何为，贺中华

重庆大学 电气工程学院，重庆 400044

基于2D电阻抗成像的位置误差和相对数量指数的后处理方法

何为，贺中华

重庆大学 电气工程学院，重庆 400044

本文提出了一种基于2D电阻抗成像的位置误差和相对数量指数的后处理方法，用于多种电导率分布的确定、组织成分的识别以及位置信息的确定。此外，还介绍了一种基于现有两种重建算法的混合正则化算法，并将三种重建算法重建的结果进行了比较。结果证明，这种后处理方法可以提高2D电阻抗成像的位置精度和空间分辨率，使得电阻抗成像适用于临床检查和过程监测。

电阻抗成像；一步牛顿法；正则化算法；数量指数；位置误差

0 前言

电阻抗成像技术（Eletrical Impedamce Tomography，EIT）通过在体表放置电极注入激励电流并检测电压以获得电导率的分布图像[1]。很多研究表明EIT在医学的应用前景广阔[2-4]。然而，EIT成像的固有缺点包括空间分辨率低、检测精度低和可重复性差，妨碍了EIT的临床应用。此外，EIT测量时的微弱干扰可导致完全不同的电导率分布图像[5]。这种病态的逆问题通常采用正则化算法来求解，以获得尽可能接近真实值的电导率分布。

本文提出了一种基于二维EIT的位置误差和相对数量指数的后处理方法，以提高EIT的空间分辨率和位置精度。另外，为求解病态的逆问题，在现有正规化算法的基础上，提出了一种混合正则化算法。由于骨组织的电学特性相对复杂，故选择了一种三种电导率分布的简化的小腿模型来进行分析，以验证所提出的后处理方法和混合正则化算法。由于该模型有助于进一步了解骨组织的电性能和边界电压的关系，使得采用EIT诊断骨密度成为可能[6]。

1 方法

1.1 建立模型

本文采用一种简化的二维人体小腿模型。人体小腿实际上有五种组织，包括皮肤、脂肪、肌肉、骨密质和骨髓。在仿真模型中，只考虑到了胫骨和三种组织，即肌肉、骨密质和骨髓。该简化模型及其三种组织电导率分布，见图1。各组织在20 kHz下的电导率值为皮肤：0.0002 S/m，脂肪：0.0240 S/m，肌肉：0.3448 S/m，骨密度：0.0205 S/m，骨髓：0.0028 S/m[6]。肌肉和骨髓的电导率设定为常数。Dinc等[7]表明骨密度从0.3332 g/cm3降至0.1666 g/cm3对应骨矿物质流失，是典型的骨质疏松，因此假定骨密质电导率从0.0205 S/m降至0.01025 S/m，以此代表骨质疏松。但是这种骨密质的电导率变化与典型骨质疏松的骨密度变化之间对应关系还不确定。

图1 含三种电导率分布的简化的小腿模型。（a）用COMSOL仿真的初始电导率分布；（b）用Matlab仿真的电导率分布，其中圆环部分（代表骨密质部分）电导率发生改变。

采用全电极激励方式，每个电极环绕2D模型的边界均匀放置。该模型检测电极有16个，分布在半径为2.8cm的圆上，则相邻两电极之间的角度为22.5°。电导率异常区域（目标区域）为直径为2.4cm的外环和直径为0.8cm的内环围绕而成的圆环形区域。

1.2 测量策略

在相对驱动模式下目标区域内部有较高的灵敏度，因此采用相对驱动模式[8]。由径向相对的电极对注入电流，由除注入电流电极对外的相邻电极测量电压。当电极数为16个时，共有192（16×12）个电压测量值。

1.3 重建算法

为了提高重建图像的稳定性，需要克服随时间变化的电导率扰动引起的微小的测量电压变化。边界测量电压是电导率分布的函数，表示为。线性近似表示为，可用低阶泰勒级数表示，其中代表离散的电导率矢量，表示灵敏度矩阵。计算在时间间隔上的电导率差异[5]。

1.3.1 一步牛顿误差重建算法和正则化算法

在一步牛顿误差重建算法（NOSER）中，正则化矩阵是一个简单的对角矩阵[9]，该NOSER算法表示为：

正则化算法的通用表达式为：

1.3.2 混合正则化算法

NOSER重建2D图像效果比较好，但它对病态逆问题的信号噪声很敏感。正则化算法对微弱噪声不敏感，然而它会使边界平滑化模糊化。因此，将这两种重建算法结合起来，条件数减小，推测混合正则化算法（Combined Regularizoction，CR）能改善重建图像质量[11]。CR算法可以表示为：

1.4 后处理方法

该后处理方法用于提高2D EIT重建图像的质量。在重建过程中所需对两个参数进行分析：位置误差和相对数量指数。

1.4.1 位置误差

异物的位置定义类似于质心，即位于重建图像中的半振幅集合的“质量中心”，在此物质的重建异常电导率代替物质的密度，半幅度集合是指重建图像中那些异常电导率大于最大异常电导率的一半的所有元素。重构图像的PE越小，与目标对象的中心越接近。异物在成像区域内的位置被定义为如下关系式[14]

