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关于求参量取值范围的几点思考

2015-05-30江胜洪

数学学习与研究 2015年5期
关键词:集中恒成立参量

江胜洪

【摘要】求参量取值范围问题是高考备考的重要内容,题目也是种类繁多,不同类型必然会有不同解法,本文旨在抛砖引玉,将平时的一些思考作了如下总结.

【关键词】变量;参量;集中;绝对值;恒成立

高中数学中的求范围问题向来是函数的一个难点,尤其是已知参量范围求变量范围,或是已知变量范围求参量范围,让学生绞尽脑汁,现在笔者提供三种方法,在解题中思路明确,解法简洁,现举例说明.

方法一:参量一头,变量一头

例1对任意实数x,若不等式|x+2|+|x+1|>k恒成立,则实数k的取值范围是().

A.k≥1B.k >1C.k≤1D.k<1

解析此题的特点是:含有变量的表达式直接在不等号的左侧,而参量k在不等式的右侧,实现了参量一头,变量一头.k小于一个范围恒成立,则k小于这个范围的最小值,于是,只需求左侧函数y=|x+2|+|x+1|的最小值即可.显然,y=|x+2|+|x+1|∈1,+∞,所以k<1.

例2已知f(x)=x2+2(a-2)x+4,如果对x∈[1,2],f(x)>0恒成立,那么实数a的取值范围是

解析此题已知变量的范围,求参量的范围.x2+2(a-2)x+4>0,先整理成关于a的一次函数的形式,即2ax+x2-4x+4>0,通过移项有2ax>-x2+4x-4,因为x>0,此不等式可转化为2a>-x2+4x-4x=-(x+4x)+4,这样就做到了参量一头,变量一头.2a大于一个范围恒成立,则2a大于这个范围的最大值,而y=-x+4x+4的最大值为0,所以2a>0,即a>0.

方法二:化参为变,化变为参

例3对于满足0≤p≤4的一切实数,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,则x的取值范围为.

解析给出了参量的范围,求变量的范围.我们可以转变一下思路,将参量看作是变量,将变量看作是参量,先整理成关于p的一次函数的形式,通过变形可以看到:(x-1)p+x2-4x+3>0,那么,在0≤p≤4得范围内,函数图像就是一段线段,要想让线段上的所有点的函数值都大于零,只需让线段两个端点的函数值大于零,于是,令f(0)>0f(4)>0解得x的取值范围为x>3或x<-1.

方法三:构造函数,控制图像

例4不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则a的取值范围是.

解析当a-2=0,即a=2时,-4<0满足题意.

当a-2≠0时,构造函数y=(a-2)x2+2(a-2)x-4,要想让所有的函数值都小于零,只需要二次函数开口向下,与x轴无交点,而这种图像用不等式来控制就是a-2<0Δ<0,解得-12

例5若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0且a≠1)的图像有两个公共点,求a的取值范围.

解析当0

由已知得0<2a<1,即0

当a>1时,y=|ax-1|.

由已知得0<2a<1,即01矛盾.

综上可知,a的取值范围是0

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