吴振亚 蔡宏圣

【摘要】数学史不仅是历史的知识，也是思考问题的厚实背景。对照历史，数学教育要吸引学生思考，并让学生充分享受思维的高峰体验。“先学后教、以学论教”不能把对新知的探索变成对新知的验证，要根据教学内容的不同情况合理使用，给予学生数学发现、数学创新的机会。

【关键词】数学史;数学思考;高峰体验;先学后教;创新

【中图分类号】G623.5【文献标识码】A【文章编号】1005-6009（2015）17-0018-02

【作者简介】1.吴振亚，江苏省太仓市实验小学（江苏太仓，215400），太仓市学科带头人;2.蔡宏圣，江苏省启东市中小学教师研修中心（江苏启东，226200）小学教研室主任，正高级教师，江苏省数学特级教师。

如果说哲学研究的是世界上一切事物的最普遍规律，那么，数学哲学研究的就是数学发生和发展的最普遍规律。关于数学史与数学哲学之间的关系，康德有句广为流传的名言：数学史一旦缺少了数学哲学的引导，便是盲目的;至于数学哲学，要是对数学史中最引人遐想的现象不理不睬，那么，它便是空洞的。数学领域的最高智慧——数学哲学研究都需要从数学史中汲取营养，那数学教育凭什么拒绝数学史呢？限于篇幅，本文选取数学课改中的两个问题，看看数学史能给予我们什么启示。

一、数学凭什么吸引学生？

2002年8月在北京举行国际数学家大会期间，陈省身先生为以“走进美妙的数学花园”为主题的中国青少年数学论坛分别题词“走进美妙的数学花园”和“数学好玩”。特别是“数学好玩”的铮铮教诲，凝聚着一代数学大师自身学习、研究数学的切身体会，在某种意义上也揭示了数学潜在的某种特质。

说起“好玩”，大家都会想到游戏。大多数成年人都有过玩游戏的经历和体会。回顾这些体验，一个好玩的游戏，首先应该容易入手，能很快玩起来;其次是有点小难度，随着玩法的熟练，不断有匹配你能力的新进阶等着你去挑战。在数学里也有游戏，比如七巧板、华容道、九连环等。七巧板，在国际上被称为“唐图”。拿破仑在滑铁卢兵败被流放之后，常玩七巧板消遣。为什么他没有感到厌倦？因为七巧板能拼成成千上万种图案。中国科学院院士张景中教授主编有《好玩的数学》科普丛书，其中吴鹤龄先生编著的《七巧板、九连环和华容道——中国古典智力游戏三绝》一书，剖析了三个经典游戏背后的数学道理，玩智力游戏的本质是玩数学。

数学知识源于人类的生产劳动，但数学科学却源于古希腊人的理性思辨。相传，古希腊的第一个贤哲泰勒斯从古埃及那里继承提出了4个几何命题的一般形式，并设法证明了“等腰三角形底角相等”。公元前387年，柏拉图建立了自己的学院，门口赫然竖立着“不懂几何者禁入”的警示牌，能进入学院聚在一起讨论交流的已不可能有真正意义上的劳动者，大家在阳光下、草地上温文尔雅地讨论的也不是一个数学结论能直接解决生产生活中的哪个问题，而是如何赋予一个数学结论以逻辑性。欧几里得和他的《几何原本》是人类历史上第一个理论形态的科学，这个史实至少可以说明柏拉图和他的弟子们实际上并没有做出更多的名堂，但重要的是柏拉图开创了从经验几何提升为证明几何的里程碑。在这个过程中，吸引人的已经不是数学的使用价值，而是纯粹的智力乐趣。因而，英国数学家哈代说：“激励数学家做研究的主要动力是智力上的好奇心，是谜团吸引力。”陈省身先生说“数学好玩”，正是对数学发展这一特质的凝聚，也是其自身在学习和研究数学的过程中感悟到的哲理。先生在天津扶轮中学求学时，乐此不疲地寻找弦切角定理的多种证明方法，写就《一个几何定理的十六个证明》一文，刊登于校刊《扶轮》上，享受的便是思考的乐趣。

