摘要：使用“n级自然数表”的升级排列法，以n种不同的排列方式来探索素数在自然数中的排列规律和秩序，用全新的理论方法和思考角度，研究历代数论学家长期探索未果的重大课题。《n级素数周期表》的实现将为解决素数研究领域积淀下来的大量历史遗留问题，批量获取无穷无尽的大素数提供了强有力的数学理论武器。

关键词：《n级素数周期表》；公变周期；狄尼克雷素数定理；混沌；有序 文献标识码：A

中图分类号：O156 文章编号：1009-2374（2015）05-0015-10 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2015.0344

纵观素数研究发展史，为什么素数领域中的“猜想”和历史遗留问题会越来越多，长期跨世纪得不到解决？为什么人类花费了大量的时间和精力，采用最先进的设备和几十万台计算机联网搜索，至今也才获得48个梅生大素数？“48”与无穷多来比较，这是一个多么不协调的数字？为什么人们对素数有着丰富的“猜想”，提出无以数计的妙趣横生的数学问题，但是对于有关素数规律至今很难得到一个实实在在的定理？考究其本质原因，是人类无法获得无穷无尽的大素数，人们无法知道那些天文数字（比如说千万位、亿位）的大素数和大合数是怎样的排列规律，那些越来越宽广连续合数区和越来越长的素数等差数列是如何形成的？怎样解释它们之间的关系？本工作推出的《n级素数周期表》的理论能填补素数领域中上述提出的历史空白。对这些“猜想”和历史遗留问题作出现实客观、辩证统一的解释。采用自然数表的升级排列法：把自然数1、2、3…依序排列到n（n>0）个顺序素数的公变周期（即最小公倍数）△=[m1 m2…mn]位置，组成级差为△的△个等差数列无限延伸，无论参变素数的个数n取值多少，都能一个不漏地覆盖全体自然数。本文在整体自然数中以n种不同的排列方式来探索素数在自然数中的排列规律和秩序，研究数论学家们长期探究未果的重大课题，取得以下成果：（1）运用狄利克雷素数定理和素数周期公变K△（K=1、2、3…）重要性质推出“素数列判定定理（1）（2）”把覆盖全体自然数的△个等差数列划分为依序排列的素数生成列和合数生成列组成的大大小小的连续合数区，证明了在自然数中，无论n取值多大，素数列总是与连续合数区是相对分流、相对独立的。从自然数中分离出《n级素数周期表》系列，n值越大，素数列和合数列分流就越彻底。（2）运用“等差数列合数项标律”和K△性质，证明了《n级素数周期表》的素性纯洁度随着n值的提升变得越来越高，越来越接近100%，大于mn的n级素数表的素数排列也由低级素数表的混沌逐步走向高级表的有序，这种发展趋势是没有止境的。从而揭开了在《n级素数周期表》的尽头深处，素数排列规律和秩序是横平（从mn+1起由小到大）、竖直（以△为级差的素数等差数列任意延伸）而齐整的惊天秘密。（3）从此，人类也像获得偶数和奇数那样获取无穷无尽的大素数。黎曼猜想追求的终极目标和结论，孪生素数猜想，三生、四生…n生素数猜想，素数最大间隙，任意长的素数等差数列…等跨世纪难题和一些素数领域中的历史遗留问题，在《n级素数周期表》中反映出来的只不过就是一些普通存在客观现象而已。这就为人们彻底解决这些世界难题，提供了强有力的数学理论武器。（4）把一次同余理论编入电子计算机程序，在混沌的低级素数表中批量排除素因子合成数，在有序排列的高等级素数表中检测素因子合数的分布密度，（趋于零）人类就可以掌握控制任意数域，任意区间，任意大小，任意等级的素数生成列（表），批量获取区域大素数。

著名哲学家任继愈有句名言：“越是抽象的越不能脱离实践。”我们应当相信：“现实客观的数学存在必然就是真理。”《n级素数周期表》的实现，数论领域的研究必然会迈上一个新的历史台阶！

1 素数分布真实情况剖析

几乎世界上所有的数学家都认为，素数是无穷的。然而，几乎是世界上所有的数学家又都认为：越往大数区域，素数分布越稀疏，著名数学家欧拉和勒让德，还先后提出了“无穷多个素数出现的概率为零”的定理。这两个看似悖论，似乎又真实存在的结论，使得人们对素数分布的认识备感神秘，进退维谷，扑朔迷离。素数果真是越来越稀、越来越少吗？为什么素数分布会时疏时密、时隐时现？人类对素数的认识是否走进了误区？为让人们弄清这个两千多年来数论学家一直都在探讨的问题，我们还是从一个简单的奇数列中的任何一个素数在数列中到底具有什么递变规律谈起。如果我们在奇数列3、5、7、9、11…无限延伸的各个顺序奇数对应标注项标顺序1、2、3、4、5…会得到一个无限延伸的公差为2的等差数列，因为这个数列可产生全体素数，我们暂且把这个数列叫做素数生成列，而把自然数的另一半偶数称为非素数列：

项标：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25…

奇数列：3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51…

在素数列中，我们发现，当任一素数在数列中的某一项出现以后，则从这一项起，以这个素数的自身数值为周期循环相继出现的项数所对应的奇数一定是这个素数的倍数，我们称为素因子合数。如设mn为任一素数在Xi项，则形如Xi+Kmn（K=1、2、3…）项对应的奇数一定是有mn的素因子组合数，即mn的倍数。这个递变规律也同样适用于任意一个有素数生成的无穷等差数列，我们把它叫做等差数列合数项标律，简述如下：

规律1：等差数列合数项标律。

任一素数mn若在等差数列中的Xi项，则mn每过mn项，素数mn以其自身数值递增mn。凡形如Xi+Kmn（K=1、2、3…）项所对应的奇数一定是有mn的素因子合成数。这个变化贯穿于Xi项以后的数列，直至无穷。

