武红艳

(晋中学院 数学学院,山西 晋中 030619)

具有时滞和超前反应扩散方程的行波解

武红艳

(晋中学院 数学学院,山西 晋中 030619)

现在时滞反应扩散方程行波解的研究越来越广泛,但是同时具有时滞和超前的反应扩散方程结果却很少.文章通过定义上下解和构造单调迭代序列,在反应项是拟单调的条件下,得到了具有双时滞和超前反应扩散方程波前解的存在性.

具有时滞和超前的反应扩散方程;行波解;上下解方法;单调迭代技术

0 引言

近年来,由于反应扩散方程理论在种群动力学和生物模型的重要应用,其行波解更是引起人们广泛重视,也得到空前发展.文献[1-3]考虑了时滞反应扩散方程

行波解的存在性.文献[4]把所得结果应用到predator-prey模型,还有很多加入对流和临界行波等的结论[5-6],近年来随着PPF问题在其他泛函微分方程的引入[7],本文把PPF问题引入反应扩散方程得到

(1)

来研究其波前解的存在性.其中t>0,x∈Rn,D=diag(d1,…,dn),di>0,i=1,…,n,f:

C([-τ1,0],Rn)×C([-τ2,0],Rn)×C([0,τ3],Rn)→Rn是连续的,

ul=u(x,t+l),l∈[-τ1,0],um=u(x,t+m),m∈[-τ2,0],un=u(x,t+n),n∈[0,τ3].

把u(x,t)=φ(x+ct),φ∈C2(R,Rn),ξ=x+ct,c>0是常数代入(1)式得

(2)

其中fc:C([-cτ1,0],Rn)×C([-cτ2,0],Rn)×C([0,cτ3],Rn)→Rn,

若c>0,(2)有一个单调且满足

(3)

的解,则u(x,t)=φ(x+ct)是(1)的波前解.

我们有以下假设:

([0,cτ3],Rn),当

时满足

定义泛函H:C(R,Rn)→C(R,Rn)如下:

显然H(φ)(t)≥0,且关于t,φ都是非减的.

定义1 函数ρ∈C1(R,Rn)称为方程(2)的上解,若ρ′(t),ρ″(t)几乎处处存在且都是有界的,且ρ(t)满足

(4)

定义下解只需改变(4)的不等号.

下面我们开始第一步迭代

在所有解中,我们取特解

容易证明x1(t)(x11(t),…,x1n(t))Τ∈Γ是上解,且满足R.

进而我们考虑下面的迭代方程:

1 主要结果

证明 由f的连续性,Lebesque’s控制收敛定理,我们可直接计算出x(t)是(2)的解.

证毕.这样我们最终得出具有拟单调双时滞和超前反应扩散方程波前解的存在性.

[1] WU Jianhong,ZOU Xingfu.Existence of traveling wave fronts in delayed reaction-diffusion systems via the monotone iteration method[J].Proc.Amer.Math.Soc,1997,125:2589-2598

[2] WU Jianhong,ZOU Xingfu.Traveling wave fronts of reaction-diffusion stems with delay[J].Dynamic Differential Equations,200l,13:651-687

[3] MA Siwang.Traveling wave fronts for delayed reaction-diffusion systems via a fixed point Theorem[J].J.Differential Equations,2001,171:294-314

[4] 武红艳.一类捕食与被捕食模型的行波解[J].太原师范学院学报,2011,10(4):17-19

[5] WANG Zaicheng,LI Wantong,RUAN Shigui.Existence and stability of traveling wave fronts in reaction advection diffusion equations with nonlocal delay[J].J.Differential Equations,2007,238:153-200

[6] CHERN I Liang,Meiming.Stability of non-monotone critical traveling waves for reaction-diffusion equations with time-delay [J].J.Differential Equations,2015(3)

[7] YAO Meiping,ZHAO Aimin,YAN Jurang.Monotone method for first order functional differential equations with retardation and anticipation[J].Nonlinear Analysis,2009,71:4223-4230

Traveling Wave Fronts of Reaction Diffusion Systems with Retardation and Anticipation

WU Hongyan

(School of Mathematical Sciences,Jinzhong University, Jinzhong 030619, China)

Many results about traveling wave fronts of reaction-diffusion systems with delay are obtained, but traveling wave fronts of reaction diffusion systems with retardation and anticipation are hardly considered. Existence of traveling wave front is obtained by defining the upper and lower solutions and constructing monotone iteration equations when the reaction term satisfies the quasi-monotonicity condition.

reaction diffusion systems with retardation and anticipation; traveling wave front;upper and lower solutions; monotone iterative technique

2015-10-14

武红艳(1986-),女,山西忻州人,硕士,晋中学院数学学院助教,主要从事微分方程与动力系统研究.

1672-2027(2015)04-0012-02

O175.14

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