江超，胡荣，李东亚

（南京航空航天大学民航学院，南京211106）

考虑贴现因子的民航协同运输利润分配研究

江超，胡荣*，李东亚

（南京航空航天大学民航学院，南京211106）

为探究贴现因子对民航协同运输利润分配的影响，得出更合理的利润分配方案，构建考虑贴现因子的讨价还价模型，采用逆推归纳法分类讨论贴现因子不同取值范围下的协同运输利润最优分配方案，并对方案的可行性进行模拟验证.研究结果表明，贴现因子对利润分配与合作稳定性有明显的影响；当航空公司贴现因子不相等时，为实现“双赢”，贴现因子较大的一方应“礼让”博弈第一阶段的出价权，同时贴现因子较小一方的贴现因子变化对利润分配比例变化具有更大的灵敏度；当贴现因子相等时，参与博弈的航空公司应在一定的取值范围内出价以确保合作的稳定性.

航空运输；利润分配；博弈论；贴现因子；讨价还价模型

1 引言

民航协同运输是指相对独立的航空公司之间协同运作，采用互相代为运输旅客的方式来减少飞机空载、提高企业效益等目的的运输模式，如代码共享等.但民航协同运输产生的利润分配问题却一直困扰着各个参与协同运输的承运人，特别是对于一些规模较小的航空公司，由于缺乏航线、时刻等资源，在与大航空公司进行民航协同运输利润分配时经常处于弱势地位，这就使得一些民航协同运输的稳定性较低，并不能很好地实现“双赢”.因此制定一个相对公平又具有一定激励性的协同运输利润分配方案对于协同运输的稳定性和可持续发展就显得非常重要.

针对上述竞争与合作共存的由民航协同运输组成的动态联盟利润分配问题，国内外学者们运用博弈论从解决方法和方法应用两个层面开展了有益的探究.在解决方法层面，Rubinstein首先提出了基于博弈论的讨价还价模型，引入贴现因子这一变量，提供了最为基础的研究方法[1]；Torstensson把讨价还价博弈推广到N个局中人的情况，并讨论了子博弈的均衡情况[2]；Shaked等通过对Rubinstein研究结论进行拓展，构建了更适合2个成员动态联盟利润分配的讨价还价模型[3]；Rusinowska分析了不同时间状态下“动态贴现因子”的子博弈均衡情况[4].在方法应用层面，李群峰和Hou等采用讨价还价模型对动态联盟收益分配问题开展了博弈分析[5，6]；王慧娟等进一步考虑了贴现因子对动态联盟博弈过程和结果的影响[7]；周琴等把零售业的动态联盟作为研究对象，并采用讨价还价模型重点研究了动态联盟的利润分配方案，孙多青等也做出了类似研究[8，9]；周永圣等对协同运输联盟中的不平等性进行深入探究，研究了贴现因子对协同运输利润分配的影响[10].

综合现有国内外研究文献，虽然针对协同运输利润分配博弈问题已经有了一定的成果，但仍存有如下问题亟待深入：

（1）贴现因子对讨价还价博弈结果产生的影响分析尚显不足，特别是对民航协同运输利润分配产生的影响研究较为少见；

（2）贴现因子对协同运输稳定性研究的讨论尚未深入.

据此本文基于Rubinstein的讨价还价模型，运用逆推归纳法，研究贴现因子不同取值对民航协同运输利润分配的影响，分析贴现因子对协同运输稳定性的影响，从而为参与民航协同运输利润分配的承运人提供参考.

2 模型构建

2.1 模型基本假设

为方便建模讨论，本文构建针对2个成员的民航协同运输利润分配博弈模型：

（1）参与利润分配博弈的2家航空公司A1和A2通过代码共享形式开展民航协同运输.

（2）A1和A2进行民航协同运输所获总利润为E，则在讨价还价的第i阶段（i≥1）如果一方建议己方获得的利润为Mi，那么另一方得到的利润为E-Mi.

（3）假设每次其中一方提出一个利润分配方案和另一方选择是否接受这个利润分配方案为一个阶段，那么议价每多进行一个阶段，由于议价成本等，双方所得利润都要乘以贴现因子，即对后面阶段得到的收益进行贴现[10]；

（4）设A1和A2的贴现因子分别为δ1和δ2（δ1、δ2∈[0,1]）.

（5）假设文中讨价还价博弈由A1在第一阶段先出价，考虑到贴现因子取值的对称性，该假设不会影响研究结论.

2.2 博弈策略分析

第1阶段A1的利润分配方案是自己得M1，A2得E-M1.此时A2如果接受这个方案则A1和A2获得的利润分别为M1和E-M1，议价结束；如果拒绝则开始下一阶段议价.

