李平乐 杨秀芹 李春晖

（1.娄底职业技术学院机电工程系教务处，湖南娄底 417000；2.焦作师范高等专科学校，河南焦作 454000）

李平乐1杨秀芹2李春晖1

（1.娄底职业技术学院机电工程系教务处，湖南娄底 417000；2.焦作师范高等专科学校，河南焦作 454000）

研究了一个新的积分不等式及它的应用，它具有传统积分近似计算不具备的特点，那就是该法精度高。介绍了用新的积分不等式求解定积分dx的近似值，当积分上限X远离下限B时，不等式的不等程度增大，反之，当X趋近于B时，其不等程度趋于0，也就是说积分区间分得愈细，其积分误差愈小。这样，借助于计算机运算，几乎能将积分的近似值很容易地转换成精确值，无论是什么样的工程设计计算，计算机都能把它算得又快又准确，同时近似计算的精度得到了大幅度提高，开创了工程设计计算的新时代。

定理：同类；异类积分不等式的广泛应用；分解积分区间；精度

本文运用文献中同类不等式的不等程度小于异类不等式的不等程度的性质再次验证了提高定积分近似计算精度的普遍性。当工程设计精度要求不高时，利用计算器手工计算即可，当精度要求很高时，可先将积分区间细分并建立计算的数学模型，然后再对数学模型编程，利用计算机进行数值计算，这样就把在理论上称之为求近似值的问题实质上转换为求精确值，同时整理形成了该类函数的近似计算公式，为计算机编程提供了1个重要的数学模型。

1.主要结果

当角X在第一，三象限

可以证明（1），（2）式。略

由文献[1]-[22]的性质以及文献[13]中同类不等式的不等程度小于异类不等式的不等程度的性质得（3）式

为使读者加深对文献[1]-[22]性质的认识，再对（3）式做小范围说明

由文献[1]-[22]性质得

为书写简便，令（4）式第1项分母为【A】，第二项分母为【B】，第3项分母为，第4项分母为，这样（5）式可写成：

证明（6）式大于零，因为（6）式分母大于零，只需证明（6）式分子大于零，将（6）式分子整理成3个不等式

证（10）式大于零，先将（10）式整理成两个不等式。

设：[A]2〉[B]2sinx（11）

将（11）式，（12）式左边，右边分别相加。得：

证（13）式大于零，先将（13）式左边整理成两个不等式。设：

将（14）式，（15）式左边，右边分别相加。得：

证（17）式大于零，再将（17）式左边整理成两个不等式。设：

将（18）式，（19）式左边，右边分别相加。得：

证（21）式大于零，因为（21）式分母大于零，只需证明（21）式分子大于零。

将（21）式分子整理成三个不等式。设：

将（22）式，（23）式，（24）式左边，右边分别相加。得：

证（25）式大于零，再将（25）式整理成两个不等式。设：

所以（28）式成立，因此可见（20）式成立，（4）式也成立。

（3）式小范围补充说明完毕。

2.计算实例

若将（1）式积分区间进一步分细，积分精度更高，略。

若将（2）式积分区间进一步分细，积分精度更高，略。

3.结语

利用文献【1】-【22】中的定理1和定理2（积分不等式，同类不等式的不等程度小于异类不等式的不等程度的性质），可很方便地将积分的近似计算转化为实质上的精确计算。本文所阐述的利用这些定理和性质求定积分 的近似值（实质上的精确值）又是一个典型范例。进一步说明文献【1】-【22】中的定理和性质在积分近似计算领域的普遍性。

（责任编辑 张蓓）

O17

A

1008-7257（2015）03-0061-03

2015-02-22

李平乐（1955-），男，湖南涟源人，娄底职业技术学院机电工程系高级讲师。