周 文，侯高梅

(安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241000)

两种群相互竞争的具有脉冲接种的SEIR传染病模型

周 文，侯高梅

(安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241000)

研究了一类两种群相互竞争的具有脉冲接种的SEIR传染病模型，讨论了系统周期解的存在性，并利用Floquet定理证明，在满足一定条件下，周期解是局部渐近稳定的。

竞争系统；脉冲接种；周期解；稳定性

Kermark和Mekendrick在1927年首次建立了传染病模型，此后越来越多的学者开始研究传染病模型[1-4]。在现实世界中，种群大多数都是相伴存在的。于是，在传染病的研究中考虑在两个或者多个种群的系统就比较重要，研究起来也就比较复杂[5-9]。本文主要在两种群相互竞争的系统中，结合脉冲接种对传染病模型进行研究，建立数学模型，讨论模型周期解的存在性和稳定性。

1 模型建立

考虑具有脉冲接种的两种群相互竞争的传染病模型，具体如下：

系统(1)当t≠k时，

E1′(t)=S1(β11I1+β12I2)-[d1+(1-a1)·

mN2I1-γ1I1，

mN2R1-ρ1R1，

E2′(t)=S2(β21I1+β22I2)-[d2+(1-a2)·

nN1I2-γ2I2，

nN1R2-ρ2R2。

系统(2)当t=k时，

N1(t+)=N1(t)，

S1(t+)=(1-θ1)S1(t)，

E1(t+)=E1(t)，

I1(t+)=I1(t)，

R1(t+)=R1(t)+θ1S1(t)，

N2(t+)=N2(t)，

S2(t+)=(1-θ2)S2(t)，

E2(t+)=E2(t)，

I2(t+)=I2(t)，

R2(t+)=R2(t)+θ2S2(t)。

为了计算方便，由Ri=Ni-Si-Ei-Ii将系统(1)和(2)简化，当t≠k时，记为系统(3)：

S1-E1-I1)，

E1′(t)=S1(β11I1+β12I2)-[d1+(1-a1)·

mN2I1-γ1I1，

S2-E2-I2)，

E2′(t)=S2(β21I1+β22I2)-[d2+(1-a2)·

nN1I2-γ2I2。

当t=k时，记为系统(4)：

N1(t+)=N1(t)，

S1(t+)=(1-θ1)S1(t)，

E1(t+)=E1(t)，

I1(t+)=I1(t)，

N2(t+)=N2(t)，

S2(t+)=(1-θ2)S2(t)，

E2(t+)=E2(t)，

I2(t+)=I2(t)。

考虑到生物学意义，系统(3)和(4)的可行域为

0≤Si+Ei+Ii≤Ni≤Ki,i=1,2}是系统(3)和(4)的正向不变集。

2 周期解的存在性

首先，周期解P0=(0,0,0,0,0,0,0,0)T是显然存在的。

下面来讨论周期解P1=(0,0,0,0,K2,0,0,0)T的存在性。此时等价于考虑如下系统：

(5)

下面考虑周期解P2=(0,0,0,0,K2,S2,0,0)T的存在性。此时等价于考虑如下系统：

(6)

记B=(b2-a2r2+ρ2)K2,A=d2+(1-a2)r2+ρ2，可解得

又S2(1)=(1-θ2)S2(0)，则

B>0，则1-e-A>0。所以，当1-θ2-e-A>0时，有S2(0)>0，即周期解P2是存在的。

接下来，考虑周期解P3=(0,0,0,0,K2,S2,E2,0)T的存在性。此时等价于考虑如下系统：

(7)

同样可解得：

E2(t)=e-(d2+(1-a2)r2+δ2+S2β22)t[E2(0)-

最后，考虑周期解P4=(0,0,0,0,K2,S2,E2,I2)T的存在性。此时等价于考虑如下系统：

(8)

同理可知，周期解P5=(K1,0,0,0,0,0,0,0)T存在。当1-θ1-e-C>0时，周期解P6=(K1,S1,0,0,0,0,0,0)T存在，周期解P7=(K1,S1,E1,0,0,0,0,0)T，P8=(K1,S1,E1,I1,0,0,0,0)T都存在，其中，C=d1+(1-a1)r1+ρ1。

3 周期解的稳定性

下面考虑系统的任意一个解P=(N1，S1，E1，I1，N2，S2，E2，I2)T的稳定性。满足如下条件的Φ(t)是8×8的矩阵函数，

(9)

其中，

(10)

式中，

β12I2+ρ1],a24=-S1β11-ρ1,

β22I2+ρ2],

a68=-S2β22-ρ2,a76=β21I1+β22I2,

(11)

