吴燃+罗增儒

本刊文[1]是谈三视图问题“潜在假设”的，不料，文章的例6也存在“潜在假设”的漏洞，本文对此进行了认真的自我剖析，并从中获取积极的成果，盼广大读者批评指正.

1反思一个漏洞

1.1两个“潜在假设”需要澄清

图1在文[1]的例6中，笔者曾考虑过三视图（如图1）所示的几何体的体积.

解：图1中三视图均为四分之一的全等扇形，半径r=1，从而，几何体为单位球在第一卦限部分，体积为

V=18V球=18×43πr3=π6.

文[1]认为解法存在两个“潜在假设”：

（1）“潜在假设”每一视图均为四分之一的全等扇形.

其实，对球面x2+y2+z2=1.0012，过点0.002001，0.002001，0.002001分别作三个平行于坐标平面的截面，取所截得的第一个卦限部分（记为几何体V），则由

x2+y2=1.0012-0.0020012=1，

x2+z2=1.0012-0.0020012=1，

y2+z2=1.0012-0.0020012=1，

知几何体V的三视图形如图1，但体积不是单位球在第一卦限部分.

（2）其二，“潜在假设”三视图（如图1所示）均为四分之一全等扇形的几何体必为单位球在第一卦限部分.

其实，曲面x2+y2+z2+x2y2z2=1①

所围成的几何体不是单位球，但它“x≤1，y≤1，z≤1同时成立”，分别取x=0，y=0，z=0都得出单位圆，并且对任意的0

可见，对图1的两个“潜在假设”确实需要澄清.

1.2反思进一步思考的漏洞

在文[1]中，笔者还进一步谈到“球的三视图是三个等圆，但三视图是三个等圆的几何体未必是球”，主要论据是给出曲面

x2+y2+z2+xyz=1②

所围成的几何体，并认为它在坐标平面上的投影均为单位圆（分别取x=0，y=0，z=0都得出单位圆），但这个几何体不是球.其实，当时也有两个“潜在假设”，其一，潜在假设x≤1，y≤1，z≤1同时成立；其二，当用平行于坐标平面的平面去截曲面②时（如z=α，0<α<1），得到的截线是椭圆

x212-2α22+α+y212-2α22-α=1，（0<α<1）.③

“潜在假设”这个椭圆的投影不会超出正方形及其内切单位圆.

最近，经过自我反思，发现这里面有不少漏洞.

反思1分别取x=0，y=0，z=0都得出单位圆，不能推出曲面②在坐标平面上的投影均为单位圆.

因为分别取x=0，y=0，z=0得出的是截面，虽然它与投影面并非毫无关系，但毕竟是两个概念，投影面还要考虑曲面②的其余部分在坐标平面上的投影会不会超出单位圆；即使曲面②的其余部分在坐标平面上的投影不超出单位圆，也还要考虑其在单位圆内会不会留下投影线（实线或虚线）.总之，在逻辑上不能由截面是单位圆，推出投影面也为单位圆.

那么，能不能对曲面②作出严格的证明，从而弥补这个逻辑漏洞呢？这涉及下面的两个反思.

反思2椭圆③的长半轴可以大于1，其在坐标平面上的投影可以超出单位圆.

当时，默认“x≤1，y≤1，z≤1”，从而当0<α<1时，椭圆③上的点不会超出正方形及其内切单位圆，其实，椭圆③上的点x1，y1已经作了旋转变换

x=22x1-y1，

y=22x1+y1，

椭圆的对称轴已位于正方形的对角线上，其长半轴可以大于1，点x1，y1在坐标平面上的投影也可以超出单位圆.比如，当α=2-3时（这个α值的来由参见下面的问题2），椭圆③的长半轴为

a=2-2α22-α=2-22-322-2-3=6-2>1.03，其顶点在坐标平面xOy上的投影超出单位圆（参见图2）.就是说，图2曲面②上存在这样的点（1-3，3-1，2-3），它到0，0，2-3的距离d=1-32+1-32+02=6-2>1，因而，点1-3，3-1，2-3在坐标平面xOy上的投影超出单位圆.

反思3用截面z=α去截曲面②所得的截线还可以为双曲线.

上面说截线x212-2α22+α+y212-2α22-α=1为椭圆是有0<α<1做前提的，但由②不能推出“x≤1，y≤1，z≤1同时成立”，z=α>2可以存在.比如，点22，-22，3，1+3，-1-3，2+3就有z>2且满足曲面②（更多的点参见下面的问题3），它在坐标平面xOy上的投影就超出单位圆.一般地，当z=α而α>2时，截线

x212-2α22+α+y212-2α22-α=1，（α>2）④

满足2-2α22+α2-2α22-α=2-2α224-α2<0，为双曲线，它有无穷多个点在坐标平面xOy上的投影超出单位圆.

综合所述，说明曲面②存在不可弥补的漏洞，我们期待读者寻找新的曲面（诸如曲面①之类），证实或否定“三视图是三个等圆的几何体未必是球”.

2获得两组题目

关注习题编拟是文[1]写作的一个背景，虽然以曲面②为基础的讨论没有获得预期的成功，但所经历的过程却可获得一批题目，结合文[1]已经提出的问题一共有两组，特与读者分享如下：

2.1第一组题目

这组题目仅涉及曲面②，但结合中学实际避开空间曲面，落脚在平面曲线上.

问题1就实数k的不同取值，讨论平面曲线x2+y2+kxy+k2-1=0的形状.

