吴跃生

(华东交通大学理学院，江西 南昌330013)



基于路P8m+4t+2的交错标号的图S(4m+1,4(t+1),4m-1)的优美标号*

吴跃生

(华东交通大学理学院，江西 南昌330013)

给出了图S(4m+1,4(t+1),4m-1)的定义；讨论了图S(4m+1,4(t+1),4m-1)的优美性，证明了图S(4m+1,4(t+1),4m-1)是优美图；给出了由路P8m+4t+2的交错标号构造图S(4m+1,4(t+1),4m-1)的优美标号的四种算法。

优美图；交错图；优美标号；交错标号；路；圈

图的优美标号问题是组合数学中一个热门课题[1-17]。1988年，Rosa给出了三角仙人掌，四角仙人掌，五角仙人掌等概念；1989年Mouton对三角仙人掌的特殊情形三角蛇的优美性给出了证明[2]。

1 若干概念

定义1[2]所有的块皆为Cm的连通图，称为m角仙人掌(或称Cm仙人掌)。

定义2[2]在顶点最大度为4的m角仙人掌中，如果每个Cm至多有二个度为4的点，且度为4的点构成一条简单通路，则称此m角仙人掌为Cm蛇。

定义3 块分别为Cm,Cn,Cq的连通图，称为(m,n,q)角仙人掌。

定义4 在顶点最大度为4的(m,n,q)角仙人掌中，如果Cm,Cn,Cq至多有二个度为4的点，且度为4的点构成一条简单通路，则称此(m,n,q)角仙人掌为(m,n,q)蛇。记为S(m,n,q)。

本文讨论了图S(4m+1,4(t+1),4m-1)的优美性。

2 主要结果及其证明

定理1 对任意自然数m,t(m≥1)，图S(4m+1,4(t+1),4m-1)存在缺标号值 5m+2t+1,5m+2t+2和6m+3t+3的优美标号。

证明 设V(C4m+1)={u0,u1,u2，…,u4m}，

定义图S(4m+1,4(t+1),4m-1)的标号θ为

下面证明θ是图S(4m+1,4(t+1),4m-1)的优美标号。

1)θ:{u2i+1:i=0,1,2,…,4m+2t}→

[4m+2t+1,8m+4t+4]-

{5m+2t+1,5m+2t+2,6m+3t+3}

是双射;

是双射;所以

θ:V(S(4m+1,4(t+1),4m-1))→

[0,8m+4t+2]-{5m+2t+1,5m+

2t+2,6m+3t+3}

是双射;

2)

θ′(u2i+1u2i+2)=

θ′(u2i+1u2i)=

θ′:E(C4(t+1))→[4m+1,4m+4t+4}是双射；

θ′(u8m+4t+1u4m+4t+3)=2m+1;

θ′:E(C4m-1)→[1,2m-1]∪[2m+1,4m]是双射；

θ′：E(S(4m+1,4(t+1),4m-1))→[1, 8m+4t+4]是一一对应

由1)和2)可知θ就是图S(4m+1,4(t+1),4m-1)缺标号值5m+2t+1,5m+2t+2和6m+3t+3的优美标号。证毕。

由定理1可给出图S(4m+1,4(t+1),4m-1)的优美标号的第一种算法：

第一步：先给出路P8m+4t+2的交错标号θ如下：设

第二步：将路P8m+4t+2的交错标号值不小于6m+3t+1的均加3,将路P8m+4t+2的交错标号值不小于5m+2t+1不大于6m+3t的均加2，其余的交错标号值不变；

第三步：在路P8m+4t+2中的顶点u0和u4m之间加连一条边(在标号值为0,2m的两个顶点之间加连一条边)，在路P8m+4t+2中的顶点u4m和u4m+4t+3之间加连一条边(在标号值为2m,6m+2t+2,的两个顶点之间加连一条边)，路P8m+4t+2中的顶点u4m+4t+3和u8m+4t+1之间加连一条边(在标号值为4m+2t+1,6m+2t+2的两个顶点之间加连一条边)。

例1 当m=2，t=1时，由定理1图S(9,8,7)的优美标号的第一种算法如下：

第一步：先给出路P22的交错标号如图1所示；

图1 路P22的交错标号Fig.1 The alternating graceful labeling of P22

第二步：将路P22的交错标号值不小于16的均加3,将路P22的交错标号值不小于13不大于15的均加2，其余的交错标号值不变；

第三步：在路P22中的顶点u0和u8之间加连一条边(在标号值为0,4的两个顶点之间加连一条边) 在路P22中的顶点u8和u15之间加连一条边(在标号值为4,16的两个顶点之间加连一条边),在路P22中的顶点u15和u21之间加连一条边(在标号值为11，16两个顶点之间加连一条边)。

由此得到图S(9,8,7)缺标号值13，14和18的优美标号，图S(9,8,7)缺标号值13，14和18的优美标号如图2所示。

图2 图S(9,8,7)的第一种优美标号Fig.2 The first graceful labeling of S(9,8,7)

