项晶菁

（西安建筑科技大学 理学院，陕西 西安 710055）

HPM视角下向量组线性相关性概念的教学设计

项晶菁

（西安建筑科技大学 理学院，陕西 西安 710055）

摘要：将线性代数的知识与体系置于HPM的视域之下，可以揭示其知识生成的历史情境与认识论的难点.这对于向量组的线性相关性的教学设计是大有裨益的.只有充分利用相关数学史和认识论的分析，才能突破学生的认知和文化心理的阻碍，使线性代数教学获得逻辑性与历史性的有机融合.

关键词：HPM；线性代数；线性相关；包含相关；教学设计

线性代数在全世界范围内不但被认为是高等数学中一门重要的基础课，而且在物理、化学和通信等其他学科中应用性极为广泛.它的历史文化内涵是极其丰富的，而通常的教材都只是注重知识的逻辑结构，并不去理会知识的形成过程和文化背景，荷兰大数学教育家弗赖登塔尔（H. Freudenthal）称之为“把火热的发明变成了冷冰冰的美丽”[1]，英国著名心理学家科斯特（A. Koestler）将之抨击为“将人类的探索过程归结到一堆干巴巴的定理”[2].线性代数高度的抽象性和严密的符号体系都远远超出了学生已有的经验，所以即使它的内容比起另一门重要的基础课——高等数学要少得多，但还是有很多本科生觉得：这门课难于理解.尤其学生接触到线性代数的难点，如矩阵的秩和向量组的线性相关性这一部分时，感觉概念、定理太多，理论性太强，理解起来有些吃力.如何通过给出符合学生认知发展规律的教学设计，从而达到帮助学生抓住重点、突破难点、激发学生学习线性代数的兴趣、提高教学质量呢？HPM为这一问题提供了新的视角.

20世纪70年代，HPM成为一个独立的学术研究领域，当今已成为国际数学教育的新思潮之一[3].国内学术界直到本世纪初才开始普遍关注HPM领域.随着HPM研究的深入开展，学术界日益注重数学史融入数学教学的可操作性、具体方法的探讨.但基于HPM的教学设计与实践探索还很少，即便对于了解HPM思想的大学数学教师来说，数学史融入数学教学仍然不是一件容易的事.有启发的思想并不能帮助教师解决如何构造教学环节的实践问题[4~7].数学史知识与数学教学的具体结合，一直是HPM学者们的研究目标.1995年在美国国家科学基金资助下成立的、由美国数学协会主管的数学史及其在教学中的运用研究所（IHMT）的重要工作之一是“历史模块项目”（Historical Module Project），由HPM学者V. Katz和K. D. Michalowicz领导，来自大学、中学的约三十名数学教师参加，分下列模块进行融入数学史的教学设计：阿基米德、组合数学、指数与对数、函数、几何证明、长度、面积和体积、线性方程、负数、多项式、统计、三角等[8].在我国，HPM视角下的大学数学教学设计尚不多见.实际上，教学是一个系统工程，要想实现数学史助益数学教学的目的，在教学设计时，需要从HPM的角度综合数学史、逻辑及认识论等诸多教学要素的关系，恰当地融入而不是简单地加入.

1　HPM视角的理论分析

则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关[9].

运用集合论的语言，可将线性相关与无关定义为两个逻辑上相对立的概念.在大多数工科院校使用的同济版教材中，都将这部分内容放在“向量组的线性相关性”这一章的第二节.也就是，在第一节介绍“向量组及其线性组合”概念后，第二讲开篇就给出了“线性相关与线性无关”的正式定义.虽然学生通过教师的讲解、大量的练习可以解决诸如“这个向量组是否线性相关或无关？”等问题，但是学生普遍觉得这组概念抽象并难以理解.从很多相关的研究工作中可以发现：世界上很多国家的学生都存在类似的困难[10].可以从HPM的视角来分析其原因.

