☉云南省大理州漾濞县第一中学 秦庆雄

☉云南省大理州漾濞县第一中学 范花妹

活用三角形射影定理解高考题更精彩

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一、缘起

早在1990年，就有老师撰文“建议在中学数学教材中补充射影定理公式”，在普通高中新课程标准实验教材数学必修5（人教A版）第22页，编者虽以习题的形式让三角形射影定理崭露头角，但仍没有将其命名为三角形射影定理.

三角形射影定理，其结构优美、和谐，可以和三角形中赫赫有名的正弦定理和余弦定理相媲美，是揭示三角形边角关系的重要定理之一.

笔者发现，很多有关三角形边角关系的高考试题，若能灵活、恰当地应用三角形射影定理，往往比用正弦定理或余弦定理更加快速、简捷，可使问题化繁为简、化难为易，收到事半功倍的效果.

二、什么是三角形射影定理

在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，则有：

a=bcosC+ccosB，

b=ccosA+acosC，

c=acosB+bcosA.

三、三角形射影定理的证明

证明：（1）当△ABC为直角三角形时（如图1），不妨设角B为直角，由直角三角形边角关系得a=bcosC，又cosB=0，所以a=bcosC+ccosB；

（2）当△ABC为锐角三角形时（如图2），过点A作AD⊥BC，垂足为D，由直角三角形边角关系得BD= ccosB，DC=bcosC，所以a=BD+DC=ccosB+bcosC.

（3）当△ABC为钝角三角形时（如图3），不妨设角B为钝角，过点A作AD⊥BC，垂足为D，由直角三角形边角关系得DC=bcosC，BD=ccos∠ABD=ccos（π-B）=-ccosB，所以a=DC-DB=bcosC-（-ccosB）=bcosC+ccosB.

综上所述，在任意△ABC中，都有a=bcosC+ccosB.

同理可证b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.

图1

图2

图3

评注：在三角形射影定理颇多的证明中，上述证明显然是最烦琐，但却是最直观的.三角形射影定理的几何意义从证明过程中清楚明白地呼之欲出，即三角形中任意一边的长度是另外两边在该边上的射影的代数和，三角形射影定理由此而得名.

下面我们分别利用向量、余弦定理和正弦定理，给出三种简证.

即a2=accosB+abcosC.

从而有a=bcosC+ccosB.

同理可证b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.

从而有a=bcosC+ccosB.

同理可证b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.

简证3：由正弦定理，得bcosC+ccosB=2R·sinBcosC+ 2R·sinCcosB=2R（sinBcosC+sinCcosB）=2R·sin（B+C）= 2R·sinA=a.

从而有a=bcosC+ccosB.

同理可证b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.

四、三角形射影定理在解高考题中的应用

例1（2014年广东卷理科第12题）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，则=________.

简解：由三角形射影定理得a=bcosC+ccosB，则a= 2b，于是.故答案为2.

例2（2013年新课标Ⅱ卷理科第17题）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=bcosC+csinB．

（Ⅰ）求B；

（ⅠⅠ）若b=2，求△ABC的面积的最大值．

简解：（Ⅰ）由三角形射影定理得a=bcosC+ccosB，则bcosC+ccosB=bcosC+csinB⇒ccosB=csinB⇒cosB=sinB⇒tanB=1.

（ⅠⅠ）略.

例3（2013年辽宁卷理科第5题）在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，asinBcosC+csinBcosA=，且a>b，则B=（）.

（Ⅰ）求cosA的值；

（ⅠⅠ）求边c的值．

（ⅠⅠ）由三角形射影定理得c=acosB+bcosA=acos2A+ bcosA=a（2cos2A-1）+bcosA=3，所以c=5．

例5（2013年陕西卷理科第7题）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）.

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不确定

简解：由三角形射影定理得a=bcosC+ccosB，则asinA=bcosC+ccosB=a⇒sinA=1，则.故答案为B.

例6摇（2008年山东卷理科第15题）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，向量（cosA，sinA），若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则B= ______．

由三角形射影定理得c=acosB+bcosA，则c=csinC，则sinC=1.

例7（2008年湖北卷理科第12题）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a=3，b=4，c=6，则bccosA+accosB+ abcosC的值为______．

简解：由三角形射影定理得a=bcosC+ccosB，b= ccosA+acosC，c=acosB+bcosA，则bccosA+accosB+abcosC=［a（bcosC+ccosB）+b（acosC+ccosA）+c（bcosA+acosB）］

例8（2008年全国Ⅰ卷理科第17题）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB-bcosA求tanAcotB的值.

简解：由三角形射影定理得c=acosB+bcosA，则acosB-bcosA

例9（2008年浙江卷理科第13题）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c.若cosA=acosB，则cosA=______．