第2阶段，A2的利润分配方案是A1得M2，自己得E-M2.此时A1如果接受这个方案则A1和A2获得的利润分别为δ1M2和δ2(E-M2)，议价结束；如果拒绝则开始下一阶段议价.

第3阶段及以后以此类推.

从上述博弈策略分析中可以看出，谁先获得第1阶段的出价权就能率先掌握博弈的主动，因此博弈第1阶段的出价权会在较大程度上影响博弈的结果.

3 分类讨论

为深入分析贴现因子的取值对民航协同运输利润分配问题产生的影响，下面设置贴现因子在不同的取值范围来分类讨论其对民航协同运输利润分配结果的影响.

3.1 博弈分析

根据Shaked和Sutton的结论[3]，这个无限次重复博弈从第三阶段开始与从第一阶段开始应该得到同样的结果（仅是双方对于利润分配报价比例相同，由于受到贴现因子的影响，越后的阶段双方实际获得的利润越小）[7].因而上述无限次博弈问题可以抽象为一个三阶段博弈问题，即在博弈的第三阶段时，A1的利润分配方案A2必须接受，议价博弈最多进行三个阶段.

在这样的情况下，此博弈有三个关键点：第一是如果博弈进行到第三回合，那么A1提出的利润分配方案具有强制力，即A2必须接受A1提出的利润分配比例，并且博弈双方都清楚这一点；第二是此博弈每多进行一个回合，其博弈双方得到的利润就会下降一个比例（δi），因此让议价过程拖得越长对双方越不利；第三是由于此博弈在第三阶段一定会达到均衡，那么其均衡解就是第三阶段出价者的出价M3.

下面采用逆推归纳法具体分析贴现因子的不同取值对民航协同运输利润分配与稳定性的影响. 3.1.1 A1贴现因子小于A2贴现因子（δ1＜δ2）

在第三阶段，因为A1提出的方案A2必须接受，因此A1会提出尽量大的M3，此时双方获得的利润分别为

倒推回第二阶段，第二阶段的结束条件是因为A1在这一阶段接受了A2提出的方案，所以A2在第二阶段提出方案中给A1的利润M2要大于或等于A1在第二阶段拒绝A2的利润分配方案进入第三阶段所获得的利润.而A2为了追求自身获得利润的最大化会尽可能多地降低第二阶段给A1的利润，即A2方案中给A1利润的最优值是获得的利润是δ2(E-M2)=δ2(E-δ1M3)=δ2E-δ1δ2M3.

将第二阶段A1所获得利润与其第三阶段所获利润比较可以发现，因为δ1、δ2∈[0,1]且δ1＜δ2，所以恒成立，所以如果博弈进行到第二阶段，A2提出A1所得利润M2=δ1M3的方案时，A1一定会接受这个方案，那么博弈将不会进行到第三阶段.

最后倒推回第一阶段，A1知道如果进行到第三阶段自己能获得的利润，也知道A2会在第二阶段提出A1所得利润M2=δ1M3的方案，因此如果在第一阶段提出A2获得原本在第二阶段才能获得的利润δ2E-δ1δ2M3，此时A1获得的利润为E-δ2E+δ1δ2M3会大于其在第二第三阶段所能获得的利润，所以A1在第一阶段就会提出自己得E-δ2E+δ1δ2M3，A2得δ2E-δ1δ2M3的利润分配方案，此时双方都获得了最优利润.

由上述分析可得，在δ1＜δ2情况下，原来的三阶段讨价还价博弈的均衡解会在第一阶段出现，即M3=E-δ2E+δ1δ2M3，可得均衡解M3=(1-δ2)E/(1-δ1δ2).即在上述条件下的利润分配博弈中，均衡情况是A1在第一阶段出价M3且A2接受这个出价，博弈结束.此时A1获得利润为M3=(1-δ2)E/(1-δ1δ2)，A2获得利润为E-M3=δ2E(1-δ1)/(1-δ1δ2).

3.1.2 A1贴现因子等于A2贴现因子（δ1=δ2）

当参与民航协同运输利润分配2个成员的贴现因子相等时，即δ1=δ2时，令δ1=δ2=δ，同样采用逆推归纳法可以得到均衡解M3=E/(1+δ)，即在δ1=δ2时的民航协同运输利润分配博弈中，均衡情况是A1在第一阶段出价M3且A2接受这个出价，博弈结束.此时A1所能获得的利润为M3=E/(1+δ)，A2所能获得的利润为E-M3=Eδ/(1+δ).

除此之外，为了确保A1和A2能有参与民航协同运输的驱动力，必须保证两者在参与民航协同运输后获得的利润大于或等于其不参与时的利润.假设A1和A2在不进行民航协同运输时获得的利润分别为P1和P2，则M3≥P1且E-M3≥P2，即P1≤M3≤min(E-P2,E/(1+δ)).

