张 培， 刘晓俊

(上海理工大学理学院，上海 200093)

涉及高阶导数的例外函数亚纯函数正规性

张 培， 刘晓俊

(上海理工大学理学院，上海 200093)

利用亚纯函数值分布理论与正规理论的一些基本概念、研究方法以及研究成果，并以顾永兴的定理为基础，讨论函数族中任意函数的高阶零点不取固定函数的这类亚纯函数的正规问题，最后得到如下正规定则:设F是单位圆盘内的一族亚纯函数，k为一个正整数，且k≥2，A为一有穷正数，h(z)是全纯函数，其中h(z)≠0，如果对任意的f∈F，f的零点重级至少为k，且f的极点重级至少为3；并且满足当f(z)=0时，必有f(k)(z)≠h(z)，则F在区域内是正规的.

亚纯函数；高阶导数；例外函数；正规族

1 问题的提出

1959年Hayman[1]证明了如下的Picard型定理:

定理1 设F为复平面C上的亚纯函数，k是正整数，若f≠0，且f(k)≠1，则f≡常数.

相应地，1979年顾永兴[2-3]证明了对应的正规

2 主要的引理

3 定理的证明

[1] Hayman W K.Piacad values of meromorphic functions and their derivatives[J].Annals of Mathematics，1959，70:9-42.

[2] 顾永兴，庞学诚，方明亮.正规族理论及其应用[M].北京:科学出版社，2007.

[3] 童晓丽，刘晓俊.零点位于直线上的亚纯函数的正规定则[J].上海理工大学学报，2014，36(4):362-365.

[4] 杨乐.正规族与微分多项式[J].中国科学A辑，1983，14(1):21-32.

[5] Bergweiler W，Eremenko A.On the singularities of the inverse to a meromerphic function of finite order[J]. Revista Matemática Iberoamericana，1995，11(2): 355-373.

[6] Drasin D.Normal families and the Nevanlinna theory [J].Acta Mathematica，1969，122(1):231-263.

[7] Pang X C，Zalcman L.Normal families and shared values[J].Bulletin London Mathematical Society，2000，32(3):325-331.

[8] 叶亚盛.涉及导数的亚纯函数正规族[J].上海机械学院学报，1988，10(3):59-66.

[9] Nevanlinna R.Eindeutige analytische funktionen[M]. Heidelberg:Springer-Verlag，1953.

[10] 叶亚盛.一个涉及极点重数的亚纯函数正规定则[J].上海理工大学学报，2007，29(3):265-267.

[11] Xu J F，Zhang X B.The zeros of q-shift difference polynomials of meromorphic functions[J].Advances in Difference Equations，2012，2012:200.

(编辑:丁红艺)

Criterion of Normality Concerning Meromorphic Functions of Exceptional Function of Higher Derivative

ZHANGPei， LIU Xiaojun
(College of Science，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China)

By using some fundamental knowledge，research methods and research results about the theories of value distribution and normal family for meromorphic functions and based on Gu’s theorem，a criterion of normality concerning meromorphic functions whose higher zeros are not fixed functions was provided，and is described as follows:let k≥2 be an integer and F be a family of meromorphic functions on a unit discΔ，all the zeros of every f which belongs to F have multiplicity at least k and all the poles have multiplicity at least 3，h(z)be a holomorphic functions，and h(z)≠0，and assume that the following two conditions thatA is a positive number，and f(k)(z)≠h(z)hold for every f∈F，then F is normal inΔ.

meromorphic functions；higher derivative；exceptional function；normal families

O 174.52

A的k阶导数不取固定函数h(z)，即

1007-6735(2015)02-0140-04

10.13255/j.cnki.ju sst.2015.02.008

2014-01-17

国家自然科学基金青年基金资助项目(11401381)

张 培(1990-)，女，硕士研究生.研究方向:复分析.E-mail:dadada.zp1990@163.com

刘晓俊(1982-)，男，副教授.研究方向:复分析.E-mail:xiaojunliu2007@hotmail.com