牙齿等都是典型的梯度材料，它们结构中的最强单元能承担最大的应力。

功能梯度材料（FGM）最早的概念是由日本材料学家新野正之等[1]人提出，他们将陶瓷和金属材料复合达到从这种材料属性连续变化到另外一种材料。材料属性沿圆筒径向分布函数的形式有很多，如线性、幂函数、二次函数等等。Lutz等[2,3]对功能梯度球体和圆筒给出了一维热应力分析，他们考虑厚壁空心圆筒受稳态径向热负荷，并假设材料的热弹性参数与圆筒或球体成线性关系。Jabbari等[4,5]在假设材料参数沿厚度随半径以幂函数形式变化时分析了受径向对称荷载下圆筒中的热应力分布，并提出一种直接解析法来求解热传导和纳维方程。Xiang等得到了弹性模量沿径向线性变化且内外表面受均匀压力的厚壁空心圆筒的位移和应力分布。Tutuncu通过幂级数解的方法求得了材料参数呈指数变化的厚壁空心圆筒的径向位移和稳态应力。Hosseini等给出了材料性能沿厚度呈幂律关系的FGM空心圆筒的瞬态热传导解析法，并用Bessel函数法得到了温度分布。R.poultangari等假设材料性能沿厚度方向呈幂函数变化，通过能量方程得到内部温度场分布，运用欧拉方程和勒让德多项式求解Navier方程，给出了不同幂指数下的温度、位移和应力分布。

1　问题描述

一有限长FGM空心圆筒，内外壁半径为r1，r2，该圆筒的材料属性各向同性且沿厚度方向呈线性分布，材料属性参数如弹性模量、热传导系数、热膨胀系数、热扩散率分别为E、λ、α、k。其内壁同时受温度荷载T1和机械荷载q1，外壁受到温度荷载T2和机械荷载q2作用，圆筒内部无热源。假定空心圆柱的热弹性参数如热传导率λ等均沿径向呈幂指函数(如 )分布，空心圆柱内外壁和周围介质间的热对流传递系数分别为h1和h2，在这里利用热传导方程可以得到温度场，纳维方程得到位移场和应力场。

1.1温度场的求解

首先来求圆筒的温度场，并将材料属性参数代入热传导方程中为：

上式中为计算方便，全部采用参数无量纲化的方法，如R=r1/r2等等。

二阶变系数微分方程常常不能用通常的解法求出，但可以用级数或数值解法。数值解法手工很难完成，要借助计算机软件如matelab等，差分法是常见的用来解变系数微分方程的方法。二次变系数微分方程的级数解法分为在奇点处和在常点处的级数展开两种方法，式（1）在R=1处展开就用常数点处展开的级数方法，在R=0处就用级数点处的级数展开。本文选取在R=0处级数展开，则方程的解用级数可以表示为：

利用微分方程的正则奇点处的级数解法得

其中Ak1，Ak2便可以通过递推公式求出。β1，β2可以代入温度边界条件得到。

1.2位移场和应力场的求解

在得到圆筒的温度场后需要直接通过位移-温度关系式求解到位移分布，所以先通过本构方程和几何方程推导出能通过求解二阶微分方程的关系式（即Navier方程），该方程是二阶变系数非齐次微分方程，求解起来有一定的难度，这里要先求解该方程对应的齐次方程解（同温度场的求解方法一样，都可以用级数解法）。然后观察方程左右两边形式构造出非齐次方程的特解，并代入求其待定系数。在得到位移场的分布后，只需将其代入几何方程和本构方程即可得到相应径向应力和环向应力的解析解。

2　数值模拟

在这里考虑的是一个用钼/多铝红柱石制成的FGM空心圆筒，其无量纲内外径分别为：R=0.9和R=1.1。材料属性沿径向按幂指函数变化且参数取值为：p1=2.3,p2=p3=1.5，q1=-0.3，q2=-0.2。由于圆筒的材料性能参数随厚度方向连续变化，在有限元模拟中要作简化处理，采用层合模型，将空心圆筒沿径向均匀分成100份，每个小圆环内部的材料属性保持不变。圆筒外壁的热传递系数为H=30，内外壁开始的温度分别为：和。

图1表示的是FGM空心圆的稳态径向温度场，以此为例可以看出文中所用方法与数值结果的误差在3%以内，验证了方法的正确性。

3　总结

本文主要对轴对称FGM空心圆筒的一维应力场问题进行了研究，其中通过级数解法来求解热传导方程得到应力场的解，而且该方法还可以推广到材料属性沿径向一般分布的情况。

[1]新野正之，平野敏雄，渡边龙三.倾斜机能材料[J].日本复合材料学会志，1987,13(04):257-264.

[2]Lutz MP, ZimmermanRW. Thermal stresses and effective thermal expansion coefficient of a functionally graded sphere. J Therm Stress 1996;19:39-54.

[3]Zimmerman RW, Lutz MP. Thermal stress and thermal expansion in a uniformly heated functionallygradedcylinder.J Therm Stress 1999; 22:177-88.

[4]JabbariM,SohrabpourS,EslsamiMR.Mechanical and thermal stresses in a functionally graded hollow cylinder due to radially symmetric loads [J]. International Journal of ressure Vessels and Pip in g, 2002, 79(07)：493-497.

[5]JabbariM,Sohrabpour S, EslamiMR. General solutionformechanicalandthermalstressesinafunctionallygradedhollowcylinderduetononaxisymmetricsteady-stateloads[J].JournalofAppliedMechanics-Transactions oftheASME,2003,70(1):111-118.

[6]K.M.Liew, S. Kitipornchai, X.Z. Zhang, C.W. Lim. Analysis of the thermal stress behaviour of functionally graded hollow circular cylinders[J].International Journal ofSolidsandStructures,2003,40 : 2355-2380.

[7]Xiang H J, Shi Z F, Zhang T T. Elastic analyses of heterogeneous hollow cylinders[J]. Me-chanics Research Communications, 2006, 33(5): 681-691.

[8]Tutuncu N. Stresses in thick-walled FGM cylinders with exponentially-varying properties[J]. Engineering Structures, 2007, 29(9): 2032-2035.

[9]Hoseini S M，Akhlaghi M，ShakeriM. Dynamic response and radial wave propagation velocity in thick hollow cylinders made of functionally graded materials[J]. Engineering Computations,2007,24(03) :288-303．

[10]R Pouitangari, M Jabbari,M.REslami. Functionally graded hollow spheres under nonaxisy-mmetric thermomechanical loads [J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping,2008,85(05):295-305.

房正华（1989—），男，安徽安庆人，硕士研究生，研究方向：FGM空心圆筒热应力问题。