贾随军，刘明君，叶蓓蓓，曹春艳

（1.浙江外国语学院 教育科学学院，浙江 杭州 310012；2.西北师范大学 教育学院，甘肃 兰州 730070）

20世纪以来中学数学教材中“负负得正”法则解释方式的研究

贾随军1，刘明君2，叶蓓蓓2，曹春艳2

（1.浙江外国语学院 教育科学学院，浙江 杭州 310012；2.西北师范大学 教育学院，甘肃 兰州 730070）

摘要：选取20世纪以来国内外34个版本的中学数学教材，利用内容分析法探究教材中解释“负负得正”法则的方式、角度及目的.研究发现，各版本教材中的解释可以分为“运用现实模型”、“运用相反数的性质”、“隐性运用分配律”、“显性运用分配律”、“运用减法运算”、“运用变换”等6种方式，6种方式分别从现实生活与数学两个角度展开，6种方式的解释都是基于教学的而不是基于科学的，保持运算律是从数学角度解释法则合理性的主要依据.不同版本教材解释法则的目的各有侧重.最后得到的教材编写及教学建议如下：数学教材及教学要说理，要沟通“负负得正”法则与现实及学生已有认知的联系，要设置“解释方式”应用的习题.

关键词：负负得正；解释方式；中学数学教材

1　引 言

“负负得正”是有理数乘法的一条重要法则，如何解释这条法则的合理性？如何给“负负得正”这条法则赋予意义？这是任何一位初中数学教师在教学中必然面临的一个问题.巩子坤的研究表明，97%的学生会利用“负负得正”进行运算，但仅有不超过12%的学生能够解释它的合理性[1].这充分说明理解这条法则的合理性是学生学习该法则的难点所在.研究者在职前数学教师的培养及职后数学教师的培训中发现，许多职前或职后数学教师对“负负得正”法则的解释也很不理想.

教材是教师最主要的教学资源，教材会对教师教什么，如何教等产生重要影响.同时教材也是学生最主要的学习资源。那么，教材是否解释了“负负得正”法则的合理性？如果解释了，到底是如何解释的？通过对国内外不同时期各版本教材的考察，梳理各版本教材中解释“负负得正”法则合理性的角度与方式，分析各版本教材中解释“负负得正”法则的目的，部分地回答绝大多数学生不能够解释其合理性的原因，为中学数学教师“负负得正”法则的教学提供可参考素材，为“负负得正”法则的教材编写及教学提供参考建议.

2　文献综述

目前，国内外有众多文献研究“负负得正”法则.这些研究主要从以下4个角度展开：其一，数学课堂教学的角度[2]，主要研究教师在教学中使用哪些方式向学生解释“负负得正”，其中哪些方式是学生喜欢的和容易接受的；其二，学生理解的角度[3]，主要研究学生如何解释“负负得正”法则；其三，数学史的角度[4~5]，主要研究历史上数学家如何解释“负负得正”法则，数学史上的解释对教学有什么启发；其四，教材的角度[6]（该文献主要以“负负得正”、“三角形的内角和”、“分数的除法”、“圆的面积”、“分配律”、“幂的乘法”、“不规则图形的面积”等为载体，研究澳大利亚9个版本教材中的推理模式，“负负得正”仅仅是透视推理模式的其中一个素材），主要研究澳大利亚2000年左右9个版本的教材如何引入“负负得正”法则.目前，中国从教材的角度系统梳理“负负得正”法则解释方式的文献并不多见，鉴于此，研究者对20世纪以来各版本教材中“负负得正”法则的解释方式进行了详细考察.

3　研究方法

运用内容分析法研究各版本教材中对于“负负得正”法则的解释.内容分析法是一种主要以各种文献为研究对象的研究方法，该方法一般包括选取研究样本，提炼分析单位或统计单位，依据分析单位对样本进行分类，通过分类统计分析单位对样本进行定量与定性描述.