1.1数学史的分析

著名的数学家、数学史家M·克莱因（M. Kline），十分强调数学史对数学教育的价值.他认为：每一位中学和大学数学教师都应该知道数学史有许多理由，但最重要的一条理由或许是数学史是教学的指南[11].在M·克莱因眼里数学史的重要程度可谓无以复加.他坚信历史上数学家曾经遇到过的困难，在课堂上学生同样会遇到，因而历史对于课堂教学具有重要的借鉴作用.M·克莱因指出：数学绝对不是课程中或教科书里所指的那种肤浅观察和寻常诠释，换句话说，它并不仅仅是从明显叙述的公理推演出无庸置疑的结论[12].

历史上“线性相关与线性独立”的概念最早出现在研究求解线性方程组的内容之中.1750年，在欧拉的名为Surune contradiction apparentedans la doctrine des lignescourbes的文章中，为了解决克莱姆悖论，第一次讨论了方程组中方程间的相关性.但当时欧拉（L. Euler）提出的实际上是“包含相关（inclusive dependence）”而非现代的“线性相关”[13].在18世纪初，大家普遍认为“一个方程可以解出一个未知数”是一个正确的命题.然而欧拉在讨论克莱姆悖论时指出，这一命题应该有严格的限制条件.为了说明这一点欧拉分别针对两个、3个、4个方程构成的方程组举出了反例，通过求解过程向人们展示了方程组中的自由未知数及方程组没有唯一解的情形.多里耶（J. L. Dorier）在他的文章中将欧拉的定义称作“包含相关”[13]（inclusive dependence），也就是方程组中是否有多余的方程，如果有多余方程，这时称方程组是线性相关的；否则，就称该方程组线性无关.欧拉和其他数学家主要考虑的是关于“如何求解方程组”的问题，而不是将那些方程或向量组本身作为研究对象.欧拉用诸如comprised或contained等词解释“包含相关”的概念.这并不意味着欧拉没有意识到从逻辑上看，“包含相关”与方程组中的方程之间存在着线性相关性是等价的.但是，在解线性方程组过程中，“包含相关”的概念更加一致和有效.然而，进一步发展是很困难的.事实上，“包含相关”的概念仅仅局限于求解方程组的内容中而不能应用于其他学科，例如n元组中.在这篇文章中，他还第一次提出了关于“秩”的概念的论点.但是，大约又经历了一个多世纪才使得“秩”的概念逐渐成熟起来.

直到1875年，德国数学家弗罗贝尼乌斯（Frobenius）在其关于普法夫问题的研究中才跨出决定性的一步.在关于线性系统的一节中，他给出了齐次线性方程组个解线性相关的定义.然而，现代教科书中的公理化定义方法大约到1930年才盛行，并且花了很长时间才被数学家们所接受.可以想象这样的概念直接作为“向量组线性相关性”这一讲的开头，让学生理解也是很困难的.知名学者吴大任的《博洽内容独特风格——<高观点下的初等数学>导读》中指出：“克莱因反复强调的一个教育原则是按照学生的认知规律（包括年龄及成熟程度）进行教学……他讲数学历史，是因为他认为学生对数学的认识，在某个意义上是与人类对数学认知的历史过程相对应的.”[14]

综上，在教学中，高度形式化或公理化的概念不该被过早的介绍和利用.一个概念的引入必须以了解历史和参考学生已有知识为基础.在HPM视角下做教学设计时，虽然我们教学内容有时会涉及一些历史事实，但并不需要直接给学生应用历史的教科书.历史的分析不但可以为教师设计如何引入概念提供一些灵感，而且还可以帮助教师理解和分析学生的错误.