1.4.2 数量指数

数量指数（Quantity Index, QI），通常也可看作图像指数，用于评估范围内由于异物引起的电导率相对变化。

1.4.3 后处理过程

后处理过程的步骤如下：

第一步，基于上述3种不同的重建算法重建2D图像。

第二步，根据式（7）～（8）算出2D品质因数和位置误差，并以2D图像显示。

第三步，若重建出电导率变化值小于某个阈值，或者超出某个范围，式（10）中的值将作为新的重构电导率值。的值由重建电导率（）除以相对品质因数值（）所得。

2 数值仿真

数值仿真包括模型的建立，采用软件COMSOL Multiphysics 4.2进行正问题仿真，采用Matlab（版本：7.11.0）进行电压分析、参数评估和重建图像。

2.1 正问题仿真

如图1所示，最大圆、中间圆和最小圆的半径分别等于2.8cm、2.2cm和1.8cm，由三个圆分隔开的三块区域的电导率分别为0.3448 S/m、0.0205 S/m和0.0028 S/m。电流源注入和电压测量采用16电极的全电极模型。激励源电流为5mA，频率为20 kHz。

2.2 数据预处理

对该模型进行有限元网格剖分，得到3136个三角元网格和1625个网格节点。仿真模型的正则化参数λ为9.4277×10-11，NOSER的正则化参数设定为0.3。

2.3 仿真结果

采用三种算法重建2D图像来进行比较，以此检验后处理方法和混合正则化算法是否能获得更好的重建图像。2.3.1 条件数

一个矩阵（H）的条件数表示该矩阵对噪声的灵敏度，条件数越大说明逆问题的病态性越严重。矩阵（H）的奇异值分解（SVD）中，U和V分别是左、右边的向量，是由H的奇异值由大到小排列而成的奇异值矩阵。H的条件数表示为。

CR算法的条件数比其它两种重建算法都要小（表1）。因此，推测CR重建的效果更好。

2.3.2 定性评价

进行后处理方法的第1步，分别采用3种重建算法重建出图像，如图2所示。虽然所有的重建算法都能显示相对正确的电导率异常位置，但其边缘都不太清晰。正则化算法和混合正则化算法重建的电导率异常部分的图像近似成圆形，如图2（b）和图2（c）所示，对应电导率变化的骨密质部分和背景（肌肉）之间的对比较明显。三种重建算法的2D重建图像都比骨密质部分的实际尺寸偏小，而在形状上相似，均是环形。

在图2中，三种算法都不能确定骨髓对应的那部分圆形区域电导率是否变化，用深蓝色表示，可以理解为电导率异常变化很大，也可以理解为这个圆形深蓝色区域的初始电导率本身就很低。图2重建的图像与在正文中描述的只有两种电导率分布的模型极其相似，故圆形深蓝色区域不能判断为初始电导率本身就很低的骨髓部分。因此，这种较复杂的3种电导率分布模型，不能区分和识别骨密质和骨髓的确切位置和边缘，降低了重建图像的分辨率。

图2 三种重建算法的重建结果。（a）一步牛顿误差重建算法；（b）正则化算法；（c）混合正则化算。

2.3.3 位置误差

接着进行后处理方法的第二步，重建出2D位置误差和相对数量指数的图像，见图3～4。从图3可以看出，当电导率异常区域（即目标区域）和检测电极所在的边界之间的距离越远时，位置误差也就越大，原因是电导率异常区域离检测电极所在的边界越远，电流密度分布越低，因而算法灵敏度变差，使得位置误差增大。尽管结果显示三种重建算法重建出的不同位置的位置误差呈现出非线性，但其百分比均低于5％。NOSER算法的最大位置误差值（用深红色表示）比其它两种重建算法的都要小，且NOSER算法产生位置误差的区域范围也要小。

图3 三种重建算法的位置误差。（a）一步牛顿误差重建算法；（b）正则化算法；（c）混合正则化算。

图4 三种重建算法的相对数量指数。（a）一步牛顿误差重建算法；（b）正则化算法；（c）混合正则化算。

2.3.4 相对数量指数

由图4可看出，三种重建方法的相对数量指数在骨髓对应的区域变化显著。而图3中尽管显示出电导率异常区域出现了较小的位置误差，而边界比较模糊。将图4与图2和图3比较，从图4不仅看出环状骨密质的重建图像，更能清晰地看到骨髓的真实轮廓。骨髓的电导率比较低，在这里相对数量指数数值也很小，用深蓝色表示，其最小值在-800左右。经分析主要有两个原因影响电导率的分布：第一，骨髓的导电性低，仅为肌肉的0.812％，比骨密质也要低得多，因此，注入骨髓的电流非常小，检测电极很难反映出骨髓的实际电导率。骨髓的电导率实际上不变，但所有的重构图像显示出变化非常大（用深绿色表示）；第二，从目标区域到检测电极所在的边界的距离也影响电导率分布,骨髓区域内部相对数量指数不恒定，由中心到边界逐渐变化。从图4看出，CR重建的相对数量指数深蓝色部分区域最小，说明骨髓对应区域内由于异物引起的电导率变化的范围也最小。