由规律1很容易推论：

规律2：如果等差数列的Xi项是mn的素因子合成数，则形如Xi+Kmn（K=1、2、3…）项对应奇数也一定是有mn的素因子合成数。

从规律1、2我们可以看得出，在有素数生成的等差数列或有序自然数中，任意一个素数mn出现的次数都是唯一的、仅有的一次，但其产生的合成数却会周期性地、反复地形成一个形如Xi+Kmn（K=1、2、3…）的数列无限延伸，由此推出素数自变周期律如下：

规律3：素数自变周期律。

按顺序排列自然数（或等差数列）任意一个素数mn都以其自身数值为周期循环值，周期性反复无穷地出现mn的素因子合数群，我们把这种递变规律称为素数自变周期律。

假如我们设m1=2、m2=3、m3=5…mn=第n个顺序素数，根据规律3，由于任一素数都有其独特的自变周期运转规律，则n个顺序素数就有n个独特的自变周期运转律，当这n个运转周期值正好重叠在同一个自然坐标上时（即运转周期值相等），我们把n个顺序素数的自变周期交会于一点的公共坐标叫做n个顺序素数的公变周期，记写为△=[m1 m2…mn]。从数学计算式来理解是n个顺序素数的连乘积，从整除性质来理解是n个顺序素数的最小公倍数，从覆盖全体自然数的△个等差数列来理解是公共级差，△是本文最核心、最重要的一个参数值，这是后话，暂且不表。

假如我们从另一特殊角度换位思考：全体自然数可说是这样一个整体，它们是由0、1和全体素数及这些全体素数生成的素因子合数群组成的（当然这样定义自然数也许不妥，仅为解决问题换位思考）。那么根据规律1、2、3我们发现在自然数或等差数列中的任意一个素数具有下面重要特征：（1）任一素数与它的素因子合数群的个数比例是1∶∞。但没有占比例“1”的这个素数，也就没有它的无穷的素因子合数，因此没有素数也不会有合数和自然数；（2）为维持自然数或等差数列的有序完整性，素数总要携带并依附着它的素因子合数群而存在，是不分离的一个群体；（3）数值越小的素数，它的素因子合数群分布越密集，数值越大的素数，它的素因子合数群分布越稀疏，且越大越稀疏。

上述三个特征几乎完全揭穿了素数真实分布的神秘面纱。比如说素数“2”是最小的素数，然而它的素因子合数群（全体偶数）却几乎占去了全体自然数的一半（约50%），而那些越来越大的超级大素数（比如说几千万位）它们的素因子合数群却稀疏得几乎逼近零。根据《孙子定理》和埃拉托塞尼筛法原理，在大数区域里，素数越大，产生新素数的能力越强，而大素数形成的素因子合数群分布越稀疏。在小数区域，素数越小，再生新素数的能力越弱，而小素数形成的素因子合数群分布越密集。但令人困惑不解的是，为什么在奇数数列中（或自然数中）反而会出现素数越来越稀疏、素因子合数越来越密集的相反状况呢？考究其原因，是贯穿整个数列或部分数列的中小素因子合数群游离和干扰造成的恶劣环境，是人们把素数排列在比它多几百倍、几千倍甚至几万倍的素因子合数群中，遮盖了素数的“身影”。人们老是在有中小素数及其素因子合数群密集的数列中去看素数，肯定会感觉到素数越来越稀、越来越少，因为那些中、小素数的自变周期、公变周期产生的素因子合数群铺天盖地占据了数列中绝大多数坐标格子，那些新生大素数只得分散排列更大的区域里去了。如果我们把中小素数和它们无穷的素因子合数群都排列到自然数中的连续合数区中去，在各素数生成列中只保留大于某一界定值以上的大素数及它们的素因子合数群，因为大素数的素因子合数群分布是越大越稀疏，这样在各素数生成列中就会出现素数越来越密集的反常状况，从而解决人们总认为越是大数区域素数将越来越稀、越来越少的，不容易转弯子的矛盾，本工作推出的《n级素数周期表》的理论能帮助人们实现这一美好愿望！

2 n个顺序素数公变周期△=[m1 m2…mn]和K△（K=1、2、3…）的重要性质和应用功能

设n个顺序素数（n≥1）的公变周期△=[m1 m2…mn]，我们把按序排列的1、2、3…△的△个自然数组成的△为级差的△个等差数列无限延伸，无论n取值多少都会一个不漏的获得全体自然数，n就是这个无限延伸的自然数表的等级，其中，也一个不漏的包含了全体顺序素数。在n级表中覆盖全体自然数的△个等差数列无限延伸可用△个计算式表示如下：

设m1=2，m2=3z…mn=第n个顺序素数，△=[m1 m2…mn]是n个顺序素数的公变周期（最小公倍数），用级差为△的△个等差数列覆盖全体自然数、排列如表1所示。

由于△=[m1、m2…mn]中包含有不大于mn以下任一素数因子，因此△同时是2、3、5、7…mn的倍数，当n≥3时，无论n和mn取值多大，△一定是30的倍数，△值的末位数字一定是0，△/2的末位数字一定是5，根据狄利克雷素数定理，K△具有以下重要性质：（1）K△加不全大于mn的素因子合成数，一定得合数（不全大于mn的素因子合成数一定与△有公因子）；（2）K△加不大于mn的素数一定得合数（因△中包含有不大于mn以下的素数因子）；（3）K△加偶数一定得偶数；（4）K△加奇数一定得奇数；（5）K△加大于mn的素数一定得素数或全大于mn的素因子合成数（互质）；（6）K△加全大于mn的素因子合成数一定得素数或全大于mn的素因子合成数（互质）；（7）K△±1一定得素数或全大于mn的素因子合成数（互质）。

根据狄利克雷素数定理以及△和K△的重要性质，n级自然数表的△个等差数列中的素数生成列和合数生成列的划分，可归纳成下面定理：

定理1（n级表素数列判定定理1）：

设△=[m1 m2…mn]是n个顺序素数的公变周期，把1、2、3…△依序排列的△个原生自然数组成级差为△的△个等差数列，无限延伸覆盖全体自然数，Mi表示原生自然数，若（Mi△）=±1，则Mi+K△（K=0、1、2…∞）是素数生成列，包含有无穷个素数，若（Mi△）≠±1的整数，则Mi+K△（K=0、1、2…∞）是无穷合数生成列（首项原生数除外）。

