陶思言，林 达，曾晓辉

（四川理工学院自动化与电子信息学院，四川 自贡 643000）

一种新的多翼蝴蝶超混沌吸引子及其电路设计*

陶思言，林 达，曾晓辉

（四川理工学院自动化与电子信息学院，四川 自贡 643000）

在Lorenz系统的基础上，通过增加一个状态方程，并设计一种新的分段线性函数，构造了一个新的四维超混沌系统。通过数值仿真，对系统的相图、Lyapunov指数谱和分岔图进行了研究。结果表明新的四维超混沌系统能产生六翼蝴蝶超混沌吸引子。最后，设计了相应的电路，电路仿真结果与数值仿真结果相一致，验证了该系统的可实现性。

混沌，Lorenz系统，多翼蝴蝶超混沌吸引子，电路设计

0 引言

自1963年Lorenz构造第一个混沌系统以来［1］，人们对构造不同数量和不同形状的混沌吸引子产生了极大的兴趣。目前，人们已能很容易地构造出多涡卷混沌吸引子［2-3］、两翼［4-5］和四翼蝴蝶混沌吸引子［6-8］，但对于构造多翼蝴蝶混沌吸引子的相关报道还较少［9-12］。而多翼蝴蝶混沌吸引子较两翼、四翼蝴蝶混沌的动力学行为更复杂，因此，研究多翼蝴蝶混沌吸引子具有重要意义。目前，构造多翼蝴蝶混沌吸引子已成为国内外研究热点。

2013年，文献［12］提出一种新的构造多翼蝴蝶混沌吸引子的方法，即在三维Lorenz系统的基础上，通过增加一个状态方程和一个分段线性函数得到了多翼蝴蝶混沌吸引子。而对于该文献构造的混沌系统，其增加了系统的维数，却不能产生超混沌吸引子。而超混沌吸引子较混沌吸引子，其动力学行为更复杂。因此，构造多翼蝴蝶超混沌吸引子具有重要意义。为此，本文首先设计一个新的关于状态变量x的分段线性函数，然后在三维Lorenz系统的基础上，利用该分段线性函数代替了状态变量x，并增加了一个关于状态变量w的一阶微分方程，得到了一个能产生六翼蝴蝶超混沌吸引子的超混沌系统。分析了该超混沌系统的基本动力学行为。最后，设计了相应的电子电路，使用Mutltisim 10.0电路仿真软件进行了电路仿真，电路仿真结果与数值仿真结果相一致。

2 多翼蝴蝶超混沌吸引子的构造

Lorenz系统的数学模型如下:

其中a=10,b=8/3,c=28.

在式（1）的基础上，增加了一个一阶微分方程w˙=-hx，并利用符号函数设计了一个新的分段线性函数f（x），利用分段线性函数f（x）代替式（1）和新增加的一阶微分方程w˙=-hx的状态变量x，得到了一个新的系统：

其中，a,b,c,h,k为系统参数，分段线性函数

取 a=10,b=8/3,c=28,h=4.7,k=16，式（2）的 4个Lyapunov指数值分别为LE1=0.469 8,LE2=0.218 4,LE3=-0.011 7≈0，LE4=-14.343 2，显然式（2）有两个大于零的Lyapunov指数。式（2）处于超混沌状态。此时式（2）能产生六翼蝴蝶超混沌吸引子，其在x~z相平面和x~y相平面的相图如图1所示。

图1 六翼蝴蝶超混沌吸引子

3 基本动力学行为

图2给出了式（2）随系统参数h变化的Lyapunov指数谱和分岔图。从图2（a）的Lyapunov指数谱可以看出，当 h∈［4，5］时，LE1>0，LE2>0，LE3≈0，LE4<0，此时式（2）有两个 Lyapunov指数大于零，因此，式（2）处于超混沌状态。图2（b）的分岔图与Lyapunov指数谱反映相一致。

图2 式（2）随系统参数h变化的Lyapunov指数谱和分岔图

4 多翼蝴蝶超混沌吸引子的电路设计

利用电阻、电容、增益为0.1乘法器AD633JN和运算放大器UA741CN对多翼蝴蝶超混沌式（2）进行电路设计，其电路图如图3所示。其中运算放大器的电源电压E=±15V，输出饱和值Vsat≈±13.5V。