选取的研究样本为20世纪以来国内外各个时期的34个版本的中学数学教材.从1900年起，每10年随机选取两个版本的国内教材，共选取了24个版本的国内教材.在20世纪初，中国使用的部分中学数学教材是对国外教材的翻译或编译[7]，但考虑到这些教材确实应用于中国的中学教育实践，因此把布利氏新式算数[8]（1933）、查理斯密初等代数学[9]（1919）、初等代数学[10]（1908）、初等代数[11]（1906）等20世纪初翻译或编译的教材也纳入国内教材的范畴.由于获取国外教材的途径有限，所以选取的样本相对较小，样本主要由两部分构成，其一，国外原版教材，如，California Mathematics[12]（2008），Algebra Readiness[13]（2008），Pre-Algebra[14]（2008），新加坡[15]（2007），新加坡[16]（2001）等；其二，在20世纪60年代至80年代，中国翻译了一些国外教材，如西德（1980）[17]，SMP英国（1975）[18]，法国（1964）[19]，日本（1963）[20]，德意志民主共和国[21]（1963）等，但翻译这些教材的目的仅仅是为中国中学数学教材的编写提供借鉴，这些教材没有直接应用于中国的中学教学实践，因此把这些教材纳入国外教材的范畴.具体选取的作为样本的中学数学教材版本见表1.

表1　考察“负负得正”解释方式的教材版本

在运用内容分析法时，常常需要把文本分解成小的统计单位进行编码与统计.统计单位为各版本教材中对“负负得正”的解释.其中，浙江（1996）、江苏（1971）、新中华教本（1929）3个版本的教材没有对“负负得正”法则的合理性进行解释，直接给出了法则，然后安排一些练习让学生熟悉法则.但有个别教材给出了两个或两个以上的解释，因此剩下31个版本的教材中总共有37个解释.有许多解释从表面看似乎不同，如，借助“蜗牛的爬行”、“水库水位的上升与下降”[21]、“仓库进货与出货”[33]等现实情境进行的解释，但仔细分析发现，这些方法都是运用现实模型解释“负负得正”的合理性，实质上都属于同一种解释方式.鉴于此，研究者在与一些数学教育专家反复研讨的基础上对37个解释进行了分类，总共分为“运用现实模型”、“运用相反数的性质”、“隐性运用分配律”、“显性运用分配律”、“运用减法运算”、“运用变换”6种方式.当然在下文会给出每一种解释方式的界定及具体例子.在统计分析阶段，主要统计37个解释分别属于哪一类解释方式，每一方式所对应的解释数量及所占的百分比.同时，研究者还统计了各版本教材中有无“解释方式”应用的习题，以便分析各版本教材解释“负负得正”法则的目的.

4　研究结果

4.1教材中解释“负负得正”法则方式的界定及例子

“运用现实模型”就是通过生活中的实例或模型，凭借学生的生活经验直观地找到“负负相乘”的结果，从而解释“负负得正”法则的合理性.如，人教（2007）中以“蜗牛爬行”为模型引入“负负得正”，规定“向左为负，向右为正，现在前为负，现在后为正，蜗牛现在恰好在原点O处.”如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向左爬行，那么3分钟前它所在的位置就是(-2)´(-3)=+6cm.

总共有14个解释是属于“运用现实模型”类型的.具体涉及到的模型有“蜗牛爬行”、“仓库进货出货”、“温度上升下降”[20]、“存款与亏空”[34]、“逆水行舟”[37]、“水库水位上升与下降”、“火车的运行”[35]、“物体的放置与拿走”[13]等.

“运用相反数的性质”就是通过观察(+a)(+b)=+(ab) （1）及(+a)(-b)=-(ab)（2）发现，当一个因子不变，另一个因子换为原来因子的相反数时，积也变为原来积的相反数.利用发现的结论结合（2）式可知(-a )(-b)=-(-ab)=ab .在各版本教材中，a、b均为具体数字.如，Algebra Readiness （2008）中引入“负负得正”法则的方式就使用了相反数的性质，见图1.

图1　Algebra Readiness（2008）引入“负负得正”法则的方式

“隐性运用分配律”就是研究者通过对一个负因子乘以一组正等差数列的结果的考察发现，它们的乘积也为等差数列，把发现的这一结果应用到一个负因子乘以一组含有负数的等差数列的情形，就可得到“负负得正”法则.如，Pre-Algebra(2008)就采用了这种方式，如图2所示.

图2　Pre-Algebra（2008）引入“负负得正”法则的方式

通过图2可以发现，一个因子不变，当另一个因子减少1时，乘积增加4.为什么有这样的规律呢？事实上，这一规律可表述为(-4)(n-1)=-4n+4，即这一规律的实质为乘法分配律.因此，这种引入方式从表面上看是找规律，而其本质是利用乘法分配律.