解由对称性，可对k分5种情况讨论如下.

（1）当k=0时，曲线为x2+y2=1，形状为单位圆.

（2）当00，作配方变形12+k4y+x2+12-k4y-x2=1-k2，

再作变换x=22x1-y1，

y=22x1+y1，即y+x=2x1，

y-x=2y1，

有1+k2x21+1-k2y21=1-k2，

得x212-2k22+k+y212-2k22-k=1，0

其中，2-2k22-k>2-2k22+k>0（0

（3）当k=1时，曲线可变为x2+y2±xy=0，

配方x±y22+34y2=0，得y2=0，

x±y22=0，有x=y=0，形状为原点0，0.

（4）当1

（5）当k>2时，曲线可变为x2+y2+kxy=1-k2<0，作配方变形12+k4y+x2+12-k4y-x2=1-k2，再作变换x=22x1-y1，

y=22x1+y1，即y+x=2x1，

y-x=2y1，有1+k2x21+1-k2y21=1-k2，得x212-2k22+k+y212-2k22-k=1，k>2，其中，2-2k22+k2-2k22-k=2-2k224-k2<0（k>2），形状为双曲线.

说明如果考虑到现行中学教材没有讲正交变换，也可以先作变换，把问题1改写为：就实数k的不同取值，讨论平面曲线1+k2x2+1-k2y2=1-k2的形状.同理，下面的问题2、问题3也可以作相应处理.

问题2对0

（1）求证，对任意的x，y∈M，均有x<1，y<1；

（2）判断点集M的形状；

（3）求Ax，y∈M，使点A到原点的距离取最大值，并求出这个最大值.

解（1）将点集M的表达式变为1-k2-y2=x2+kxy，配方（或直接对M的表达式用判别式）有1-k2-y2+k2y24=x+ky22≥0，但0

（2）参见问题1第（2）种情况，曲线的形状为椭圆（不赘）.

（3）点集M的表达式可变形并用基本不等式，有1-k2=x2+y2+kxy≥x2+y2-kxy（当kxy≤0时取等号）≥x2+y2-kx2+y22（当x=y时取等号）.

对0

这里，又用了基本不等式，当2-k=32-kk=2-3时取等号.

取k=2-3且x=-y时，有kxy≤0且x=y，则上述各不等式同时取等号，由x=-y，

x2+y2=6-2，可解得A13-1，1-3∈M，A21-3，3-1∈M，使点A到原点的距离取最大值6-2.

同样，取k=3-2且x=y时，有kxy≤0且x=y，得A33-1，3-1∈M，A41-3，1-3∈M，使点A到原点的距离取最大值6-2.

所以，存在M中的4个点A1，A2，A3，A4，使点Ak（1≤k≤4）到原点的距离取最大值6-2.

说明第（3）问也可以用第（2）问的结论，由点A到原点的距离不超过椭圆的长半轴来求解.

问题3对k>2，给出点集M=x，yx2+y2+kxy+k2-1=0.

（1）求证，对任意的x，y∈M，均有x>2，y>2；

（2）判断点集M的形状；

（3）求Ax，y∈M，使点A到原点的距离取最小值，并求出这个最小值.

解（1）将点集M的表达式变为k2-1+y2=-x2-kxy，配方（或直接对M的表达式用判别式）有k2-1+y2-k2y24=-x+ky22≤0，但k>2，得y2≥4k2-1k2-4=4+12k2-4>4，即y>2.同理得x>2.

（2）参见问题1第（5）种情况，曲线的形状为双曲线（不赘）.

（3）点集M的表达式可变形并用基本不等式，有1-k2=x2+y2+kxy≥x2+y2-kxy（当kxy≤0时取等号）≥x2+y2-kx2+y22（当x=y时取等号）.

对k>2，得x2+y2≥2k2-2k-2=8+2k-2+3k-2≥8+43=6+22，

这里，也用了基本不等式，当k-2=3k-2k=2+3时取等号.

取k=2+3且x=-y时，有kxy≤0且x=y，则上述不等式同时取等号，由x=-y，

x2+y2=6+2，可解得A1（1+3，-1-3）∈M，A2-1-3，1+3∈M，使点A到原点的距离取最小值6+2.

同样，取k=-2-3且x=y时，有kxy≤0且x=y，得A31+3，1+3∈M，A4-1-3，-1-3∈M，使点A到原点的距离取最小值6+2.

所以，存在M中的4个点A1，A2，A3，A4，使点Ak（1≤k≤4）到原点的距离取最小值6+2.

说明第（3）问也可以用第（2）问的结论，由点A到原点的距离不小于双曲线的实半轴来求解.其实，对曲线③、④中的fα=2-2α22-α求导，由f′α=0可求得两个极值点：α1=2-3对应问题2的最大值，α2=2+3对应问题3的最小值.

2.2第二组题目

结合文[1]，可就三视图的概念及相关情况提出如下问题：

问题1三棱锥的三视图轮廓“形状都相同，大小均相等”，这样的的三视图有几种情况？

问题2证明“三视图是三个全等正三角形”的三棱锥不存在？

问题3三视图轮廓为“三个全等的等腰直角三角形”的三棱锥到底有几种情况？

问题4证实或否定“三视图是三个等圆的几何体未必是球”.

问题5如何给出几何体三视图的代数定义？怎样推出一个曲面Fx，y，z=0所围成几何体的三视图？

参考文献

[1]吴燃，罗增儒.三视图问题要防止消极的“潜在假设”[J].中学数学杂志，2014（9）.