徐国东, 郭 鹏， 李雪梅， 贾颖颖

(1.陕西师范大学 国际商学院，陕西 西安 710119; 2.西北工业大学 管理学院，陕西 西安 710072; 3.南京航空航天大学 经济与管理学院，江苏 南京 211106)



角度化灰色T型关联度模型及应用研究

徐国东1, 郭 鹏2， 李雪梅3， 贾颖颖2

(1.陕西师范大学 国际商学院，陕西 西安 710119; 2.西北工业大学 管理学院，陕西 西安 710072; 3.南京航空航天大学 经济与管理学院，江苏 南京 211106)

通过对现有灰色关联度模型及算法的分析，首次提出了角度化灰色T型关联度模型。在分段线性表示的基础上，使用相邻线段间的夹角构成的角度序列近似表示时间序列，并给出了相关灰色关联系数和灰色关联度的计算方法。角度化灰色T型关联度模型不仅能够反映序列的正负相关关系，并且满足对称性、唯一性、可比性和规范性等性质。最后，通过实证分析证明了该模型的实用性和有效性。

灰色系统理论；角度化；灰色T型关联度；时间序列

0 引言

以往的研究中，多因素统计分析往往采用传统的相关或回归方法[1]，但在现实中有时存在着大量样本数据有限、波动较大且缺乏典型分布规律的数列[2]，即在实际决策中广泛存在着一些不精确与不确定性问题，决策信息的不完备性与决策问题的复杂性使得决策者往往无法给出精确的判断值[3]，为此，往往需要借助某种模型或算法对决策对象进行比较[4]，并对对象间的关系进行刻画，以此实现对决策的指导，而灰色系统理论(GRT)为我们提供了一些解决这类问题的思路和方法。该理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”的不确定性系统为研究对象，通过对“部分”已知信息的有效挖掘，最终实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控[5]，作为灰色系统理论中十分活跃的一个分支[6]，灰色关联分析已逐渐成为该理论分析、建模、预测与决策的基石[7]。并且由于该方法具有简单、实用及可操作性强等优点[8]，目前，已被广泛应用于经济、社会、工业、农业、矿业、交通、教育、医学、生态、水利、地质、航空航天等众多领域[9]，解决了这些领域中的众多决策性问题[10]，并已成为灰色系统理论中应用最广、成果最多的分支之一[7]。灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似性来判断不同序列之间联系的紧密程度[11]，具体操作中主要依靠线性插值的方法将系统因素的离散行为观测值转化为分段连续的折线，进而根据折线的几何特征构造测度关联程度的模型。

围绕灰色关联分析的基本思想以及邓聚龙教授提出的灰色关联公理，学者们纷纷提出了若干灰色关联模型，这些模型对于推动灰色系统理论的发展起到了重要作用。纵观灰色关联模型的发展历程，主要有以下三个方面的特点：(1)研究范围上，从曲线之间的关系分析拓展到曲面之间的关系分析，再到三维空间立体之间的关系分析，乃至n维空间中超曲线之间的关系分析；(2)研究内容上，从早期基于点关联系数的灰色关联分析模型到基于整体或全局视角的广义灰色关联分析模型；(3)研究方法上，从基于接近性测度相似性的灰色关联分析模型，到分别基于相似性和接近性视角构造的灰色关联分析模型[6]。在这一历程中，比较有代表性的学者如梅振国按照因素的时间序列曲线的相对变化态势的接近程度提出了绝对关联度模型及计算方法[12]；唐五湘基于时间序列曲线变化态势的接近程度提出了T型关联度模型[13]；王清印教授结合事物之间位移的同一性、差异性等因素，提出了B型关联度和C型关联度模型[14]；党耀国根据时间序列曲线斜率之间的接近程度提出了斜率关联度[15]；刘思峰等根据两条序列曲线之间所夹面积的大小不同作为衡量两序列间关联性的大小，并在此基础上提出了广义关联度的概念[16]；张可以三维空间中的面板数据为应用背景，提出基于矩阵的扩展灰色绝对关联度[17]。