“显性使用分配律”就是在承认或验证了乘法分配律的前提下，利用乘法分配律引入“负负得正”法则的方式.如，北京（1969）就采用了这种方式，如图3所示.

图3　北京（1969）引入“负负得正”法则的方式

“运用减法运算”就是把负负相乘转化为减法，利用减法运算赋予“负负相乘”意义，从而引入“负负得正”的运算法则.如，小代数学（1913）就采用了这种方式，如图4所示.

图4　小代数学（1913）引入“负负得正”法则的方式

“运用变换”就是指借助数轴利用图示的方法来解释“负负得正”法则的合理性，(-2)´(-3)相当于先把有向线段(-2)以原点为中心作反射变换得到(+2)的有向线段，然后把有向线段(+2)再伸长3倍得到(+6)的有向线段，这种方法的本质为反射变换与伸缩变换的复合.如，西德（1980）就采用了这种方式，如图5所示.

图5　西德（1980）引入“负负得正”法则的方式

4.2各版本教材解释“负负得正”的方式与角度

各版本教材解释“负负得正”的方式见表2.

表2　各版本教材解释“负负得正”的方式

注：人教（1951）教材通过“温度的升高下降”及“存钱与亏空”两种模型解释“负负得正”法则.

布利氏新式算数（1933）教材通过“杠杆的旋转势”模型及“运用变换”两种方式解释“负负得正”法则.

初中代数（1942）教材中关于“负负得正”有3种解释方式，其中有两种分别通过“经商获利”、“逆水行舟”的模型进行解释，第三种是通过相反数的性质来解释的.

Pre-Algebra（2008）教材通过“拿走与放回”模型及“隐性运用分配律”两种方式解释“负负得正”法则.

从表2发现，31个版本的教材都试图利用各种方式解释“负负得正”法则，为了更好地把握各版本教材对法则的解释状况，就有必要统计每一解释方式所对应的解释数量并计算百分比.结合表2，具体统计结果见表3.

表3　每一解释方式所对应的解释数量及百分比

从表3可以看出，“运用现实模型”、“运用相反数的性质”、“隐性运用分配律”、“运用减法运算”、“运用变换”是各版本教材中解释“负负得正”法则的主要方式.而以“显性运用分配律”方式进行解释的比例比较低.同时结合表2可以发现，“运用减法运算”的方式主要出现在中国20世纪初的教材中.

仔细研究发现，6种解释方式分别从两个角度展开，“运用现实模型”就是从现实角度进行的解释，而“运用相反数的性质”、“隐性运用分配律”、“显性运用分配律”、“运用减法运算”及“运用变换”都是借助数学本身的相关理论解释法则的合理性，因此，后5种方式都是从数学角度进行的解释.解释的角度具体见表4.

表4　解释角度及属于每一角度的解释所占的百分比

从表4可以看出，从现实角度解释“负负得正”法则的解释个数大约占4成，而从数学角度解释的个数大约占6成.

4.3各版本教材解释“负负得正”法则的目的

绝大多数的教材都在解释法则而不仅仅是呈现法则本身.而解释法则的目的无非就是两个方面，第一，使学生理解法则并能熟练运用法则；第二，使学生能够以法则的解释方式为工具解决问题.那么各版本教材解释法则的目的更偏重于哪一方面呢？考察学生学习有理数乘法的“学习目标”是解决这一问题的理想途径.但仅有个别教材呈现了“学习目标”，如，“我将理解与运用有理数乘法法则”[23]，大多数教材均没有陈述有理数乘法的“学习目标”.教材中的习题是渗透“学习目标”的最重要载体，因此，对习题的考察是探寻各版本教材解释“负负得正”法则目的的重要方面.这里将主要考察各版本教材中有无“解释方式”应用的习题，如，“利用代数块（algebra title）模型发现(-2)´(-2)的结果”[13]，“利用杠杆旋转势求(-3)´(-4)的结果”[8]，“数学写作：确定-2，-3与-4的乘积的符号，解释你的推理”[12]等就属于“解释方式”应用的习题.具体考察的结果见表5.

表5　编排有“解释方式”应用习题的教材版本数量及百分比

从表5可以看出，仅有9个（占所研究教材的3成）版本的教材编排有“解释方式”应用的习题，从习题的角度来说，这9个版本的教材注重以法则的解释方式为工具解决问题.而其它版本的教材解释法则主要是让学生理解法则并能熟练运用法则.