1.2认识论的分析

R. Ousman曾对即将进入大学学习的学生们进行过一次测试.他想在讲授向量空间理论之前，通过这次测试了解学生在线性方程组环境中，对线性相关概念的认识.他给出了一些线性方程组的例子并且问学生这些线性方程组是否独立.结果表明，学生通过解方程组的方法来判别而很少提及方程之间的线性关系.换句话说，他们很少用研究向量组中向量之间关系的方法来判定，而大多数时间是用解方程组时方程消失或方程组中剩余未知数的个数来判断.他们的“线性相关或独立”的概念是与欧拉的“包含相关”相类似的概念[13].这并不奇怪，这些学生像欧拉和他的那个时代的数学家一样，只是关心解方程组.因此，“包含相关”对于他们是更加熟悉的.同样，在学生学习线性代数前，通过访谈了解到：中国学生在进入大学时通常已经会非常熟练地用高斯消元法解线性方程组.他们也只有多余方程的概念；当他们学习正式的“向量组线性相关”概念时，应该了解这一概念与自己先前概念之间的关系.否则，他们可能并不清楚这实质上是同一个概念.进一步，为了帮助学生更好的理解正式的概念，建立与先前知识一种良好的直觉基础是非常重要的.然而，学生还必须理解新概念的作用，并产生改进该概念的想法.M·克莱因从数学历史中获得了诸多启示，如：任何一门学科最初都是通过直观的方法建立起来的，每一位数学家都是直观地思考问题，然后才用演绎的形式，用文字、数学符号和普通的逻辑来表述他的论点.因此，数学理解乃是通过直观的方法来获得的，而逻辑的陈述充其量不过是学习的辅助工具.M·克莱因因而提出如下课程原理：必须将每一种数学思想或方法的直观意义从直观上清楚地讲给学生[15].著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔也曾倡导：“我们不应该完全遵循发明者的历史足迹，而应是经过改良、同时有更好引导的历史过程.”也就是他所倡导的“再创造”（reinvention）.应该强调这一点：“再创造”的核心在于“再”；这也就是指，教师在教学中不应该简单地去重复当年的真实历史，而应致力于历史的重建或重构（reconstruction）[16].

在“线性相关（独立）”的概念教学中，学生必须意识到正式概念的统一和形成的自然性.因此教师必须创设教学情境去引导学生借鉴他们先前的知识去反思、认识概念的本质.教师必须在考虑到特殊教学环境的约束下，重新建立一个在认识论指导下的引入概念的方法.

例如，在“线性相关（独立）”概念教学设计中，可以通过创设教学情境：让学生回忆在三维向量空间中两个向量共线和三个向量共面，由他们得出向量间的解析式，再推广到n维向量空间中，就可以得到“向量组线性相关性”的定义.中国学生在进入大学时通常已经会用高斯消元法解线性方程组.因此可以在教线性代数初期，让他们回忆这种方法，并将之作为一种工具及研究线性方程组性质的一种手段.事实上，高斯消去法是一个更加技术性的工具而且是一个显示“包含相关”与“线性相关”之间联系的更好的方法，因为等价方程（在方程组线性相关的情况下）是通过对原方程组的一系列连续的线性变换而获得.进一步，可以由问题“齐次线性方程组解集的大小和方程组中相关方程的数字之间有什么关系？”作为第一次从直觉上接近“秩”概念的引入方法.

总之，在线性相关（独立）这一概念上，人们不可避免会遇到认识论上的障碍.在做教学设计时应引起特别关注.

“向量组的线性相关性”概念的教学设计，要本着统一学生已有直觉概念和正式概念为目的.在线性代数发展史中理解这一事实，对于建立“秩”和“二元性”概念是非常重要的.因此，即便是在低层次的理论中，形式概念的提出应该基于学生已有的直觉.教学设计的方法是尽量避免其直接出现，或至少使其在最后一个阶段逐渐出现.正式概念应该能够被学生划归到他们已有的知识体系中再提出，从而有利于学生理解和掌握.

2　教学设计

汪晓勤教授曾经将数学教学中运用数学史的方式归结为以下4种：附加式；复制式；顺应式及重构式[17].研究者在教学设计中，应用重构式（借鉴或重构知识的发生、发展历史）来创设情境引出“向量组的线性相关性”概念，并在概念的深入反思阶段运用复制式（直接采用历史上的数学问题）为概念在线性方程组内容中找到实际背景.