在定理1中，我们讨论了（M1△）=-1的情况，因为作者曾证明了两个不等的非零正整数在辗转相除过程中，-1和负公约数的出现是不可避免的。

德国著名数学家狄利克雷（Drichlet，1805～1859）在1837年7月27日证明了当Mi、△互质时，形如Mi+K△的等差数列包含有无穷多个素数，人们把这个理论赞誉为：算术级数的素数定理。但当时他和后来的数学家们并未限制数列的级差△一定是具有n个顺序素数的公变周期性质，这个定理得不到更深层次的进展和应用，本工作站在历史巨人的肩膀上，在覆盖全体自然数的△个等差数列中全盘性的进行系统的分类，把全体素数生成列从自然数中分离出来，人们就会一个不漏地获得大于mn的顺序素数表，虽然这个素数表不可避免的产生全大于mn的素因子合数群，但随着表的等级n的持续提高，mn之值会越来越大，前面我们说过，素数越大，它的素因子合数群就会越来越稀疏，全大于mn的素因子合数就表现出更稀疏的状态，从自然数中分离出来的顺序素数表的素性纯洁度就会越来越高，越来越逼近100%。

但是当自然数表的等级很高时，比如n=300万级，此时，△值是一个2000多万位的天文数字，人们要在△个等差数列中，用定理1逐个计算划分合数列和素数列这是一个十分浩大、艰巨的工程，人们就是穷尽毕生精力和时间也无法完成，下面我们运用定理1原理和K△的重要性质推出定理2，在n级表的△个原生自然数中，按数域区间整体划分连续合数区和素数生成列准确的排列位置，为人们快速、简捷地打造任意区段的素数生成列提供理论依据。

定理2（n级表素数列判定定理2）：

设△=[m1 m2…mn]是n个顺序素数的公变周期，把1、2、3…△依序排列的△个原生自然数，组成级差为△的△个等差数列无限延伸，覆盖全体自然数，Mi表示任意整数：

若Mi满足下列条件之一时：（1）当Mi=1或Mi=-1时；（2）当Mi是mn

我们只要运用定理2，把覆盖全体自然数中的△个等差数列判断出全体素数生成列，则自然数中大大小小的连续合数区也就顺势确定了。事实上，原生自然数Mi只要满足：（1）Mi是1

从定理1、2和K△的重要性质推论，在n级表排列的△个等差数列中，各种性质的数列都是相对独立排列的，根据K△性质（5）（6）（7）组成的相邻素数生成列都有大大小小的间距（绝大多数数列间距=原生顺序素数间距），把全体自然数划分为大大小小的连续合数区，连续合数区的间距宽分别为2、4、6、8、10…（mn+1-1）。如果把这些独立的素数生成列从自然数整体中分离出来，我们就会一个不漏地获得一个大于mn的原生态顺序素数表，虽然间杂有全大于mn的素因子合数，但我们仍把这个素数表看成是自然数中的一个独立群体，它们和全体自然数要“合得拢”、“分得开”，所谓“合得拢”，我们就能在自然数表中看到各素数生成列和大大小小的连续合数区的关系和排列规律，随着等级的持续提高，我们会看到两个最大连续合数区越来越宽广，各素数列的素数等差数列越来越长的根本原因所在；所谓“分得开”，我们就能证明，全体大于mn的素数在自然数中建立有一个属于自己的“素数王国”，只不过素数王国中的每一个“素民”总要携带和依附着它的全大于mn的素因子合数群，在“素数王国”中出现，使“素数王国”的素性纯洁度受到影响，但这种影响力会随着等级的持续提高而越来越弱，因为自然数表的等级越高，△值中最大素因子，mn值也就越大，大于mn素数表中全大于mn的素因子合数群分布就会越来越稀疏，其分布越来越趋近于零，素数表的素性纯洁度就会越来越逼近100%，这种递变规律和发展趋势是没有止境的，最终必然导致在等差数列指定近期公共项标内，实现素数生成列和合数生成列的解体和分流。K△在n个顺序素数的周期公变过程中，始终充当和扮演了一台万能数据制造机的角色，在△个等差数列覆盖的自然数体系中，维持着素数列和合数列合理的生态平衡，促进了素数生成列和合数生成列在自然数中的自然解体和分流，是源远流长的素数生成列和合数生成列得以世代繁衍、生生不息的根和魂。

3 《n级素数周期表》的性质、特征、规律和素数生成模式

如果我们认真观察，当n≥2时，无论n取何值，在《n级自然数表》（表1）的中端和末端，一定存在有两根主中轴线，△轴和轴，组成自然数表的全体素数生成列和全体合数生成列都沿着这两根主中轴线的两侧等距离对称分布。假如我们把n级表（表1）的△个等差数列首尾相连围成一个周长为△的无限延伸的圆柱体，我们沿着△～△/2截面剖开，就能把全体自然数一分为二地剖为互为对称两半，在△轴和△/2轴的两侧，一定有素数列和素数列（含全大于mn的素因子合数），合数列和合数列，偶数列和偶数列、奇数列和奇数列完全等距离对称，1+K△和-1+K△，（△/2+2）+K△和（△/2-2）+K△这两组孪生素数列也等距离对称。这种美妙绝伦的对称现象，使人们联想到穿过埃及金字塔底面正方形纵平分线，无限延伸与地球子午线正好重合。正好把地球的陆地和海洋分成均匀的两半，而且塔的重心正好落在各大陆引力的中心。物质世界奇特的构造规律，与《n级自然数表》中各种特殊性质的数列都沿着△轴和△/2轴完全等距离对称分布原理，达到高层次的惊人的相似和吻合。△～△/2剖面就像是自然数体系中（或说整数体系中）的“子午线”，它维持着“子午线”两端的素数、合数、偶数、奇数的平衡，这种高层次、高境界的对称现象在自然数表中是怎样形成的呢？