5　结 论

5.1注重对“负负得正”法则的解释是绝大多数教材所秉持的基本理念

在前面研究过的34个版本的教材中，仅有3个版本的教材直接给出了法则而没有解释法则的合理性.其它31个版本的教材通过各种方式与角度阐述了“负负得正”法则的合理性，甚至个别教材提供了两个或3个对法则的解释，如，人教（1951）、布利氏新式算数（1933）、西德（1980）、Pre-Algebra（2008）等教材都呈现了两个解释，初中代数（1942）呈现了3个解释.呈现多个解释的目的是为了让具有不同认知特点的学生更好地理解法则的合理性.这31个版本的教材企图向学习者表明，数学是建立在推理基础之上的，它绝不仅仅是一些法则的集合.

5.2从数学本身入手是解释法则合理性的重要角度

体会数学与生活的联系是义务教育数学课程的目标之一[42].但在教学实践中有部分教师对这个目标有误解，他们认为小学或初中阶段的几乎所有数学概念、法则等的引入都必须从生活情境入手.通过对中学数学各版本教材的考察发现，从数学本身解释“负负得正”法则的比例大约占了6成.事实上，数学本身是情境问题的重要来源，随着年级的升高，情境将更多的来源于数学本身[43~46].同时，对于概念或法则的现实解释并不一定比来源于数学内部的解释更加容易理解.从数学本身入手是解释法则合理性的重要角度，这个角度决不能忽视.

5.3对于法则的解释都是基于教学的而不是基于科学的

Siepinska把数学中的解释分为基于科学的解释与基于教学的解释两种类型.所谓基于科学的解释就是指能够被数学共同体所能接受的解释；基于教学的解释就是指借助模型、实例或形象化的比喻等手段，以促进学生理解数学事实为目的的解释[47].

数学家是不能够接受凭借数学以外的手段来解释数学命题的正确性的，因此，“运用现实模型”仅仅是教师或学生在数学课堂中常常使用的解释方式之一.“隐性运用分配律”、“显性运用分配律”的方式都是以承认分配律为前提的，而实际上，引入负数后，乘法对加法的分配律是否成立是需要重新审视的[48]，这两种方式只能是基于教学的解释.“运用相反数的性质”、“运用减法运算”的方式都是把“正正相乘”、“正负相乘”两种情形中发现的规律应用到“负负相乘”的情形，这两种解释方式是合情推理，它们没有经过演绎推理的检验，也只能算是基于教学的解释而已.

由于受到学生知识范围及认知水平的制约，中学数学课程与数学科学有很大的不同，基于教学的解释确保了中学数学课程对数学严密性及推理的强调没有超出其应有的边界.

5.4各版本教材解释法则的目的各有侧重

从对习题的研究发现，大约七成的教材中没有编排“解释方式”应用的习题，这些教材解释法则的主要目的在于让学生理解法则并熟练应用法则；而只有三成的教材编排了“解释方式”应用的习题，它们对于法则的解释除了上述目标外，还注重以法则的解释方式为工具解决问题.

如果教材中没有编排“解释方式”应用的习题，学生只要熟练记忆法则本身，就可以顺利完成教材中的习题，教学中不涉及法则合理性的解释，似乎对学生的学习不会产生什么影响.这也能够部分地解释为什么97%的学生会利用“负负得正”进行运算，但仅有不超过12%的学生能够解释它的合理性这一现象.

5.5保持运算律是从数学角度解释法则合理性的主要依据

小学阶段学习的乘法分配律仅限于非负数范围内，引入负数后，乘法分配律是否成立需要重新检验.对于负数乘法法则的规定，最理想的情况就是要保证在原来范围内成立的分配律在更大的范围内仍然成立；同样，“相反数的性质”、“乘法与减法的转化”（“运用减法运算”的方式涉及到了“乘法与减法的转化”）是在负数乘以正数的情形下获得的，教师也希望这样的运算律在负数与负数相乘时仍得以保持.这样，负数乘以负数的运算尽可能地与已有运算律相容，负负得正的结果才显得更为合理.保持运算律是数学中引入法则、定义等的主要依据之一，例如，零指数幂、有理指数幂的定义就是以尽量保持原有正整数指数幂的运算律为基础的.