定理2 对任意自然数m,t(m≥2)，图S(4m+1,4(t+1),4m-1)存在缺标号值 3m+2t+2,3m+2t+3和6m+3t+3的优美标号。

证明 设V(C4m+1)={u0,u1,u2，…,u4m}，

E(C4m+1)={u0u1,u1u2，…,u4m-1u4m,u4mu0},

V(C4(t+1))={u4m,u4m+1,…,u4m+4t+3},

E(C4(t+1))={u4mu4m+1,u4m+u4m+2,…,

u4m+4t+2u4m+4t+3,u4m+4t+3u4m},

V(C4m-1)={u4m+4t+3,u4m+4t+4,…,u8m+4t+1},

E(C4m-1)={u4m+4t+3u4m+4t+4,u4m+4t+4u4m+4t+5,…,

u8m+4tu8m+4t+1,u8m+4t+1u4m+4t+3},

定义图S(4m+1,4(t+1),4m-1)的标号θ为：

由定理2可给出图S(4m+1,4(t+1),4m-1)的优美标号的第二种算法：

第一步：先给出路P8m+4t+2的如图1所示的交错标号。

第二步：将路P8m+4t+2的交错标号值不小于6m+3t+1的均加3,将路P8m+4t+2的交错标号值不小于3m+2t+2不大于6m+3t的均加2，其余的交错标号值不变；

第三步：在路P8m+4t+2中的顶点u0和u4m之间加连一条边(在标号值为0,2m的两个顶点之间加连一条边)，在路P8m+4t+2中的顶点u4m和u4m+4t+3之间加连一条边(在标号值为2m,6m+2t+2,的两个顶点之间加连一条边)，路P8m+4t+2中的顶点u4m+4t+3和u8m+4t+1之间加连一条边(在标号值为4m+2t+3,6m+2t+2的两个顶点之间加连一条边)。

例2 当m=2，t=1时，由定理2图S(9,8,7)的优美标号的第二种算法如下：

第一步：先给出路P22的交错标号如图1所示；

第二步：将路P22的交错标号值不小于16的均加3,将路P22的交错标号值不小于10不大于15的均加2，其余的交错标号值不变；

第三步：在路P22中的顶点u0和u8之间加连一条边(在标号值为0,4的两个顶点之间加连一条边) 在路P22中的顶点u8和u15之间加连一条边(在标号值为4,16的两个顶点之间加连一条边),在路P22中的顶点u15和u21之间加连一条边(在标号值为13，16两个顶点之间加连一条边)。

由此得到图S(9,8,7)缺标号值10,11和18的优美标号，图S(9,8,7)缺标号值10,11和18的优美标号如图3所示。

图3 图S(9,8,7)的第二种优美标号Fig.3 The second graceful labeling of S(9,8,7)

定理3 对任意自然数m,t(m≥2)，图S(4m+1,4(t+1),4m-1)存在缺标号值 3m+2t+3,3m+2t+4和2m+t+1的优美标号。

证明 设V(C4m+1)={u0,u1,u2，…,u4m}，

E(C4m+1)={u0u1,u1u2，…,u4m-1u4m,u4mu0},

V(C4(t+1))={u4m,u4m+1,…,u4m+4t+3},

E(C4(t+1))={u4mu4m+1,u4m+u4m+2,…,

u4m+4t+2u4m+4t+3,u4m+4t+3u4m},

V(C4m-1)={u4m+4t+3,u4m+4t+4,…,u8m+4t+1},

E(C4m-1)={u4m+4t+3u4m+4t+4,u4m+4t+4u4m+4t+5,…,

u8m+4tu8m+4t+1,u8m+4t+1u4m+4t+3},

定义图S(4m+1,4(t+1),4m-1)的标号θ为：

仿定理1,可以验证θ是图S(4m+1,4(t+1),4m-1)的缺标号值 3m+2t+2,3m+2t+3和6m+3t+3的优美标号。证毕。

由定理3可给出图S(4m+1,4(t+1),4m-1)的优美标号的第三种算法：

第一步：先给出路P8m+4t+2的如图1所示的交错标号。

第二步：将路P8m+4t+2的交错标号值不小于3m+2t+2的均加3,将路P8m+4t+2的交错标号值不小于2m+t+1不大于3m+2t+1的均加1，其余的交错标号值不变；

第三步：在路P8m+4t+2中的顶点u0和u4m之间加连一条边(在标号值为0,2m的两个顶点之间加连一条边)，在路P8m+4t+2中的顶点u4m和u4m+4t+3之间加连一条边(在标号值为2m,6m+2t+3,的两个顶点之间加连一条边)，路P8m+4t+2中的顶点u4m+4t+3和u8m+4t+1之间加连一条边(在标号值为4m+2t+4,6m+2t+3的两个顶点之间加连一条边)。