以下是具体的教学设计：

2.1复习引入

在教学的初始环节中，让学生先回忆上一节课学习的“向量组及其线性组合”的概念，以及一个向量能由一组向量线性表示及两组向量可以相互线性表示的概念，即让学生明确上一讲实际上研究了一个向量与一组向量、两个向量组之间的关系.并指出接下来将进一步研究一个向量组内在的关系.

2.2创设情境

在介绍向量组线性相关性概念之前，引导学生回忆在三维向量空间中关于两个向量共线和3个向量共面的问题：

图1　两个向量共线

如图2：若3个向量a1,a2,a3共面，必有一个向量可用其他向量来表示，不妨设a3=l1a1+l2a2，移项得l1a1+l2a2+(-1)a3=0，就是找到一组不全为零的数k1,k2,k3∈R ，使得k1a1+k2a2+k3a3=0.

图2　3个向量共面

然后引导学生将上述推广到n维向量空间，就引出了向量组线性相关的一个更为正式的定义：

给定向量组A：a1,a2,L,am，如果存在不全为零的数k1,k2,L,km∈R ，使得k1a1+k2a2+L+kmam=0，则称向量组A是线性相关的.

由于从逻辑上看，线性相关与无关是相对立的两个概念，因此正式的得到线性无关的定义仅仅是一个纯粹的逻辑问题.即加上“否则称它线性无关”就可以了.

这里研究者通过学生已有的关于三维空间中两个向量共线及3个向量共面的几何直观结论，得到了一个非常直观的定义：“一个向量关于其他向量是线性相关的当且仅当它是其他向量的线性组合.”（称之为直觉定义）在没有任何困难的情况下，提供了独立向量组的定义为：一个向量组其中没有任何一个向量是其他向量的一个线性组合.并且，通过移项，就可以得到正式定义的解析式.

2.3深入反思

从认识论的观点来看，数学与其他科学认识过程一样，遵循着“实践—认识—再实践”这个辩证唯物论的认识路线.因此在讲解正式的定义后，可以回到引例，从三维向量空间中两个向量线性相关就可以得到这两个向量共线，3个向量线性相关就可以推出这3个向量共面.将之作为线性相关的几何意义.最后应用类比的方法得到：在n维向量空间中，虽然已没有相应的几何直观形象，仍然可以推出：向量组A：a1,a2,…,am是线性相关的当且仅当A中至少有一个向量是其他向量的线性组合.也就是将直觉定义作为正式定义的推论.

最后，讲解文[10]中数学史的内容，即讲述欧拉在求解以下两个方程组时提出的方程组有多余方程、有自由未知数从而没有唯一解.

两个方程时欧拉所举出的例子：

4个方程时欧拉所举出的例子：

这个概念对于学生在他们直观的背景下是非常好理解的.即：n个未知数的齐次线性方程组是否有多余方程的问题（回到了欧拉包含相关的定义）.将向量组的线性相关性在线性方程组的内容中找到了实际背景.

3　教学反馈与结论

数学史融入数学教学的有效性归根结底要经过课堂实践的检验.教学实践后，研究者进行了相关的问卷调查，结果表明：87.4%的学生对数学史知识感兴趣；95%的学生愿意了解数学史知识；89%的学生认同数学史融入数学教学.93%的学生觉得这节课的内容易于理解、掌握.课后，研究者对提前预习的学生进行了访谈：学生觉得经过这样处理后这一节比较好理解.实践证明，这个方法对于学生掌握线性相关与独立的概念是有效的，进一步，学生甚至发现正式定义比直觉定义更加实用.因此正式定义是用于证明向量组线性相关性的实用方法.设想当需要检验3个向量u,v ,w独立时.如果证明了u不是v和w的线性组合，仍然有可能u,v ,w向量线性相关.事实上，如果从证明一个向量不是其他向量的线性组合开始，当超过3个向量时将变的更加危险和麻烦.理论上说，如果应用直觉定义证明，人们需要验证向量组中每一个向量都不是其他向量的线性组合.虽然有捷径（可以验证v,w是不共线的），但这需要学生对线性相关概念有很好的理解.如果运用正式的定义来证明，由于向量组中每个向量的地位是均等的，因此是一个实用且能够有效防止错误的方式.当学生知道一些向量是线性相关的，也就知道其中至少有一个向量是其他向量的线性组合.

