多元函数在经济方面的应用初探

2015-05-30易强吕希元

课程教育研究 2015年6期

关键词：极值

易强吕希元

【摘要】经管类学生学习微积分的目的是为了将微积分的知识在经济上有所应有，解决经济方面的问题。借助二元函数的全微分和极值问题解决经济上的近似计算和最大利益问题。

【关键词】全微分偏导数极值经济函数

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）06-0105-02

本文通过简单介绍全微分和二元函数极值求法的相应理论和用法，用于经济方面的简单应用。

1.全微分

1.1定义：二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处的全增量

△z=f（x0+△x，y0+△y）-f（x0，y0）

则可以表示为：

△z=A△x+B△y+o（？籽）

其中A，B与△x，△y无关，？籽=■，则称z=f（x，y）在点（x0，y0）可微分，并将Aa△x+B△y称为z=f（x，y）在（x0，y0）处的全微分，记作dz。

即：dz=A△x+B△y。

1.2定理：若函数z=f（x，y）在点（x0，y0）可微分，则A=fy′（x0，y0），B=y′（x0，y0）。

证明：由△z=A△x+B△y+o（？籽）.，令△y=0，则？籽=△x，从而：

fx′（x0，y0）=■■

=■■=A

同理可得：B=fy′（x0，y0）。

从而，当自变量的绝对值△x和△y趋近于0时，可以利用全微分作近似计算，即：

f（x0+△x，y0+△y）≈f（x0，y0）+fx′（x0，y0）·△x+fy′（x0，y0）·△y。

例1：计算1.023.96的近似值。

解：设f（x，y）=xy，则问题变为求函数在x=1.02，y=3.96时的近似值，

令x0=1，y0=4，△x=x-x0=1.02-1=0.02，△y=y-y0=3.96-4=-0.04，且f（1，4）=14=1，fx′（x，y）=y·xy-1，fx′（1，4）=4·13=4，fy′（x，y）=xy·lnx，fy′（1，4）=14·ln0=0。

从而：1.023.96≈1+4×0.02+0×（-0.04）=1.08。

例2：已知某工厂的产量Q为其投入的资金K和劳动力L的函数Q=f（K，L）。若Q（20，60）=2500（产量），QK′（20，60）=350（资金的边际产出率），QL′（20，60）=270（劳力的边际产出率），现在工厂准备扩大投入，使K=21，L=62，试计算扩大投入后，该厂产量及产量增量的近似值。

解：记K0=20，L0=60，△K=K-K0=1，△L=L-L0=2，QK′（K0，L0）=350，QL′（K0，L0）=270.

于是：△Q≈QK′（K0，L0）·△K+QL′（K0，L0）·△L

=350×1+270×2=890；

从而：Q（21，62）≈Q（20，60）+△Q=2500+890=3390。

2.二元函数的极值问题

2.1极值的充要条件：

设函数z=f（x，y），在点的某领域内连续，有一阶及二阶连续偏导数；设fx′（x0，y0）=0，fy′（x0，y0）=0。再令A=fxx″（x0，y0），B=fxy″（x0，y0），C=fyy″（x0，y0），从而f（x，y）在点（x0，y0）处是否取得极值的条件如下：

（1）若B2-AC<0时，具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值。

（2）B2-AC<0时没有极值；

（3）B2-AC=0时可能有极值，也可能没有极值。

对于一些实际问题存在最大值或最小值时，可以利用极值的方法求解，若解出有唯一的驻点，则在驻点处取得极大值，同时也是最大值；同理取得极小值的也是最小值。

例3：设生产某种商品需原料A和B，设A的单价为2，数量为x；而B的单价为1，数量为y，而产量为：z=20-x2+10x-2y2+5y，且商品售价为5，求最大利润。