归纳起来，以上这些研究的出发点主要基于以下三个方面：(1)以距离定义为基础的灰色关联分析；(2)以斜率定义为基础的灰色关联分析；(3)以面积定义为基础的灰色关联分析。虽然这些研究成果对于推动灰色系统理论都有着不可估量的作用。但不可否认，有些模型仍然存在着不尽如人意的地方，如有些模型关联度的值不具有唯一性[18]和对称性[19]，有些模型不能满足平行性和保序性[20]的特点，为此，有学者提出了一系列的改进措施，如孙玉刚、党耀国提出的改进的灰色T型关联度模型就很好地解决了传统T型关联度所存在的这些问题，但这些模型和方法仍然是基于以上三个出发点，为此，本文希望通过研究提出一个全新的视角，即从角度化的视角来实现灰色关联度的确定。具体研究中，基于T型关联度的理论和思路，从角度化的思想出发，以时间序列的不同分段之间构成的夹角序列作为标准化序列，然后利用(改进)T型关联度模型的相关算法完成关联度的计算。该模型在序列的标准化过程中，仅仅是以时间序列相邻线段的长度作为计量基础，规避了量纲等对算法本身的影响，从而在一定程度上保证了关联度所具有的唯一性、平行性和规范性等性质，同时，该算法最大程度地利用了时间序列本身所包含的信息，从而更能保证计算结果的全面性和准确性。最后本文对几种理财产品收益率的关联性进行了相关分析与比较，以证明该模型的有效性。

1 角度化灰色T型关联度算法介绍

本文所提出的灰色角度关联度的计算是以T型关联度作为理论基础，将传统的灰色关联度的计算转化为不同分段函数之间的角度算法。该方法的基本思想与传统的(改进)T型关联度基本思想一致，都是按照因素的时间序列曲线角度相对变化态势的接近程度来计算关联度。

1.1 时间序列的角度集表示

时间序列属于典型的离散型数列，对于离散型数列的表示，当前学者们也提出很多方法，本文主要采用分段线性表示的方法，对时间序列进行量化。分段线性表示(PLR)是一种针对时间序列特征提取和维数约简的重要方法。对于时间序列而言，由于具有固定的观测点，因此，可以认为它是一种自适应性的分段线性表示，这种分段方式可以在分段线性表示的基础上自动确定分段数量，基于这种方法，时间序列的分段线性可表示如下：

Xm={(xm(t1),xm(t2)),…,(xm(ti-1),xm(ti)),…,(xm(tn-1),xm(tn))}

(1)

其中，ti表示时间序列的观测点(时刻)；m表示时间序列的个数；xm(ti)表示第m个时间序列在时刻ti时的测量值；(xm(ti-1),xm(ti))表示i第段直线的起点值和终点值(如图1所示)。

图1 时间序列的分段线性表示示意图

定义1 在时间序列分段线性表示的基础上，用相邻线段间夹角构成的角度序列作为时间序列的角度表示方法，即定义Am={αm(t2)，αm(t3)，…，αm(tn-1)}为时间序列的角度序列。其中，n表示时间序列观测点的个数；αm(ti)表示第m个时间序列相邻线段(xm(ti-1),xm(ti))与(xm(ti),xm(ti+1))之间逆时针方向的夹角。

若假设βm(ti)表示第m个时间序列相邻线段(xm(ti-1),xm(ti))与(xm(ti),xm(ti+1))之间顺时针方向的夹角，则可以通过以下方法确定αi的值：

(2)

其中

1.2 增量序列的获取

在增量序列获取之前，参照文献[13]，首先需要对角度序列均值化，

设

(3)

表示角度序列Am在时点tk-1到时点tk的增量的平均值

(4)

表示角度序列的均值化

zm(tk)=Δym(tk)=ym(tk)-ym(tk-1)

(5)

表示角度序列Am的增量，所有增量的集合将组成增量序列。

1.3 关联系数与关联度的计算

定义2 设[p,q]上存在两时间序列，对应的角度序列分别为A1={α1(t2),α1(t3),…,α1(tn-1)}，A2={α2(t2),α2(t3),…,α2(tn-1)}，则定义它们之间的关联系数如下：

(6)

