蒋培杰

只见树木不见森林，细节多、思想少，不见学科本质，可以说是当今中学数学课堂普遍存在的弊端。有的中学把做题当成整个数学教学的重心，误导学生周旋于难题、偏题和怪题之间，严重影响了学生对数学的学习兴趣，并在一定程度上扼杀了学生创造性思维和创造性能力的发展。近年来，笔者尝试在中学数学课堂教学中体现数学的特点、讲述数学的文化及其与其他学科文化的相互联系和影响，进而渗透数学发现的方法论，以提高学生的学习热情，培养学生的数学能力和数学素养，收到了良好的效果。

一、在课堂教学中展现数学的应用特点

抽象性、精确性和应用的极端广泛性是数学学科有别于其他学科的三大特点。尤其数学应用的极端广泛性，最迫切、最应该为学生在课堂中认识到。在课堂中空泛地讲“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，日用之繁，数学无处不在”是不行的，这些是学生无法切身体验的。事实上，任何问题只要能用数学加以讨论和解决，就会程度不同地发生实质性的变化。我国在优化、控制与统筹，设计与制造，质量控制，预测与管理，信息处理，大型工程，资源开发与环境保护，农业经济和数学物理[1]等方面都贯穿了数学的应用思想。在课堂教学中，教师应结合课程目标和教学内容，适当地介绍数学的应用，培养学生用数学分析、解决实际问题的能力。

比如学生在课堂上学习错位相减法有很多很好的素材，但大多与纯数列相关，和实际应用结合得较少。学生普遍认为这个方法太繁琐，而且没有实际意义。事实上，这个方法是可以有一些实用性很强的例子的。

【例】某公司有一基建项目，分6个年度投资，每年末投入40 000元，预计6年后建成。若该项目的投资来自银行贷款，贷款利率为10%，试问该项投资的投资总额是多少？[2]

教学建议：在计算这道题时，学生很有可能回答总额为40 000×6=240 000（元），这便是没有考虑资金的时间价值。学生之所以会回答错误，是受了长期理想化的、与实际无关的应用题的训练“熏陶”。如有必要，这时可以向学生介绍“普通年金终值”的概念，即每期期末收入或支出等额款项的复利终值之和。在解题的时候，我们可以设S为普通年金终值，A为每期的收付款项，n为记息期数，则：

S=A（1+i）0+A（1+i）1+A（1+i）2+A（1+i）3+…+A（1+i）n-3+A（1+i）n-2+A（1+i）n-1 （1）

两边同时乘以1+i，得：

（1+i）S=A（1+i）+A（1+i）2+A（1+i）3+A（1+i）4+…+A（1+i）n-2+A（1+i）n-1+A（1+i）n （2）

（2）-（1），得：iS=A（1+i）n-A 从而S=

本题A=40 000，n=6，i=10%，

故S==308624（元）。

显然，这个结果与240 000元差别很大。我们这里使用的方法便是错位相减法。课堂中也有学生直接用等比数列求和公式计算的，这当然很好，但我们应该让学生明白，等比数列前n项和公式事实上就是由错位相减法演变而来，如果学生还能体会到其中的类比和化归思想那就更好了。

需要指出的是，得到本题的答案并不意味着这个案例的结束。本例的求解过程已经建立了一个模型，即普通年金终值的计算模型：S=。以后我们可以直接利用这个模型来进行计算。事实上，财务管理就是这么做的，财务管理里把叫做普通年金终值系数，并且就i和n的不同取值编制普通年金终值系数表，使用起来很方便。实际课堂教学中，将这些应用呈现给学生，引导学生思考数学应用的广泛性，对于学生的成长是大有裨益的。

二、在课堂教学中讲述数学文化及其与其他学科的相互关联

数学与哲学、数学与艺术、数学与自然科学等等都有密切联系[3]，它们之间互相影响、相互为用。中学数学课堂教学不能割断这些联系：牛顿之所以发明微积分，是他研究物理问题的需要；爱因斯坦的广义相对论是建立在黎曼几何的数学基础上，并且其论证方法为数学中的公理化方法；伽利略用数学符号表达物理概念，并认定宇宙之书是用数学语言写就的；孟德尔从概率论的角度在数量上研究豌豆，发现了遗传学定律；意大利数学家沃尔泰拉在一战后不久创立了生物动力学；数学家琼斯在扭结理论方面工作突出，并因之获菲尔兹奖，生物学家将这一理论成果应用到DNA分析上，对认识DNA结构产生了重大影响；数学家H.Hauptman仅用古典数学就解决了难倒现代化学家的晶体结构的谜，并因之获得诺贝尔化学奖；三角形的任意两边之和大于第三边，构成了美国三权分立的政权架构的基础；马尔萨斯断言人口以几何级数增长，而生活资料以算数级数增长，声称战争等灾难是有益的；统计学家凯特勒发现人类几乎所有精神和物理特征都呈正态分布；达·芬奇说欣赏他作品的人几乎都是数学家；诺贝尔经济学奖得主应用数学的程度与物理相当，数学方法在其研究中起着相当本质的作用……总之，数学作为一门基础学科，与其他学科有着广泛的联系，且相互为用。那么，如何在课堂教学中体现这种相互关联呢？

【例】如图1，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm处，求克服弹力做功。

教学建议：对于弹簧变力做功问题，学生已经记得公式W=kx2，这里要引导学生思考公式是怎么得到的。在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需要的力F与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比，即F=kx，其中k是比例系数。下面，我们分析并解决这个问题。

用n+1个点x0，x1，x2，…，xi，…，xn，将拉长的长度l分割为等距的n小段，则每小段克服弹力做功近似为

Wi=kxi=k=k.

对n段功求和，得：

Wi=k=ki=k=kl2+kx2.

当分割足够细的时候，这个和就充分接近我们要求的克服弹力所做的功W，即

W=Wi=（kl2+kl2）=kl2.endprint