令M=BΦ(k)，由Floquet定理知，当M的特征值都小于1时，系统的周期解是局部渐近稳定的。

定理1 对于系统(3)和(4)来说，有以下结论成立：

(1) 周期解P0=(0,0,0,0,0,0,0,0)T是不稳定的；

(2) 当r1-mK2<0时，周期解P1=(0,0,0,0,K2,0,0,0)T，P2=(0,0,0,0,K2,S2,0,0)T，P3=(0,0,0,0,K2,S2,E2,0)T是局部渐近稳定的；

(3) 当r1-mK2<0，ρ2=0和δ2=0时，周期解P4=(0,0,0,0,K2,S2,E2,I2)T是局部渐近稳定的。

证明 (1) 在周期解P0=(0,0,0,0,0,0,0,0)T处，有

其中，m21=(1-θ1)e(b1+ρ1)t,

m22=(1-θ1)e-(d1+ρ1)t,m65=(1-θ2)e(b2+ρ2)t,

m66=(1-θ2)e-(d2+ρ1)t,m68=(1-θ2)e-ρ2t。

M的特征值λ1=er1t>1,

λ2=(1-θ1)e-(d1+ρ1)t<1，所以，周期解P0是不稳定的。

(2) 在周期解P1=(0,0,0,0,K2,0,0,0)T处，有

其中，m21=(1-θ1)e(b1+ρ1)t,

m22=(1-θ1)e-(d1+mK2+ρ1)t,

m23=(1-θ1)e-ρ1t,m24=(1-θ1)e-ρ1t,

m33=e-(d1+mK2+δ1)t,m44=e-(d1+mK2+γ1)t,

m65=(1-θ2)e(b2-2a2r2+ρ2)t,

m66=(1-θ2)e-[d2+(1-a2)r2+ρ2]t,

m88=e-[d2+(1-a2)r2+γ2]t。

M的特征值为

λ1=e(r1-mK2)t,

λ2=(1-θ1)e-(d1+mK2+ρ1)t,

λ3=e-(d1+mK2+δ1)t,λ4=e-(d1+mK2+γ1)t,

λ5=e-r2t,λ6=(1-θ2)e-[d2+(1-a2)r2+ρ2]t,

λ7=e-[d2+(1-a2)r2+δ2]t,λ8=e-[d2+(1-a2)r2+γ2]t。

当r1-mK2<0时，有λ1=e(r1-mK2)t<1,M所有的特征值均小于1，即周期解P1是局部渐近稳定的。

同理，在周期解P2=(0,0,0,0,K2,S2,0,0)T处，当r1-mK2<0时，有λ1=e(r1-mK2)t<1，M所有的特征值均小于1，则周期解P2是局部渐近稳定的。在周期解P3=(0,0,0,0,K2,S2,E2,0)T处，当r1-mK2<0时，有λ1=e(r1-mK2)t<1,M所有的特征值均小于1，所以周期解P3也是局部渐近稳定的。在周期解P4=(0,0,0,0,K2,S2,E2,I2)T处，当r1-mK2<0,ρ2=0且δ2=0成立时，可以得到矩阵M的特征值均小于1。因此周期解P4是局部渐近稳定的。

类似于定理1，有定理2成立：

定理2 系统(3)和(4)在满足一定条件下，系统的周期解P5=(K1,0,0,0,0,0,0,0)T,P6=(K1,E1,0,0,0,0,0,0)T,P7=(K1,E1,S1,0,0,0,0,0)T,P8=(K1,E1,S1,I1,0,0,0,0)T均为局部渐近稳定的。

4 总结

本文建立了两种群相互竞争的具有脉冲接种的传染病模型，分析了模型周期解的存在性，证明了在满足一定条件下，周期解P1,P2,P3,P4均为局部渐近稳定的。这说明，脉冲接种对传染病的控制起着很大的作用，这为控制传染病提供了一种方法。

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SEIR Epidemic Model of Two Competitive Species with Pulse Vaccination

ZHOU Wen, HOU Gao-mei

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

An SEIR epidemic model of two competitive species with pulse vaccination is studied. We discuss the existence of periodic solution and prove that stability of periodic solution by using the Floquet theorem. The results demonstrated that periodic solutions are local asymptotic stable with satisfied fixed condition.

competitive model, pulse vaccination, periodic solution, stability

2015-03-24

项目名称：国家自然科学基金(11302002)和安徽高校省级优秀青年人才基金重点项目(2011SQRL022ZD)。

周文，女，安徽桐城人，安徽师范大学数计学院副教授，研究方向为生物数学；侯高梅，女，安徽阜阳人，安徽师范大学数计学院硕士研究生，研究方向为生物数学。

时间：2016-1-5 13:01 网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.002.html

O175.1

A

1007-4260(2015)04-0007-05

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.002