在上式中，sgn(z1(tk)·z2(tk))主要是用来确定关联系数ξ(tk)的符号，即当z1(tk)·z2(tk>0时，关联系数ξ(tk)>0，表示X1与X2在tk-1到tk这一时段内是同方向变化的，即正相关，反之亦然。

定义3 设[p,q]上存在两时间序列，对应的角度序列分别为A1={α1(t2),α1(t3),…,α1(tn-1)}，A2={α2(t2),α2(t3),…,α2(tn-1)}，则称

(7)

为时间序列的角度化型灰色关联度。

1.4 角度集合的时间对等

图2 时间序列时间对等示意图

对于一组理想的时间序列，其观测点应该具有时间对等的特点，但是在有些情况下，时间序列在进行分段表示以后，各端点对应的时刻以及每段对应的长度均不完全一致，因此有必要首先进行角度集的时刻对等才能进行更为严密的研究(如图2所示)。

定义4 时刻对等过程就是按照角度序列的端点重新划分对应匹配区间，使对应线段的横坐标等长，并根据时间(角度)序列内部角度的相似程度调整其顺序，以满足算法的要求。并规定，对等时刻端点相邻线段间的夹角为π。

例如：已知两个时间序列的角度序列为(如图2)：

A1={α1(t3),α1(t4)}，A2={α2(t2),α2(t5)}

进行时间对等过程以后，两个时间序列分别增加了两个角度，即α1(t2)=α2(t3)=α2(t4)=α1(t5)=π。在应用角度化T型关联度模型时，还需要根据角度的相似程度调整相关角度的位置，从图2中可以看出，α1(t3)与α2(t2)、α1(t4)与α2(t5)相似程度较高，基于此，进行时间对等后的两个时间(角度)序列调整如下：

在进行时间对等以后，才可利用角度化型关联度模型进行相关计算。

1.5 角度化灰色T型关联度的特征

定理1 角度化灰色T型关联度r具有如下性质：

(1)|r|≤1;

(2)对称性，即r(X1,X2)=r(X2,X1);

(3)唯一性;

(4)可比性。

以上性质的证明过程如下：

性质(1)的证明：

性质(2)的证明：

由公式(5)(6)可知，若Z1(tk)、Z2(tk)不同时为0，

若Z1(tk)、Z2(tk)同时为0，r(X1,X2)=r(X2,X1)=1，即性质(2)成立。

性质(3)的证明：由公式(6)可知，对于给定的时间序列，区间[p,q]，Δtk以及ξ(tk)都是唯一的，因此，r也是唯一的。

性质(4)的说明：由性质(3)可知性质(4)也成立。

定理2 设存在两个时间序列X1和X2，r(X1,X2)=1 的充要条件是X2(tk)=X1(tk)+c及k=1,2,…,n;c为常数)，此时序列X1与X2平行，且称角度化T型灰色关联度满足规范性要求[13]。

证明 因为|r(X1,X2)|≤1

同理可证：r=-1⟺X2(tk)=X1(tk)+c⟺序列X1与X2平行。

其中：c=α1(t1)-α2(t1)。

2 角度化灰色T型关联度模型应用

2.1 实例分析

自从支付宝依托天弘基金推出余额宝(YEB)以来，在一定程度上改变了中国金融界的格局，在不到一年的时间内，余额宝拥有会员超过4000万，筹集资金超过2500亿；在其影响下，其他一些机构也纷纷推出了类似的理财产品，如苏宁易购依托广发基金和汇添富基金推出了零钱宝(LQB)，腾讯微信也是依托汇添富基金推出了财付通(CFT)。但是近一段时间投资者发现，余额宝及其他类似产品的收益率一直在走低，但幅度有所差别，在这种情况下，原先在余额宝投资的会员是继续投资于此还是转移阵地呢？这一问题的解决就可以借助于角度化T型关联度模型。具体研究中，本文将对这三种理财产品2014年3月份的收益率进行分析，以得出相关结论并证明该模型的有效性。

