杨洪英　宋占帅　尚娜娜　张健斌　卢晓星

摘要：文章综合考虑稳固性好、加工方便、用材最少三方面的因素，运用线性规划建立了使折叠桌加工费用最少的数学模型。该模型可以根据客户任意设定的折叠桌高度和桌面直径，给出所需平板材料的尺寸和最优设计加工参数。

关键词：可折叠桌；线性规划；空槽长度；最优参数；数学模型 文献标识码：A

中图分类号：TH122 文章编号：1009-2374（2015）10-0031-02 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2015.0868

1 研究背景及意义

在“闻房色变”的今天，暴涨的房价、狭隘的空间，使人们在置办家具时不得不考虑家具占用的空间，而折叠桌的出现满足了这部分人的需求。折叠桌以其美观性、艺术性、实用性深深地吸引了人们的眼球，在日常生活中发挥了重要的作用。

折叠桌设计时，不仅要考虑到桌子占用空间少、美观、耐用，还要考虑到桌子的稳固性、加工难易以及材料的利用程度等问题。因此，一种新型折叠桌应运而生。该折叠桌桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。

2 设计方案

2.1 稳固性设计

经查阅资料可知稳固性包括两个方面：稳定性和坚固性。设计桌子时首先考虑的是桌子的坚固性，其次是稳定性，所以对折叠桌的坚固性赋权重0.7，稳定性赋权重0.3。最外边那一条桌腿与地平面的夹角66.77°。

2.2 用材最少设计

折叠桌用材最少，即在加工形状相同、高度相同的情况下，使长方形板块的面积最小。折叠桌的直径即为长方形板块的宽度，所以要使长方形板块的面积最小，应该缩短其长度。长方形板块的长度由三部分组成：两条最外面桌腿的长度加上中间凸出部分的长度，如图1所示。经分析可知，桌腿越宽中间凸出部分的长度越长，长方形板块的长度越长。

图1 折叠桌实物图

中间凸出部分的长度，其中R为桌面圆的半径；b为桌腿宽度。

长方形板块的长度，其中为最外面桌腿的长度；H为折叠桌的高度。

2.3 加工方便设计

加工方便应该是使所有加工的空槽的总长度最短。通过分析可知，空槽的总长度与钢筋的位置和桌腿宽度有关。通过改变钢筋的位置及桌腿的宽度来寻求空槽的最短总长度，可以用线性规划的模型来求解此问题。目标函数是空槽的总长度最短。

第条桌腿中空槽长度：

-

H表示折叠桌的高度；c表示钢筋离地面的高度；R表示圆桌面的半径；i表示桌腿的序号。

则每组桌腿（两组桌腿对称分布，只算其中一组即可）空槽的总长度为：

2.4 总成本费用设计

为综合考虑以上三个方面的因素，用总费用来寻求最优结果，总费用包括原材料费用和开槽费用。对厚度厘米长方形板块每平方厘米的价格和每厘米的开槽价格分别为v1，v2。目标函数为总的费用最小，利用约束条件，用线性规划的模型进行求解。

其中，为圆桌面的直径。

由木材市场及木材加工市场的通用价格可以确定（元/平方厘米），（元/平方

厘米）。

假设有两个客户需要这种折叠桌，其中一个客户需要高度为70厘米，直径为80厘米的餐桌，把以上数据代入所建立的模型，用Matlab R2014a编程，得到此折叠桌的最优设计加工参数为：平板的尺寸为：立方厘米；钢筋位置：离地面的高度30厘米；最少费用：35.69元；桌腿宽度：4厘米；每侧20条桌腿，每条桌腿空槽开槽位置以及开槽长度的具体数值分别见表1和表2：

用Matlab R2014a编程，得到此折叠桌的动态变化过程的部分示意图，如图2所示：

图2 折叠桌的动态变化的部分过程示意图

另一个客户需要一个桌面面积较小的咖啡桌，要求高度75厘米，桌面直径60厘米。把以上数据代入所建立的模型，得到此折叠桌的最优设计加工参数为：平板的尺寸为：60×183.4×3立方厘米；钢筋位置：离地面的高度35厘米；最少费用：27.31元；桌腿宽度：3.53厘米；每侧17条桌腿，每条桌腿中空槽开槽位置以及开槽长度的具体数值分别见表3和表4。

由以上可知，该模型可以根据客户任意设定的折叠桌高度和桌面直径，给出所需平板材料的尺寸和最优设计加工参数，证明了该模型具有很强的通用性。

3 创新点

（1）利用简单结构，完成折叠收缩功能；（2）巧妙利用钢筋与空槽长度的配合，将“固定”与“连接”功能融合在一起。

4 结语

本文运用线性规划模型，结合Matlab软件，综合考虑稳固性好、加工方便、用材最少三方面的因素，建立数学模型，该模型可以根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面直径给出所需平板材料的尺寸和切实可行的最优设计加工参数，并使折叠桌的费用最少。

根据客户的不同需求，利用建立的模型，设计了两张稳固性好、加工方便、用材最少的桌子，因此在折叠桌的生产过程中可以大范围推广该模型。

参考文献

[1] 王焕定，祁皑.结构力学（第2版）[M].北京：清华大学出版社，2012.

[2] 敖立军.木工（初级）[M].北京：机械工业出版社，2006.

[3] 韩中庚.数学建模方法及其应用[M].北京：高等教育出版社，2005.

[4] 中华人民共和国国家统计局.2014年8月份工业生产者价格变动情况.http：//www.stats.gov.cn/tjsj/zxfb/201409/t20140911_608013.html，2014-9-14.

作者简介：杨洪英（1993-），男，山东理工大学交通与车辆工程学院车辆工程1201班本科在读学生。

（责任编辑：周 琼）