从n级表（表1）的△个等差数列可看出，△/2轴左端的原生自然数可排列为：

1.2.3…mn…（mn+1-1）、mn+1…（△/2-2）…△/2…

△/2轴右端，由于从末端排列的数无法用数字表出，只能用△逐个减1得到，如果在有△值的项都减去一个△作原生数，等差数列中所有的数仍在数列中，不会影响等差列的性质，故右端原生数可转化为：

…△/2…（△/2+2）…-mn+1-（mn+1-1）…

-mn…-3、-2、-1、△

从△/2轴左右两端排列的原生数可看出：1和-1、2和-2、3和-3…mn和-mn…（mn+1-1）和-（mn+1-1）、mn+1和-mn+1…（△/2-2）和（△/2+2），相对△轴和△/2轴，完全等距离对称（也叫镜相对称），用同样方法，我们也可以用n个顺序素数的周期公变K△性质解释奇数列和奇数列，偶数列和偶数列，合数列和合数列完全等距离对称现象。

根据n个顺序素数周期公变值K△重要性质，由于K△中包含有m1、m2…mn中任意一素数的素因子，因此mn+1（表示第n+1个素数）以下（除1以外）的任意自然数与K△之和均是一个无穷合数生成列，由2+K△、3+K△、4+K△…+mn+K△…（mn+1-1）+K△组成了一个无限延伸的宽度为mn+1-2的连续合数区。同理，从△等差数列末端排列过来的原生自然数为：[△-（mn+1-1）]…（△-mn）…（△-4）（△-3）（△-2）的顺序自然数中和K△有≠±1的公因子（只不过是符号不同而已），因此[△-（mn+1-1）]以上排列到（△-2）的所有自然数与K△之和也组成了一个宽度为mn+1-2的连续合数区，这两个孪生素数列1+K△和-1+K△两侧的最大连续合数区同等规模、同样大小、同样宽度、镜相对称，是随着n级自然素数表的等级提高而变化的这两个对称的合数区，其左、右两侧和上方首排原生自然数列，形成三方有素数生成列为边界三面合围，一端开放，无限延伸，在边界内，人们看不到一个素数。

根据素数列和合数列都是沿着△轴和△/2轴等距离对称分布原理和K△重要性质推论；在《n级自然数表》（表1）中，当n≥2时，无论n取值多大（任意大），也无论n取值有多小（比如说n=2），△个等差数列覆盖的全体自然数中，一定存在有-1+K△和1+K△两个对称的恒生素数列（即孪生素数列）；一定存在有（△/2±2）+K△两个间距为4的，对称的双生素数列；一定存在着两个宽度为（mn+1-2）的同等规模，同样大小的对称的最大连续合数区，一定存在有两个同等规模、同样大小、宽度为△/2-（mn+1-2）对称的素数生成区（素数生成区内各素数生成列的间距分别是2、4、6、8、10…，这些小间距也是周期性地反复出现，等级越高，出现的偶间距也越多、越大）。

归纳总结n级自然数表的性质特征和规律，我们删去n级表素数生成区中大大小小的连续合数区，只保留素数生成区中的各素数生成列，意向性地保留两个最大连续合数区的规模大小，保留两根主中轴线△和△/2轴，制作成《n级素数周期表》的素数生成模式，适用于任意等级的素数表，如表1所示：

n级素数表只反映大于mn全体素数的排列规律和生成情况，不大于mn以下的任一素数由于都是△中的一个素因子，与周期公变K△之和均是一个无穷合数列而失去素数生成能力，转化为合数生成源。等级素数表通过持续提升表的等级，把越来越多、越来越大的mn以下的中小素数转化到自然数中连续合数区中去，素数表中只保留大于mn的素数和全大于mn的素因子合数，mn值越大，全大于mn的素因子合数越稀疏，大于mn的素数在表中排列就越密集，通过这个原理来获得越来越纯结的素数表。

《n级素数周期表》具有以下重要性质：

性质1：当n≥2的任意等级素数表的全体素数生成列沿着△和△/2轴等距离对称分布。

性质2：当n≥2时，无论n取值多大的素数表一定存在±1+K△两个孪生素数列和（△/2±2）+K△两个间距为4的素数生成列，等距离对称分布在△轴和△/2轴

两侧。

性质3：若取n≥2的任意自然数，《n级素数周期表》中一定存在着两组间距为（mn+1-1）的素数生成列；一组是1+K△和mn+1+K△，另一组是-1+K△和-mn+1+K△，这两组素数列间距组成等级表中最大连续合数区的宽度（mn+1-2）是随着等级的提升而逐步加宽变化。

性质4：两个紧邻素数列就是一个连续合数区的两个边界，等级素数表中最大连续合数区还增加一个边界是1、2、3…mn…mn+1和-mn+1…-mn…-3、-2、-1即有三条边界。在任意连续合数区边界内，我们看不到一个素数。任意素数生成列中只包含有全大于mn的素因子

合数。

性质5：等级越高，n值越大mn和△值越大，大于mn的n级素数表的素性纯洁度就会越高，而孪生素数列两侧的最大连续合数区就越宽广，全大于mn的素因子合数的分布密度会越来越低，大于mn的素数表的素性纯洁度就会越来越高，各素数生成列中的素数等差数列就会越来越长。这种发展趋势是没有止境的。

等级素数表无论等级多高，也无论等级多低，都是从不同的方位和角度来反映和刻画同一个自然数整体中素数和合数的排列规律和秩序，用不同等级、不同素性纯洁度的素数表探索素数在自然数中遵循的生成模式和产生的不同效果，人们有了这种统一的素数生成模式，人的大脑就成了无以数计的等级素数表的表库，就可以打造不同等级任意大小、任意区间的素数生成列，获取任意大小的素数，其最突出的一个重要特征是：素数表等级越高越容易打造，因为素数表的等级越高，素数与合数分流就会越彻底，原生态素数表的素性纯洁度就会越高，这是自然数表的升级排列法取得的一项重要成果，用筛法是无法企及的。