表1 四种理财产品三月份收益率统计表

数据来源：余额宝、零钱包及财付通网站。以上数据均为七日年化收益率(100%)。

应用公式(2)，可以得到相应的夹角序列，如下表所示。

根据公式(3)、(4)、(5)、(6)可得到关联系数ξ(tk)的值(鉴于篇幅的原因，此处将余额宝作为基准序列，求得其他理财产品与余额宝的关联系数)如下表所示。

表3 余额宝与其他三种产品的关联系数

根据公式(7)，可以得出相应的关联度r。

2.2 结果讨论

通过以上的计算结果可以得出余额宝与其他三种理财产品关联度之间的关系为：

|rYL1|>|rYL2|>|rYC|

从结果来看，余额宝与零钱宝(广发)之间关联度的绝对值最大，但是由于其结果为负数，这说明其关联度虽大，但是总体变化趋势与余额宝趋于相反，且从图3四种理财产品收益率的走势来看，显然余额宝与零钱宝(广发)之间的走势存在一定的相似性，但零钱宝(广发)的波动较为剧烈，这也是导致它们之间存在负相关关系的主要原因。

相比之下，余额宝与其他两种理财产品之间的关联度均为正，说明他们之间的整体变化趋于同向，并且余额宝与零钱宝(汇添富)之间的关联度最大，而与财付通之间的关联度最小。因此，总体来看，余额宝与零钱宝(汇添富)之间的相似程度最大，而与财付通之间的相似程度相对较小，图3也能证明这一点。

图3 四种理财产品收益率走势图

同时，为了进一步证明以上结论的有效性，参照文献[7]提供的方法，以该案例为背景得出：rYL2=0.4060，rYC=0.0697，rYL1=-0.0401，从它们的绝对值关系来看，余额宝与财付通及零钱宝(广发)之间的相似度相差不大，但是从图3的走势来看，虽然零钱宝(广发)的波动不像余额宝及零钱宝(汇添富)那样平缓，但是较财付通来说，它与余额宝之间的相似度显然大于余额宝与财付通之间的相似度，为此，由文献[7]提供的方法而得出的结果可能存在一定的误差，为此，我们可得出，本文提出的角度化T型关联度模型可能更为有效。原因在于本文提供的模型在由时间序列向角度序列转化的过程中，多次利用了原始时间序列所包含的信息，即该模型更充分的挖掘了隐藏在时间序列内的数据，因此，结果可能也更为准确和客观。

与现实情况相比，作为理性的投资者，在余额宝收益率持续走低的情况下，很多用户进行了“资金转移”，但是与基金、股票等投资产品相比，“宝类”产品依然具有投资风险低、收益可观、资金支取灵活等优点，为此，很多投资者还是在“宝类”产品间进行资金转移，面对“腾讯财付通”推出不久就已表现出强劲的活力，收益率一直居高不下，为此，很多消费者将资金转移到了“腾讯财付通”这一产品上。这一“转移”刚好可以用以上的结论解释，首先，由于零钱宝(汇添富)与余额宝的关联度最大，表明两种产品的收益走势基本类似，而单从收益率来看，零钱宝(汇添富)显然低于余额宝，因此该产品并不是理想的转移对象；其次，零钱宝(广发)虽然与余额宝的关联度为负数，且关联度较大，但由于其收益波动较大，也不是理想的转移对象；而财付通与余额宝的关联度最小，并且从走势图来看，收益率显然高于余额宝且比较平稳，因此，单从这三种理财产品而言，转移到“腾讯财付通”这一产品上的确最为理想。

3 结束语

在传统T型关联度的基础上，通过角度化转换，实现了时间序列向角度序列的转换，并进一步提出了灰色关联系数和关联度的计算方法。通过这种转换，保证了灰色关联度模型的对称性、唯一性、规范性等特点，同时在角度转化过程中更为充分的利用了原始数列中隐含的信息，进而保证了计算结果的准确性和有效性。但是在该模型中还有一些需要进一步完善的地方，主要体现在本文的研究实质上仅仅是在角度序列的获取过程中使用了角度化转换，在灰色关联系数和关联度的计算中仍然借鉴了传统(改进)T型关联度的计算方法，这可能是下一步需要深入研究的方向。

[1] 谭雪瑞,邓聚龙.灰色关联分析:多因素统计分析新方法[J].统计研究,1995,V12(3):46- 48.

[2] 孙晓东,焦玥,胡劲松.基于灰色关联度和理想解法的决策方法研究[J].系统工程理论与实践,2005,13(4):63-68.