6　建 议

6.1数学教材及教学一定要说理

数学是培养学生理性精神的学科，理性精神要求所陈述的“每个观点都必须有根据，除了逻辑的要求与实践的检验之外，无论是几千年的习俗、宗教的权威、皇帝的赦令，流行的风尚传统都是没有用的”[49].理性精神说的朴素一点就是要说理，说理应当成为数学教材及数学教学的最基本要求，具体到“负负得正”法则，教材和教学不仅要陈述法则，而且要像一位睿智的长者，把这一法则的合理性或依据娓娓道来，绝不能以权威自居，摆出一幅信不信由你的架势来.学生理性精神的培养是一点一滴的，需要一个漫长的过程，对“负负得正”法则合理性的解释是培养学生理性精神的良好载体，教师在教材编写及教学中应充分利用这一载体.

6.2数学教材及教学要沟通“负负得正”法则与现实及学生已有认知的联系

数学教材及数学教学都要呈现知识的来龙去脉，就拿“负负得正”法则来说，“来龙”体现在两个方面：其一，描述或解释现实的需要，对“仓库进货出货”、“温度上升下降”、“存款与亏空”、“杠杆的旋转势”、“水库水位的变化”等现象的解释或描述需要“负负得正”法则；其二，已有数学知识发展的需要或自然推广，如，“负负得正”法则是自然数范围内成立的乘法分配律在有理数范围内仍然成立的必然要求；“负负得正”法则也是正负相乘情况下获得的一些结论在“负负相乘”情况下的类比或推广.

教材及教学只有把“负负得正”法则与现实及学生已有认知相联系，学生才能把“负负得正”法则稳定地镶嵌在自己的认知结构中，为以后灵活应用该法则奠定基础，同时呈现“负负得正”法则与现实及学生已有认知的联系是数学教材与教学显得自然、亲切的有效途径.

6.3数学教材及教学要设置“解释方式”应用的习题

设置关于“负负得正”法则“解释方式”应用的习题是非常重要的.因为数学教学的主要任务在于发展学生的数学思维，数学教学就其本质来讲是数学思维活动的教学[50~51].“负负得正”法则是代数内容中培养学生类比、归纳等合情推理能力的“关键点”，建议设置一些开放性的题目，如，“请你通过实例解释为什么负负得正”，“利用现实模型解释(-2)´(-2)的结果”，“确定-2，-3与-4的乘积的符号，解释你的推理”，学生可以利用教材或课堂中使用过的“解释方式”来解决，也可以尝试用更加新颖的“解释方式”来解决，学生通过观察、猜测、推理等活动可以不断地感悟数学的思维方式.

［参 考 文 献］

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[责任编校：周学智]

Research about Modes of Explanation of the Rule of Multiplication of Negative Integers in Mathematical Textbooks in Middle School Since 20thCentury

JIA Sui-jun1, LIU Ming-jun2, YE Bei-bei2, CAO Chun-yan2
(1. Educational Institute, Zhejiang International Studies University, Zhejiang Hangzhou 310012, China; 2. Educational Institute of Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070, China)

Abstract:In order to explore the modes, angles and purpose of explanation of multiplication of negative integers in different textbooks by method of content analysis, 34 mathematical textbooks in middle school at home and abroad since 20th century were selected. The conclusion as follows: the different explanations in textbooks were grouped “deduction using a real-life model”“deduction using property of opposite number” “deduction using law of distribution implicitly” “deduction using law of distribution explicitly” “deduction using subtraction” “deduction using transform” and so on. We regard all kinds of modes of explanation as didactic in nature rather than scientific, the purpose of explanation of multiplication of negative integers in different textbooks were different, the most important basis of explanation of rules from mathematical angle was the laws of arithmetic. The Suggestions are as follows: deduction should be permeated in textbooks and teaching of mathematics, the relationship between the law of multiplication of negative integers and what students used to know should be emphasized, the exercises of application of modes of deduction should be arranged.

Key words:multiplication of negative integers; modes of explanation; mathematical textbooks in middle school

作者简介：贾随军（1974—），男，甘肃通渭人，副教授，理学博士，硕士生导师，主要从事数学史和数学教育研究.

基金项目：全国教育科学“十二五”规划2011年度教育部重点课题——高中数学有效教学课例研究（D H A 110240）；西北师范大学青年教师科研提升项目（NWNU-LKQN-12-26）；教师教育国家级精品资源共享课“中学数学课程标准与教材研究”建设阶段性成果

收稿日期：2015-03-10

中图分类号：G423.3

文献标识码：A

文章编号：1004-9894（2015）04-0076-06