4 《n级表素数分布大定理》为什么能在整体自然数中全方位的获取无穷无尽的大素数

根据n个顺序素数的公变周期△和周期公变K△的重要性质和定理1、2，人们可在覆盖自然数表的△个等差数列中，通过持续提高n级表的等级，最终在整体自然数中实现全体素数生成列和合数生成列的基本解体和分流，从自然数表（表1）中提炼出《n级素数周期表》的素数生成模式，为大素数生成的原理和方法提供了理论依据，以上推理证明和论述，顺理成章地推出定理3：《等级表素数分布大定理》，在n级素数（表1、表2）中全方位获取无穷无尽的大素数。

定理3（n级表素数分布大定理）：

设Mi表示任意整数，△=[m1 m2…mn]是n个顺序素数的公变周期（最小公倍数），n就是n级表的等级。把1、2、3…△依序排列的△个原生自然数组成级差为△的△个等差数列无限延伸，无论n取值大小（即等级高低），都能一个不漏的覆盖全体自然数，其中，当Mi满足下列情况之一：（1）当Mi=±1时；（2）当Mi是mn

n级表的等级持续提高的终极结果，人们必然会获得一个横平（从mn+1起由小到大）竖直（按若干级差为△的等差数列无限延伸）有规律有秩序齐整排列的，大于mn的，一个不漏的素性纯洁度逼近99.999…%，全大于mn的素因子合成数分布密度趋于零的原生态顺序素数表，在整体自然数中全方位的获取无穷无尽的大素数。

证明：设m1=2、m2=3、m3=5…mn=第n个顺序素数，△=[m1 m2…mn]是n个顺序素数的公变周期（最小公倍数），mn+1=第n+1顺序素数。我们就按顺序排列的1、2、3…△组成级差为△的△个等差数列无限延伸，覆盖全体自然数。

当n=1时，为一级表、△=2，我们把自然数排成级差△=2的两个等差数列：1+K△、2+K△（K=0、1、2…∞）往无穷方向延伸就可一个不漏的获得全体自然数，1+K△这个无限延伸的等差数列就一个不漏的包含了大于2的全体素数，在一级素数表中，我们排除了“2”和“2”的素因子合数群的游离和干扰，把它们都转化到合数区（偶数）中排列。

当n=2时为二级表，△=[2、3]=6，我们把自然数排成级差△=6的6等差数列无限延伸，表示为（K=0、1、2…∞）。

1+6K、2+6K、3+6K、4+6K、5+6K、6+6K就可一个不漏地获得全体自然数，其中1+6K和5+6K这两个数列无限延伸就可一个不漏地包含了大于3的全体顺序素数，在二级素数中，我们排除了素数“2”和“3”及它们的素因子合数群的游离和干扰，把它们转化到连续合数区中排列。

当n=3时，为三级表，△=[2、3、5]=30，我们把自然数排成级差△=30的30个等差数列无限延伸就可一个不漏的获得全体自然数如下：

原生数：1 2 3 …7…11…13…17…19…23…29 30

+ + + + + + + + + +

表达式：K△ K△ K△ K△ K△ K△ K△ K△ K△ K△

其中1+K△、7+K△、11+K△、13+K△、17+K△、19+K△、23+K△、29+K△这八个素数生成列无限延伸，就可一个不漏的包含了大于“5”的全体顺序素数，在三级素数表中，我们排除了“2”、“3”、“5”三个素数及它们的素因子合成数的游离和干扰，把它们转化到合数区中排列。

当n=4时，为四级表，△=[2·3·5·7]=210，我们把自然数排成级差△=210的210个等差数列无限延伸就可一个不漏的获得全体自然数，其中，当Mi=±1时，当mn

依此类推，当n=n时，为n级表△=[m1 m2…mn]，我们把自然数排列成级差为△的△个等差数列无限延伸，就可一个不漏的获得全体自然数：

原生数：1 2 3… mn … mn+1… …（△-1）△

+ + + + + + + +

表达式：K△ K△ K△ K△ K△ K△ K△ K△

其中，当=Mi=±1时，当Mi是mn

（这里n和mn可以任意大，但不可以无穷大，因为当n→∞，mn→∞，原生自然数：1、2、3…mn…∞回归到公差为1的无穷自然数列，会使等级表失去级差排列效应，造成等级表全部工作中断。）

从以上1～n级的素数表的排列模式可以看出，任一级素数表中的素数生成列和大大小小的连续合数区都是相对分流，相对独立排列的，任意连续合数区的边界内，我们看不到一个素数，在任意一个素数生成列中，只存在大于mn的素数和全大于mn的素因子合数，人们感到困惑不解的是，为什么不大于mn以下的素因子不会跑到素数生成列中来呢？这是因为组成一个合成数的全部素因子中，只要有一个不大于mn以下的素因子，这个合数就会与K△有大于1的公因子，就会被排在合数列里，而不会跑到素数生成列中来，因为全大于mn的素因子合数与K△互质，没有大于1的公因子，它就只能依附着大于mn的素数出现在素数生成列中。为什么大于mn的素因子合数又不会跑到合数生成列中去呢？因为这两种数都与周期公变K△互质，若要在合数生成列中出现，至少必须包括有一个不大于mn的素因子，这两种数都不满足这个条件，就不可能跑到合数生成列中去，这就是素数列和合数列在n级表中始终保持相对独立排列的奥秘。

因此，在n级素数表中，全体素数生成列的任一个数列，只存在有两种数：一是大于mn的素数，二是全大于mn的素因子合数。当素数表的等级n持续不断地提高，mn的数值将随着n的提升而变得越来越大，在素数表中就排除（或说转化）了越来越多，越来越大的不大于mn的中小素数及其素因子合数到连续合数区中去排列，素数表各素数生成列中已完全排除了不大于mn的中、小素因子合数的游离和干扰，只保留了越来越大的大于mn的素数和全大于mn的素因子合数，根据《等差数列合数项标律》素数越大，它的素因子合数群在自然数列中或等差数列中的分布越稀疏，且越大越稀疏，因此在原生态的顺序素数表中（或素数列中）大于mn的素数就会越来越密集。这种发展趋势是没有止境的。