综上所述，数学就其客观意义，本身无“好玩”之说，而学习者建立起“好玩”的主观感受，总结起来不外乎两条：其一是简单有趣，能让参与者很快入境;其二是别有洞天，能让参与者欲罢不能。不少人觉得数学难，所以不爱学数学，实际上这是表面现象。数学能让一部分人终身追随，不是因为它简单，恰恰是因为它有点难。因此，不爱学数学的问题本质在于：面前的数学对他们来说，“难”得不合适。如果要解决的问题就像跳一跳就能摘到的果子，那么他们就不会计较跳一跳的努力，反而会因为跳一跳更难以忘怀那果子的鲜美！

数学，是人类智力的皇冠，吸引人沉醉其中的是可以享受智力的高峰体验。一个高明的数学教师，要呈现与儿童的认知水平相匹配的数学——能解决又不能随手可得、有信心又需要再努力的数学。如此，学习的过程便犹如陶渊明先生游记里所描述的：“山有小口，仿佛若有光。便舍船，从口入。初极狭，才通人。复行数十步，豁然开朗。”这样的数学学习过程，积累着从辗转反侧、冥思苦想到石破天惊、豁然开朗的思考乐趣，学生怎么会抛弃数学呢？

二、怎样的“先学后教、以学论教”才完美？

如果高度概括数学发展的话，数学史实际上只有两个历史阶段：其一是数学结论的创造阶段，这里往往是伟大数学家的大胆猜测、直觉或类比推理起着更大的作用;其二是数学理论的构建阶段，用演绎推理的方式赋予已经创造出来的数学结论以逻辑性。也就是说，尽管数学的最终表现形式是严格的演绎方式，但只有依靠直觉、大胆的猜测，并通过多次反复（猜测，反驳;再猜测，再反驳），我们才能发现并最终获得可靠的知识。用演绎推理的方式证明，虽然是数学的灵魂，但在此之前，总要明确要证明什么。爱因斯坦说：“解决问题也许是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的理论，从新的角度去看旧的问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”数学学习不仅要学习如何用演绎的方式去证明，还要有大量的机会去体会如何猜测、类比和归纳，这才是完整的数学学习生活。

教师把数学看得越透彻越能在数学教育的各种纷争中保持应有的定力。当下，数学课堂中“先学后教、以学论教”的实践如火如荼。这样做的理论基础是：学生是有学习能力的人，不是一张白纸，为什么要把将要学习的知识藏起来怕他们先知道呢？难道只是为了确保教师在课堂里更像个权威？这一番理论很有说服力，让学生先学起来，把他们从原先的被动学习状态中解放出来，也肯定没有错。但需要慎思，学科教学在承载教育功能的同时要体现学科的特质，只有这样，各个不同学科构建而成的课程体系才有意义。不说“先学后教、以学论教”异化成“先学后教、大量做题”对数学教育目标带来的伤害，也不说先学时围绕预习题、辨析题进行的对新知的解读式学习滤去了数学内在的思想精髓，就是神似的“先学后教、以学论教”，学生阅读教科书知道了数学结论后，课堂中所做的事便是运用所有的旧知去设法验证、说明该结论的成立。这样的课堂实践也以事实说明，放开了让学生先学，的确能激发他们的学习能动性和潜在智慧。但要警惕并要想方设法避免的是：学生的所有智慧都服从于已有的结论，千方百计地验证和说明这个结论的正确性，没有机会在问题情境的逼迫中提出自己的想法。

“先学后教、以学论教”要防止“先学”变成“先知道”，而不是“先思考”。在学习战略性概念等内容时，把数学结论藏起来，是给予学生独立探索、发现问题、大胆猜测、思考验证、收获成功的机会。课堂交流展示，不仅要讨论个人对现有结论的理解和验证，还应该找合适的内容组织学生交流：你自己提出了什么想法？你的想法道理何在？然后对照现有的结论交流：现有的结论高明在何处？这一切正如《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的“自己发现和提出问题是创新的基础;独立思考、学会思考是创新的核心;归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法”，无论用什么教育模式，创新意识的培养都应贯穿始终。

无论什么时候，当下都是历史中的一个片段。对于历史，我们都应心存敬畏。在数学发生、发展的历史中，我们能看到数学的源与流、美与理，还能看到谬误与曲折、发现与创造，甚至能透过数学的知性看到其背后的人性……对于数学的教与学来说，所有的这些都是不可或缺的财富。