表1 雅可比矩阵的条件数（=0.3,=9.4277×10-11）

表1 雅可比矩阵的条件数（=0.3,=9.4277×10-11）

矩阵H雅可比矩阵一步牛顿误差重建算法正则化算法混合正则化算法计算式条件数1.568×10202.789×10135.077×10132.532×1012

在进行后处理方法第三步之前，先建立另一个仿真模型，只有两种电导率分布，如图5（a）所示，这有助于理解为什么在式（9）中要选择更新的电导率。在这个模型中，是一个圆内全部区域电导率异常，而不是图1所示的一个圆环面内电导率异常。重建图像、位置误差图像和相对数量指数图像分别如图5（b）～（d）所示。将图5和图2、图3比较，可以看出这两种模型的重建图像与位置误差图像均相似，无法区分这两种模型。幸运的是与图4比较，可发现相对数量指数图像差异十分显著。从图4不仅可以清晰地看到骨髓所对应的第三种电导率分布，而且相对数量指数的最小值约为-800，而图5看不到骨髓所对应的轮廓线和图形，并且相对数量指数的最小值仅约为-40。因此，很容易区分图1与图5（a）两种不同电导率分布的模型。如果选择一个适当的阈值，例如-40，采用式（10）处理并更新电导率，重建电导率分布，就能显示出真实的电导率分布。

图5 采用后处理法更新电导率前建模验证。（a）只有两种电导率分布的模型，圆形区域内电导率异常；（b）重建图像；（c）位置误差图像；（d）相对数量指数图像，采用混合正则化算法。

后处理方法的最后一步是采用更新后的电导率值再次重建2D图像。采用三种重建算法的重建结果如图6，可以看出，骨髓部分（用深红色显示）的电导率没有改变且形状保持不变，骨密质的重建形状为环形，但出现了位置偏差，若以骨髓成像部分作为参照物，位置偏差的大小显而易见。与图5（b）中的只有两种电导率分布的重建结果比较，差异很显著，从而很容易分辨出是两种电导率分布还是三种电导率分布。

图6 采用后处理方法更新电导率后的重建结果。（a）一步牛顿误差重建算法；（b）正则化算法；（c）混合正则化算。

3 讨论

与现有的2D 电阻抗成像相比，经本文提出的后处理方法重构出的2D 电阻抗成像更加接近于真实目标，并且在复杂的电导率分布模型中也能检测出隐藏的电导率分布。这种方法简单，计算量小，很容易应用到复杂的电导率分布模型中，比如人的小腿模型。结果表明，这种后处理方法还能对多种电导率成分进行准确识别。因此，该方法有较大的应用前景。不足的是，经这种后处理方法重建的2D电阻抗图像仍然显示出明显的位置偏差，而且重构目标的边缘不清晰。在今后的研究中，要根据位置偏差的有利信息进行位置校正，以获得更接近真实的EIT图像。

4 结论

尽管本文提出的CR的条件数比其它算法更小，但三种重建算法的重建图像看来，混合正则化算法的优势不明显。总体来说，EIT图像重建是一个非线性和病态的逆问题。逆问题的属性决定了解的不稳定性。下一步的研究将尝试采用其它重建算法，如总变差正则化算法[15]，以改善成像质量。总之，以后的研究方向应不断优化和提高EIT重建图像的空间分辨率、稳定性。

致谢

本文工作得到了中国国家自然科学基金（编号：51377186）和973计划（编号：2014CB541600）的资助。

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A Post-Process Method for 2D-EIT-Based Position Error and Relative Quantity Index

HE Wei, HE Zhong-hua
School of Electric Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China

This paper proposed a post-process method for 2D-EIT-based（Two Dimensional Electrical Impedance Tomography）PE（Position Error）and relative QI（Quantity Index）, which was intended to identify the distribution of multiple electrical conductivity, organ compositions as well as position information.Additionally, an integrated TR（Tikhonov Regularization）based on two present construction algorithms was also introduced and compared.According to the results, this post-process method could improve the placement accuracy and spatial resolution of 2D EIT, which made EIT applicable for clinical examinations and process monitoring.

electrical impedance tomography；newton’s one-step error reconstruction；tikhonov regularization；quantity index；position errors

TM934.7

A

10.3969/j.issn.1674-1633.2015.07.003

1674-1633（2015）07-0008-05

2015-06-28

国家自然科学基金（51377186）；国家973计划（2014CB541600）。

作者邮箱：hzh186@cqu.edu.cn