例3 当m=2，t=1时，由定理2图S(9,8,7)的优美标号的第二种算法如下：

第一步：先给出路P22的交错标号如图1所示；

第二步：将路P22的交错标号值不小于10的均加3,将路P22的交错标号值不小于6不大于9的均加1，其余的交错标号值不变；

第三步：在路P22中的顶点u0和u8之间加连一条边(在标号值为0,4的两个顶点之间加连一条边) 在路P22中的顶点u8和u15之间加连一条边(在标号值为4,17的两个顶点之间加连一条边),在路P22中的顶点u15和u21之间加连一条边(在标号值为14,17两个顶点之间加连一条边)。

由此得到图S(9,8,7)缺标号值11,12和6的优美标号，图S(9,8,7)缺标号值11,12和6的优美标号如图4所示。

图4 图S(9,8,7)的第三种优美标号Fig.4 The third graceful labeling of S(9,8,7)

定理4 对任意自然数m,t(m≥2)，图S(4m+1,4(t+1),4m-1)存在缺标号值 5m+2t+2,5m+2t+3和2m+t+1的优美标号。

证明 设V(C4m+1)={u0,u1,u2，…,u4m}，

E(C4m+1)={u0u1,u1u2，…,u4m-1u4m,u4mu0},

V(C4(t+1))={u4m,u4m+1,…,u4m+4t+3},

E(C4(t+1))={u4mu4m+1,u4m+u4m+2,…,

u4m+4t+2u4m+4t+3,u4m+4t+3u4m}

V(C4m-1)={u4m+4t+3,u4m+4t+4,…,u8m+4t+1},

E(C4m-1)={u4m+4t+3u4m+4t+4,u4m+4t+4u4m+4t+5,…,

u8m+4tu8m+4t+1,u8m+4t+1u4m+4t+3},

定义图S(4m+1,4(t+1),4m-1)的标号θ为：

仿定理1,可以验证θ是图S(4m+1,4(t+1),4m-1)的缺标号值 5m+2t+2,5m+2t+3和2m+t+1的优美标号。证毕。

由定理4可给出图S(4m+1,4(t+1),4m-1)的优美标号的第四种算法：

第一步：先给出路P8m+4t+2的如图1所示的交错标号；

第二步：将路P8m+4t+2的交错标号值不小于5m+2t+1的均加3,将路P8m+4t+2的交错标号值不小于2m+t+1不大于5m+2t的均加1，其余的交错标号值不变；

第三步：在路P8m+4t+2中的顶点u0和u4m之间加连一条边(在标号值为0,2m的两个顶点之间加连一条边)，在路P8m+4t+2中的顶点u4m和u4m+4t+3之间加连一条边(在标号值为2m,6m+2t+3,的两个顶点之间加连一条边)，路P8m+4t+2中的顶点u4m+4t+3和u8m+4t+1之间加连一条边(在标号值为4m+2t+2,6m+2t+3的两个顶点之间加连一条边)。

图5 图S(9,8,7)的第四种优美标号Fig.5 The fourth graceful labeling of S(9,8,7)

例4 当m=2，t=1时，由定理2图S(9,8,7)的优美标号的第二种算法如下：

第一步：先给出路P22的交错标号如图1所示；

第二步：将路P22的交错标号值不小于13的均加3,将路P22的交错标号值不小于6不大于12的均加1，其余的交错标号值不变；

第三步：在路P22中的顶点u0和u8之间加连一条边(在标号值为0,4的两个顶点之间加连一条边) 在路P22中的顶点u8和u15之间加连一条边(在标号值为4,17的两个顶点之间加连一条边),在路P22中的顶点u15和u21之间加连一条边(在标号值为12,17两个顶点之间加连一条边)。

由此得到图S(9,8,7)缺标号值14,15和6的优美标号，图S(9,8,7)缺标号值14,15和6的优美标号如图5所示。

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The Graceful Labeling of the GraphS(4m+1,4(t+1),4m-1) Based on the Balanced Labeling of the PathP8m+4t+2

WUYuesheng

(School of Science, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China)

A definition of the graphS(4m+1,4(t+1),4m-1) is given. The gracefulness of the graphS(4m+1,4(t+1),4m-1) is discussed. It is proved that ifm≥1,t≥0, the graphS(4m+1,4(t+1),4m-1) is a graceful graph.Based on the alternating labeling ofP8m+4t+2, four algorithms of the graceful labeling ofS(4m+1,4(t+1),4m-1) are given.

graceful graph; alternating graph ; graceful labeling; alternating labeling; path; cycle

10.13471/j.cnki.acta.snus.2015.05.005

2015-01-20

国家自然科学基金资助项目(11261019,11361024)；江西省教育厅2014年度科学技术研究资助项目(GJJ14380)

吴跃生(1959年生)，男；研究方向：图论;E-mail:616100567@qq.com

O157.5

A

0529-6579(2015)05-0019-05