下面举一实例，对千万级素数表中的素因子合数分布密度和素数表的素性纯洁度进行具体分析。

当我们把表的等级定为n=1千万时，n个顺序素数的公变周期：△=[2·3·5·7…m千万]（通过计算机计算，△是一个超亿位的大合数），此时在千万级素数表中，已经排除了m千万+1以下的一千万个顺序素数及其素因子合数群的游离和干扰，把它们转化到合数区中排列，素数表中只保留大于m千万的大素数和全大于m千万的素因子合数。因为m千万+1=178424691根据《等差数列合数项标律》，m千万+1要每过179424691个自然坐标才产生一个素因子合数，因此m千万+1的素因子合数分布密度非常稀疏，全大于m千万的素因子合数分布密度在素数表中就表现出更稀疏的状态；（要排列到m2千万+1以后才会产生）。因此，在m千万+1～m2千万+1区间（不含m2千万+1），不会产生全大于m千万+1的素因子合数，任意自然数只要满足（Mi△）=±1，则Mi一定是素数。故该区段素数表的素性纯洁度为100%，素因子合数分布密度为零。

现在我们对m2千万+1～m2千万+100区间等级素数表的素因子合数分布密度和素数表的素性纯洁度进行考查。

在m2千万+1～m2千万+100区段内，由于存在有100个顺序素数的平方数，因此有全大于m千万的素因子合数产生，大于m千万后的素数，第一个平方数内有1个合数，第2个平方数内有2个合数，第3个平方数内有3个合数……依此类推m千万后的第100个素数的平方数内存在100个全大于m千万的素因子合数，因此该区段的全部素因子合数的个数为：

1+2+3+…100=（1+100）·100/2=5050（个）

根据有关资料计算：

（1）m2千万+1内素数个数：

X1=2623557157654233·3.219321974045481=8446075207798129（个）

（2）m2千万+100内素数个数：

X2=2623557157654233·3.21938864864940=8446250132318278（个）

（3）m2千万+1～m2千万+100区段合数分布密度：

5050/（X2-X1）+5050=0.0000000288（即区段素数表1亿个数中有2.88个合数）

（4）m2千万+1～m2千万+100区段素数表的素性纯洁度：

（X2-X1）/1749245199=0.99999997

因△是一个超亿位的大合数，符合素数生成列条件的原生数，越往△靠近的区段，全大于mn的合成数的分布密度，都要比前区段略高，素性纯洁度相应较低。但对于各素数列产生形如Mi+△K的素数，都是超亿位的天文数字，它们的素因子合成数稀疏得要间隔几十公里或上百公里才会出现一个，在素数表的近期项数内（比如1万项）根本看不到它们的身影，因此，△以后素数表的素因子合数分布密度在1万项内，基本唯持△以前的状况。

若Mi满足（1）当Mi=±1时；（2）当Mi是m千万

《n级素数表》从理论和实践上都有力地证明了，只要我们持续不断提升素数表的等级，等级顺序素数表的素性纯洁度就会越来越高，素因子合数的分布密度就会越来越低，±1+△K孪生素数列两侧的连续合数区就会越来越宽广。素数生成列中的素数等差列就会越来越长，这几方面的关系都是顺其自然而生成，互相依赖而存在、相互促进而发展的相辅相成的辩证因果关系。

假如我们再把表的等级提升到亿级、十亿级、百亿级……其终极结果，人们必然会获得一个横平（从mn+1起由小到大）竖直（按级差为△的若干等差数列无限延伸）有规律、有秩序、整齐排列的素性纯洁度逼近100%，素因子合数分布密度趋于零的原生态超级顺序素数表，在整体自然数中，全方位获取无穷无尽的超级大素数。

这样美妙绝伦的素数美景，不就是黎曼猜想最终追求的目标和结果吗？世界上不管用什么高深理论和方法恐怕也找不到比《n级素数表》的排列更有规律更有秩序、更为齐整的原生态顺序素数表了。

5 《n级素数表》与传统筛法比较所占有的应用优势

《n级素数表》使用提升表的等级n来排除不大于mn的中小素数及其素因子合数群在素数表中的游离和干扰的方法，来提高素数表的素性纯洁度，其实人类早就无意识的应用了。比如数学家们把全体自然数划分为全体偶数和全体奇数就是这种方法的一种应用，遗憾的是，人们并未这样持续不断地应用下去。通过增加公变周期参变素数的个数来排除自然数中合数的力度和速度是十分惊人的，是以筛法为代表的各种高深理论方法无法比拟的，下面进行分析其原因：

在一级表中，△=2，在素数表中排除了“2”的全体合成数，一次就排除了自然数的1/2到合数区。

在二级表中，排除了自然数的1/2+1/3×1/2到合

数区。

在三级表中，排除了自然数的1/2+1/3×1/2+1/5×1/2到合数区。

在四级表中，排除了自然数的1/2+1/3×1/2+1/5×1/2+1/7×1/2到合数区……

在n级表中，排除了自然数的1/2+1/3×1/2+1/5×1/2+1/7×1/2+…+1/mn×1/2到合数区（这里n和mn可以任意大，但不可以无穷大，因为当mn→∞时，素数表失去等级效而使工作中断）。

上面的算法是一种近似算法，因为还未减去顺序素数最小公倍数重合次数，但也基本反映了这种自然数升级排列法排除合成数，令人震惊的速度和能力，它和目前数学家们使用的筛法、双筛法、大筛法、加权筛法，圆法、密率法等方法来比较，具有绝对优势和不可替代的功能，主要表现在：（1）用筛法等传统方法筛选素数，只能在完整的、有序排列的整数序列中进行，如果整数的完整性、有序性被破坏，筛法将无法进行下去，而《n级素数表》可以在一两个素数列，部分素数列，一个区间的素数列或整体或局部任意范围内无限延伸的素数生成列中实施；（2）筛法只能在有限的自然数N以内排除2、3、5、7…mn的合成数。但不能在无穷的自然数中排除2、3、5、7…mn的合成数。但《n级素数表》可以毫不留情的在无限延伸的全体素数生成列中，把2、3、5、7…mn的合成数（含自身）一个不留的连根拨掉，就是说，不管这些素数生成列延伸到多么大的区域，人们将永远不再看到mn及其以下素数的全部素因子，这是以筛法为代表的传统方法所望尘莫及的；（3）当mn到达特大数域，筛法将受限制而使素数筛选程序中断，而《n级素数表》无论mn有多大，各素数生成列都能排除不大于mn以下的全部素数及其素因子合数的游离和干扰；（4）可以毫不夸张地说：n级素数表排除素数表中合成数的速度和力度，几乎与人的思维一样快，它可以毫不费力地把等级表提升到千级、万级、亿级……而在n级素数表的各素数生成列中立即永远排除了一千个、一万个、一亿个素数及其素因子合数的游离和干扰，而我们使用以筛法为代表的各种高深理论公式和复杂的运算程序却始终排除不了无穷数列里无穷无尽的合成数，这是以筛法为代表的传统方法无法回避的致命缺陷。