HPM视角下的教学设计，应该是一种艺术的再创造.教学内容是产品设计的基础，数学史的知识是资源、宝藏，教师是教学设计者、艺术家.只有把对数学知识的逻辑分析、历史分析和认知分析结合起来，通过学习单元的设计和实施，才能实现数学史的有机融入，才能达到突破教学难点，尽除师生藩篱.

［参 考 文 献］

[1]J Fauvel, J van Maanen. History in Mathematics Education [M]. Dordreeht: Kluwer Academic Publishers, 2000.

[2]M Kline, Carl B. Boyer in Memoriam [J]. Historic Mathematics, 1976, (3): 387-394.

[3]汪晓勤，欧阳跃.HPM的历史渊源教[J].数学育学报，2003，12（3）：24-27.

[4]朱凤琴，徐伯华.数学史融入数学教学模式的国际研究与启示[J].数学教育学报，2010，19（6）：22-25.

[5]吕世虎，曹春燕，叶蓓蓓.数学教育学学科建设三十年：回顾与反思[J].当代教育与文化，2014，（5）：55-59.

[6]王光明，佘文娟，宋金锦.基于NVivo10质性分析的高效数学学习心理结构模型[J].心理与行为研究，2014，（1）：74-79.

[7]曹一鸣.数学实验教学模式探究[J].课程·教材·教法，2003，（1）：46-48.

[8]汪晓勤，张小明.HPM研究的内容与方法[J].数学教育学报，2006，15（1）：16-18.

[9]同济大学应用数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2003.

[10]Victor J Katz. Using History to Teach Mathematics: An International Perspective [M]. Washington, DC: Mathematical Association of America, 2000.

[11]Albers D J, Alexanderson G L. Mathematical People: Profiles and Interview [M]. Boston: Birkhauser, 1985.

[12]Kline M, Carl B. Boyer in Memoriam [J]. Historic Mathematics, 1976, (3): 387-394.

[13]Victor J Katz. Using History to Teach Mathematics: An International Perspective [M]. Washington, DC: Mathematical Association of America, 2000.

[14]菲利克斯·克莱因.高观点下的初等数学[M].舒湘芹，陈义章，杨钦棵译.上海：复旦大学出版社，2008.

[15]Kline M A. Logic Versus Pedagogy [J]. American Mathematical Monthly, 1970, 77(3): 264-282.

[16]郑玮，郑毓信.HPM与数学教学中的“再创造”[J].数学育学报，2013，22（6）：4-7.

[17]汪晓勤.HPM与初中数学教师的专业发展——一个上海的案例[J].数学教育学报，2013，22（1）：18-22.

[责任编校：陈隽]

Teaching Designs of Linear Dependence under the HPM Point of View

XIANG Jing-jing
(School of Science, Xi’an University of Architecture and Technology, Shanxi Xi’an 710055, China)

Abstract:Thispaper proposes a novel approach to teaching linear algebra under the HPM point of view. Such approach can reveal the difficulties of epistemology and their solutions in the context of historical events. It will benefit the teaching design of the linear dependence of vectors. We hope that, with the detailed instructions of the relevant mathematical history and the epistemological analysis, such teaching methodology can help break students’ cognitive and cultural psychological barriers and integrate the logic and history of the teaching of linear algebra.

Key words:HPM; linear algebra; linear dependence; inclusive dependence; teaching designs

作者简介：项晶菁（1973—），女，浙江海宁人，讲师，硕士，主要从事数学文化与数学教育研究.

基金项目：陕西省教育科学“十二五”规划课题——工科院校进一步推进数学文化通识教育的实践与研究（SGH140577）

收稿日期：2015-03-07

中图分类号：G420

文献标识码：A

文章编号：1004-9894（2015）04-0057-04