3.1.3 A1贴现因子大于A2贴现因子（δ1＞δ2）

当δ1＞δ2时，逆推归纳第二阶段中不成立，经过推算可知此时A1和A的利润分配博弈将在第三阶段结束，进一步计算可得，上述讨价还价博弈在第三阶段得到的均衡解会小于博弈在第一阶段即结束得到的均衡解（即δ1＜δ2情况）.

综上3.1.1和3.1.3可得，当参与民航协同运输利益分配的航空公司的贴现因子不相等时，在固定第一阶段出价顺序一定为A1时，只有当δ1＜δ2，即贴现因子小的航空公司先获得出价权时才能够得到讨价还价博弈的最优解，且最优解为A1获得利润(1-δ2)E/(1-δ1δ2)，A2获得利润δ2E(1-δ1)/(1-δ1δ2).

3.2 贴现因子对利润分配比例影响分析

在3.1节的逆推归纳分析中，贴现因子主要影响第三阶段的博弈结果.为了得到博弈的最优均衡，必须满足δ1＜δ2这一前提条件，即该博弈的最优均衡条件之一为：

为了更好地研究贴现因子对博弈策略的影响，假设R为均衡时A1所获利润占总利润的比例，那么1-R即为均衡时A2所获利润占总利润的比例，可得R=(1-δ2)/(1-δ1δ2)，1-R=δ2(1-δ1)/(1-δ1δ2)，则R/(1-R)=(1-δ2)/δ2(1-δ1)，R/(1-R)=K时表示A1所获利润为A2所获利润的K倍，此时的均衡点函数为：

根据式（1）和式（2）的函数分析可以得出贴现因子变化对博弈结果的影响.

4 数值模拟

4.1 贴现因子不相等

假设准超额利润E=3 600（万元），δ1=0.3、δ2=0.4.将上述数据代入3.1.1节的逆推归纳中，由表1可得A1和A2各阶段所获利润分别为0.09M3、0.12M3、2 160+0.12M3和1 440-0.12M3、1 440-0.12M3、0.16M3.从上述结果可以看出博弈在第一阶段达到最优，印证了博弈将在第一阶段结束.此时A1所获利润为(1-δ2)E/(1-δ1δ2)=2 455（万元），A2所获利润为δ2E(1-δ1)/(1-δ1δ2)=1 145（万元）.

4.2 贴现因子相等

假设准超额利润E=3 600（万元），δ1=δ2=0.5，按照文献[8]中实例验证的利润模拟比例，假设P1=1 800（万元）、P2=1 200（万元）.将上述数据代入3.1.2节的博弈分析中，可得1 800≤M3≤min(2400,3 600/(1+0.5))=2 400，即1 800≤M3≤2 400，符合实际情况.

4.3 贴现因子对利润分配比例影响分析

令3.2节中的K分别等于0.5、1、2，将式（1）和式（2）绘制于以δ2为纵轴、δ1为横轴的坐标系中得到图1.

图1 δ1和δ2的变化对民航协同运输利润分配比例影响图Fig.1 Influence diagram of the discount factor’s changing on collaborative transportation profitdistribution ratio

由图1可以看出，δ1和δ2的变化将会对民航协同运输利润分配的比例产生影响.其影响主要体现在：

（1）以K=1时的曲线HI为例，HI上的每一点都代表了A1和A2均分总利润的δ1和δ2的组合，其斜率HI呈单调递增且斜率增大的趋势，那么可以定性认为随着δ1的不断增大，δ2需要增大更大的比例才能实现A1和A2均分总利润的均衡状态.故可推出：当δ1和δ2分别增大或减小同一个值时，δ2的变化将对利润分配比例产生更大的影响.

（2）随着K的增大，三条曲线对应同一δ1值的斜率也逐渐增大，又曲线的斜率表征了δ1和δ2的变化对利润分配比例的影响，因此可以推论出δ2的变化对利润分配比例产生的影响也逐渐增大，所以当参与利润分配的2家航空公司所得的利润越悬殊，则所获利润更少的航空公司的贴现因子对利润分配比例的影响越大.

4.4 贴现因子对利润分配比例影响的灵敏度分析

为了更为清楚了解δ1和δ2的变化对民航协同运输利润分配比例影响的灵敏度，以δ1为X轴，δ2为Y轴，A1在博弈中获得的利润占总利润的比例R为Z轴绘制三维图得到图2(a)，分别取δ2=0.25、0.5、0.75时三维图在平面(δ1,R)上的投影得到图2(b).