筛法及其派生出来的各种方法由于存在上述四大弊端，决定了它无法获得无穷无尽的大素数，也注定了这些方法生命力的终结（当然，筛法的某些原理我们还可应用），自然数表的升级排列法必将代替筛法开创人类获取无穷超级大素数的历史新记元，这也是历史的

必然。

如果我们从另一个角度来思考，n级素数表获取无穷大素数还有两个成因：一是n级表可以由低级表获得的已知顺序素数，去打造高级表更大更多的未知顺序素数，这种递增打造的程序是无止境的；二是n级表的各素数生成列都是级差为△的等差数列无限延伸，呈现出开放型（无穷型）排列方式，当我们把表提升到一个理想值（比如n=1千万）后，在n级表的全体素数生成列指定公共项标内（比如k=1万项）99.99…%都是素数，我们只要用解一次同余方程的方法，在素数表中全方位地搜索那些万分之一、十万分之一……的合成数素因子，我们就会得到100%的超级大素数。等级越高获得的大素数就越大。

那么，在n级表中，如何检验和扫描那些分布非常稀疏，却又真实存在的全大于mn的素因子合成数呢？我们采取下面程序进行：

设mn+i是mn

为求出（A）的系列解Kn+i，我们先用余数周期表的自变定理求出满足：

K1△≡1 （modmn+i） （B）

（B）的正整数解K1（表示“1”的正整数解）。

则（A）的系列解为：

这里必须指出，无论△值有多大，都可以用modmn+i转化到Co，即△≡Co（modmn+i）0

在《n级素数表》中依序排列的素数生成列可

表为：

1+K△，mn+1+K△，mn+2+K△，…mn+i+K△…-1+K△

我们可以选择（i+2）个素数生成列中的任意区段或整体或局部素数列对全大于mn的素因子合成数中的素因子进行全盘性的搜索（或说是扫描），搜索规模的大小可根据计算机的容量，计算速度或根据人们需要确定，仍以大于mn的顺序素数为模数因子扫描搜索，经过有限次素数模因子检测搜索后，各素数生成列的指定近期项数内都不可能再出现素数模因子，则表明素数表指定近期项数内余下大量坐标都是大于△的大素数。

为了检验《n级素数表》理论的准确性，笔者运用上述原理方法先后打造了2、3、4级素数表，都能获得1～2万内的素数。又打造了百级素数表的部分素数生成列较准确获得2千多个超210位的大素数。继后，又打造了三百万《级素数表》和《千万级素数表》，《三百万级素数表》产生的素数全都是大于21703266位的大素数，《千万级素数表》产生的素数全都是超亿位的超级天文数字。目前世界上发现的第48个梅生大素数才有17425170位，远远突破世界纪录，证实了对梅生素数的搜索并不是发现已知最大素数的唯一有效途经，梅生素数只不过是无穷大素数中的沧海一粟。

在《千万级素数表》中，假设我们对±1和大于m千万+i以后的顺序素数组成形如m千万+i+K△（i=1、2…1万）的一万零二个数列的一万项内的素数表进行素性检测，分别用1千个大于m千万的顺序素数为模在区间范围内进行素因子搜索，发现约有53.7%的模数在一万零二个数列的一万项内不会产生合数因子，约有35%的模数在一万零二个数列的一万项内会产生1个合数因子，约有11.2%的模数在一万零二个数列的一万项内产生2～3个合数因子（若在一万零二个数列1千项内来看基本不会产生合数因子）估计检测模数达到10万个以上后，这些合数因子会逐步自然消失。若按此比例测算，这个区段内的素因子合数分布密度约为0.000576，其素性纯洁度约为0.9994，借以说明此时素数表的素性纯洁度已经到达一个比较理想的境界了。

当然，要完全清除区段内的全部素因子合成数而准确获得约一亿个100%的超亿位的破世界纪录的大素数，这也并不是一件轻松事情，仅靠一台计算机进行搜索，终其一生也未必能够完全清除干净，如能用几百台上千台计算机联合检测，实现这个宏伟目标却不是一件困难的事。

在《千万级素数表》中，如果我们只在一万零二个素数列的一千项内的素数表进行素性检测，有可能产生用几万个模数搜索都几乎不会发现素因子合数的情况，但无论我们把搜索的近期项数缩小到多么小的范围，都难以控制那些分布虽然稀疏，但却在表中无规则游离的素因子合数。虽说如此，我们还是可以断定，在这个区段生成的每一个数几乎99.999…%的都是素数。

因此，只要我们把原生态素数表的等级提升到一个理想的境界后，我们就有99.99…%的把握获得要多大就有多大、要多少就有多少的大素数，获得要多大就有多大，要多少就有多少的孪生、三生、四生…n生素数，获得要多宽就有多宽，要多少就有多少的素数间隙；获得要多长就有多长，要多少就有多少的素数等差数列…，数学家们的许多猜想和几千年来的多数历史遗留问题就会变成客观存在的现实全方位得到破解。当我们完成上述工作后，再回过头来看《n级素数表》，假如人们在素数表的间隙处按顺序填满自然数，便会惊奇地发现整个自然数表的有序性和完整性均未遭受破坏，实际上《n级素数表》的素数生成模式，就是大本大源的自然数升级排列法，素数来源于自然，却又回归自然，素数和合数有着打断骨头连着筋的血肉关系，不脱离原生态的素数美景自然充满了解决实际问题的青春和活力。比较传统素数表来说，具有更强大的生命力和凝聚力，有着更广阔的应用前景。