[3] 巩在武,李廉水,罗慧, 姚天祥.灰偏好信息群决策的相对熵集结方法[J].系统工程与电子技术, 2010, 32(7):1441-1444.

[4] 巩在武, 李廉水,姚天祥. 基于残缺信息的直觉模糊判断矩阵群决策方法[J].运筹与管理, 2010, 6(12):45-51.

[5] 刘思峰. 灰色系统理论的产生与发展[J].南京航空航天大学学报,2004,36(2):267-272.

[6] 刘思峰,蔡华,杨英杰,曹颖. 灰色关联分析模型研究进展[J].系统工程理论与实践, 2013, 33(8): 2041-2046.

[7] 孙玉刚,党耀国.灰色T型关联度的改进[J].系统工程理论与实践,2008,4(4):135-139.

[8] 罗党,刘思峰.灰色关联决策方法研究[J].中国管理科学, 2005,13(1):101-106.

[9] Deng J L. Introduction of grey system theory[J].The Journal of Grey System(UK),1989, 1(1):1-24

[10] 刘勇,刘思峰,Jeffrey Forrest.一种新的灰色绝对关联度模型及其应用[J].中国管理科学, 2012, 20(5):173-177.

[11] Liu S F, Lin Y. Grey information theory and practical application[M]. London: Springer -Verlag, 2011.

[12] 梅振国. 灰色绝对关联度及其计算方法[J]. 系统工程,1992,10(5):43- 44.

[13] 唐五湘.T型关联度及其计算方法[J]. 数理统计与管理,1995,14(1):34-37.

[14] 王清印.灰色B型关联分析[J].华中理工大学学报,1987,17(6):77-82.

[15] 党耀国,刘思峰,刘斌等.灰色斜率关联度的改进[J].中国工程科学,2004,6(3)：41- 44.

[16] 刘思峰,谢乃明,J·福雷斯特.基于相似性和接近性视角的新型灰色关联分析模型[J].系统工程理论与实践, 2010, 30(5):881-887 .

[17] 张可,刘思峰.灰色关联聚类在面板数据中的扩展及应用[J].系统工程理论与实践,2010,30(7):1253-1259.

[18] 崔杰.一种新的灰色相似关联度及其应用[J]. 统计与决策,2008,2(272):14-16.

[19] 崔杰,党耀国,刘思峰.几类关联分析模型的新性质[J].系统工程,2009,27(4):65-70.

[20] 谢乃明,刘思峰.几类关联度模型的平行性和一致性[J].系统工程,2007,25(8):93-103.

Angle Grey T’s Relational Degree and Its Application

XU Guo-dong1, GUO Peng2, LI Xue-mei3, JIA Ying-ying2

(1.InternationalBusinessSchoolofShanxiNormalUniversity,Xi’an710119,China; 2.SchoolofManagement,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi’an710129,China; 3.CollegeofEconomicsandManagement,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Nanjing211106,China)

The purpose of this paper is to develop a novel model called Angle Grey T’s Relational Degree based on the current grey relational model and algorithm, this model can enrich the theory of Grey Relational Analysis, and it can also be used to make predictions, make classifications and make decisions and so on. Employed the method of Piecewise Linear Representation (PLR), a time series can be approximately expressed as the form of angle series between adjacent line segments, and then the calculation methods of grey relational coefficient and degree are presented based on other studies in this paper. Angle Grey T’s Relational Degree model not only can show the correlation of positive or negative of different time series, but it has some characteristics including symmetry, uniqueness and comparability and so on. Finally, the validity of this novel model was to be proved through a case study.

grey system theory; angle; grey t’s relational degree; time series

2014- 05-18

国家自然科学基金资助项目(71272049)；教育部博士点基金资助项目(20126102110052)

徐国东(1982-)，男，山东临沂人，讲师，博士，主要研究方向：管理系统工程、统计分析、知识管理等；郭鹏(1962-)，男，陕西西安人，教授，博导，主要从事管理系统工程、项目评价、项目风险管理等研究。

N941.1

A

1007-3221(2015)06- 0192- 07

10.12005/orms.2015.0212