图3 多翼蝴蝶超混沌式（2）的电路图

根据图3，可得

取 R1=1 kΩ，根据式（3）、式（5），可得 R11=R12=14 kΩ，RVI=13.5 kΩ。

取 R=10 kΩ，R0=10 kΩ，C0=10 nF根据式（2）和式（6），可得 R2=R3=10 kΩ，R4=3.57 kΩ，R5=R9=625 Ω，R6=R7=100 kΩ，R8=37.5kΩ，R10=21.28 kΩ。

根据图3，使用Mutltisim 10.0电路仿真软件进行电路仿真，其电路仿真结果如图4所示。

图4 电路仿真结果

比较图4和图1可知，在系统特性上电路仿真结果和数值仿真结果相一致，验证了该系统的可实现性。

5 结论

本文使用符号函数设计了一个新的分段线性函数，并利用该分段线性函数构造了一个能产生六翼蝴蝶超混沌吸引子的四维超混沌系统。对该系统进行了数值仿真和电路仿真，都得到了六翼蝴蝶超混沌吸引子。由于超混沌吸引子较混沌吸引子的动力学行为更复杂，因此，与一般的多翼混沌系统相比，该六翼蝴蝶超混沌系统在工程上具有更大的应用价值。

［1］Lorenz E N.Deterministic Nonperiodic Flow［J］.J.Atmos.Sci.，1963（20）：130-141.

［1］王春华，尹晋文，林愿.基于电流传输器的网格多涡卷混沌电路设计与实现［J］.物理学报，2012，61（21）：114-121.

［3］黄沄，罗小华，张鹏.一种新的具有光滑二次函数多涡卷混沌系统及其FPGA实现［J］.重庆邮电大学学报（自然科学版），2012，24（4）：479-482.

［4］李春来，禹思敏，罗晓曙.一个新的混沌系统的构建与实现[J].物理学报，2012，61（11）：127-136.

［5］周小勇.一个新混沌系统及其电路仿真［J］.物理学报，2012，61（3）：71-79.

［6］Yu S，Tang K S.Tetrapterous Butterfly Attractors in Modified Lorenz Systems［J］.Chaos,Solitons,Fractals,2009，41（4）：1740-1749.

［7］Hu G，Yu B.A Hyperchaotic with a Four-wing Attractor［J］.Int.J.Bifurcation and Chaos，2009，20（2）：323-335.

［11］黄沄.一类多翼蝴蝶混沌吸引子及其电路实现［J］.物理学报，2014，63（8）：080505.

［12］罗明伟，罗小华，李华青.一类四维多翼混沌系统及其电路实现［J］.物理学报，2013，62（2）:153-158.

A NovelM ulti-w ing Butterfly Hyper-chaotic Attractorsand Circuit Design

TAOSi-yan，LINDa，ZENGXiao-hui
（School of Automation and Electronic Information Engineering，Sichuan University of Science&Engineering，Zigong 643000，China）

Based on Lorenz system，a novel four-dimension hyper-chaotic system is presented via adding a state equation and designing a new piecewise linear function in this paper.Through the numerical simulation，the phase diagrams，Lyapunov exponential spectrums and bifurcation diagrams of the system are studied.The numerical simulation result shows that the four-dimension hyper-chaotic system is able to generate six-wing butterfly hyper-chaotic attractors.Furthermore，an electronic circuit is designed to implement the system.The circuit simulation results are in agreementwith the numerical simulation results，which verify the realizability of the system.

chaos，Lorenzsystem，multi-wingbutterfly hyper-chaotic attractors，circuitdesign

O415.5

A

1002-0640（2015）11-0170-03

2014-09-16

2014-10-07

四川省人工智能重点实验室（2011RZJ02）；四川省自贡市科技局重点基金资助项目（2012D09）

陶思言（1981- ），女，四川人，硕士，讲师。研究方向：混沌同步及其应用。