两千多年来的素数发展史，人类总是在中小素因子合数群非常密集的自然数列或奇数列中探讨和研究素数。用高深复杂的公式计算素数在自然数中的分布密度。搜索素数的规律和结论。其实这并不是科学的研究方法，因为自然数中（或奇数数列中）密布着中小素因子合数群的游离和干扰，人们根本看不到素数客观存在的排列规律和素数无穷无尽的生成原理，尽管数学家们绞尽脑汁，在古老的埃拉托塞尼筛法的基础上发明大筛法、双筛法、加权筛法，圆法、密率法、三角和法……对筛法改进了再改进，创新了再创新，人们始终摆脱和克服不了筛法的应用局限和致命弊端，就是在数学领域享有极高声誉的黎曼猜想的素数公式，其本质也直接来源于埃拉托塞尼筛法的过程，都是在有限数域内来获得素数，筛法的应用极大的限制了人类对于无穷大素数的探索。

《n级素数表》的理论和实践都证实了，自然数无论延伸到多么大的数域，素数和合数总是沿着n个（n≥2）顺序素数的周期公变K△轴（△=[m1 m2…mN]）周期性地反复地无穷地出现，并不象数学家们想象的那样，越到大数区域，素数分布将越来越少，越来越稀，甚至出现几乎全是合数的情况（即素数出现的概率为为零）。人们对素数的认识完全走进了误区，如果我们从《n级素数表》等级的升高是没有止境的角度来研究素数和合数的转化关系，自然数中的确存在任意宽广的连续合数区，也的确存在任意长度的素数等差数列。但是，无论连续合数区有多么的宽广，它总要遭遇mn+1+k△这条素数生成列形成的边界，翻越这个边界后，就会看到素数生成区的一片“蓝天”，人们仍然会看到原生间距为2、4、6、8、10、12…的素数，这些中小间距的素数仍然会反复的、周期性的、无穷的出现。因此人们在任意宽广的合数区中看素数，仿佛觉得素数是“不存在”的，但人们若在任意长的素数等差数列中看合数，也会产生合数“不存在”的感觉，这都是人们在自然数中断章取义、舍本逐末、一叶障目、不见泰山得出的错误结论呵！

素数是无穷的，自然数世界是广阔无限的，然而人类对素数的认识却是狭隘有限的，时至今日，人类也才获得48个梅生大素数，“48”与无穷多来比较是一个少得多么可怜而又多么不协调的数字，人们总是用筛法在有限数域中获得的素数，去解决无穷自然数中的问题，这是一个永远无法解决的矛盾和纠结，不改革和淘汰筛法，人类确实像数学家厄尔多斯和欧拉预测的那样，再过一百万年，人类也永远无法看穿素数的秘密。人类何以解决那些沉淀得越来越多的数论领域中的历史遗留问题。

事实上，人们对熟视无睹的事物或问题，往往缺乏更深层次的探索和反思，为什么“2”的素因子合成数居然占据了整体自然数的一半？依此类推3、5、7、11、13…这些中小素数的素因子合数又占据了整体自然数的多少？为什么那些超几千万位的天文数字的大素数的素因子合成数，人们在几十公里或几百公里内都看不到它们的身影呢？任意一个素数和它的素因子合数群在自然数（或等差数列中）是一个不分离的群体，《n级素数表》正是运用了素数的上述排列规律，把越来越多、越来越大的不大于mn的中小素数连同它的素因子合数群都像偶数那样划分到自然数中的连续合数区中排列，而把越来越大的大于mn的素数和素因子合成数保留在原生态素数表中，在素数表中就完全摆脱了那些越来越密集的中小素因子合数群的游离和干扰。当mn的数值提升到一个理想值之后，人们再也看不到指定近期项数全大于mn的素因子合成数了，《n级素数表》珠联璧合的级差递变，巧夺天工、物竞天择的素数和合数的解体和分流，循环往复、生生不息的素数生成模式，构成了一幅气势磅磗、宏伟壮观的素数生成画面，在不破坏自然数的有序性和完整性的前提下，全方位的、一个不漏的、无限逼近100%的获取大于mn的大素数，开创人类获取无穷超级大素数的历史新纪元！

6 结语

人类对素数的研究，是“摸着石头过河”走过来的。有的问题持续了若干个世纪，甚至几千年没有进展，那是否说明人们研究的思路和方法出现了偏差，脱离了客观实际？并不一定越是艰深的理论就越能解决问题，《n级素数表》素数生成模式的建立能反映出自然数无论到达多么大的数域，素数和合数仍然遵循着周期性地反复无穷地出现的客观规律，这就纠正了人们思维中的偏差，使人类思维的想象世界与客观存的现实世界达到完美的吻合，也就能创造出数论研究中的奇迹，对《n级素数表》的理论和方法是否科学？我们只要把一次同余方程的解法编入大型电子计算机程序，对高等级素数表（比如千万级或亿级…）的素因子合成数的分布密度进行扫描检验，用大于mn的指定足够区间顺序素数为模，对素数表全盘性地素因子整体搜索，即可辨别其真伪。“实践是检验真理的唯一标准”。人类尊重的是科学，而不在于谁是论文的作者。只有这样，社会才会进步，国家才会强盛，科学才能兴国！

参考文献

[1] 华罗庚.数论导引[M].北京：科学出版社，1979.

[2] 盖伊，张明尧.数论中未解决的问题[M].北京：科学出版社，2006.

[3] 孙梁.一次同余方和周期律九解[J].凯里学院学报，2010，（6）.

[4] 王元.谈谈素数[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2011.

[5] 孙梁.打开素数大门的金钥匙[M].北京：中央民族大学出版社，2013.

作者简介：孙梁（1946-），男，供职于凯里市教育局，研究方向：数论。

（责任编辑：周 琼）