图2 δ1和δ2的变化对A1所获利润比例影响图Fig.2 Influence diagram of the discount factor’s changingon A1’sprofit ratio

由图2可以看出，R随δ2变化程度比随δ1变化程度更为剧烈（曲线更为陡峭），所以可得δ2的增大比δ1的增大对R的影响要大；并且随着δ2的增大，其对R的影响也在增大.

综上可得，和贴现因子较大一方A1相比，贴现因子较小一方A2的贴现因子变化对利润分配方案产生影响的灵敏度要更敏感一些，且其自身在博弈中获得的利润和其贴现因子之间具有较大的弹性系数.

5 研究结论

本文采用博弈论方法研究了贴现因子在民航协同运输利润分配问题上的影响，构建了讨价还价模型，分类讨论了2个成员贴现因子相同和不同时对民航协同运输利润分配的影响，并通过数值模拟印证了模型分析结果的正确性.

研究结果显示：

（1）贴现因子对民航协同运输利润分配问题有明显的影响.当贴现因子选取不同的值时会产生不同的最优分配方案，因此民航协同运输的参与者应根据自身的贴现因子情况选取不同的决策方案.

（2）2个成员贴现因子不同时，虽然讨价还价博弈第一阶段的出价权非常重要，但贴现因子较大的一方应尽量“礼让”第一阶段的出价权，进而实现双方利润的最大化；而且对提升民航协同运输的长期合作稳定性具有较好的效果.

（3）2个成员贴现因子不同时，贴现因子小的一方（下称弱势方）δ增大一个较小的值，也会给贴现因子大的一方（下称强势方）带来一个较大的利润损失.而且随着弱势方δ的不断增大，强势方的利润损失也会越来越大.所以强势方在面对弱势方δ增大时，应采取的策略是同时提高自身的δ，否则其从动态联盟中获得的利润将越来越少.而具有较大收益弹性的弱势方则应尽力提升自身的δ，其提升δ所投入的较低成本将给其带来一个较高的收益.

（4）2个成员贴现因子相同时，无论是谁进行第一阶段的出价，其出价都应满足[P1,min(E-P2,E/(1+δ)]这一取值范围的要求，否则不仅无法实现两者通过合作获得更高利润，而且可能因为民航协同运输利润分配不够合理导致两者合作破裂，引起恶性市场竞争等情况.

（5）贴现因子除了有财务上的意义之外，还表征了参与协同运输航空公司的“软实力”，包括品牌知名度、旅客黏性等.由上述分析可以看出，航空公司在参与民航协同运输的过程中也应该尽力提高自身的“软实力”，如加强客票营销服务、提升旅客满意度等，通过提升“软实力”而导致的贴现因子增加将会给自身在民航协同运输利润分配过程中带来更高的收益，同时也能提高自身在协同运输中的主动权.

[1]Rubinstein A.Perfect equilibrium in a bargaining model[J].Econometrica,1982,50(1):97-109.

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[3]Shaked A,Sutton J.Involuntary unemployment as a perfect equilibrium in a bargaining model[J]. Econometrica,1984,52(6):1351-1364.

[4]Rusinowska A.Subgame perfectequilibria inmodelwith bargaining costs varying in time[J].Mathematical MethodsofOperations Research,2002,56(2):303-313.

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Collaborative Transportation Profit Distribution in Consideration of Discoun t Factor in CivilAviation M arket

JIANGChao，HU Rong，LIDong-ya

（College of CivilAviation,Nanjing University ofAeronauticsand Astronautics,Nanjing 211106,China）

To explore the influence of the discount factor in collaborative transportation profit distribution of civil aviation,and to get the more reasonable profit distribution scheme,the bargain model in consideration of the discount factor is established,and by using backward induction,the optimal allocation scheme of profit distribution is under classified discussion when the discount factor is under different value range,then the feasibility of optimal allocation scheme is verified through numerical simulation.The research results show that the discount factor has obvious influence on collaborative transportation profit distribution of civil aviation and the stability of cooperation.When the participants'discount factor are unequal,the one whose discount factor is bigger should abandon the“first-call”right which w ill bring a“w in-w in”for two participants.Meanwhile the other one whose discount factor is smaller has higher sensitivity in changes between the discount factor and profit distribution proportion.When the participants' discount factor are equal,the participants'offers should be within a certain range to ensure the stability of collaborative transportation.

air transportation;profitdistribution;game theory;discount factor;bargainmodel

1009-6744（2015）03-0031-06

U8；F560.6

A

2015-01-07

2015-03-27录用日期：2015-04-03

国家自然科学基金项目(71201082)；中央高校基本科研业务费专项资金（NR2014007，NS2015068）；南京航空航天大学研究生创新基地（实验室）开放基金（kfjj20150705）.

江超(1992-)，男，福建龙岩人，硕士生.＊通信作者：hoorong@nuaa.edu.cn