陈向荣，陈 星，王鑫伟

(西安建筑科技大学土木工程学院，陕西西安 710055)

随着绿色建筑的发展，钢结构越来越受到建筑师们的青睐，蜂窝梁也随之得到广泛应用.由于计算方法和规范编制的相对滞后，因此在很大程度上蜂窝梁的精细化、最优化设计被限制［1］.作为一种新兴的演化计算技术，群智能算法正逐渐成为各领域研究人员的关注焦点［2-5］.粒子群算法具有寻优程序简单、速度快的优点［2，4］.圆孔蜂窝梁因受力合理、节省钢材、制作方便、造型美观的优点在近期工程中有较为广泛的应用［6］.应用单轴对称圆孔蜂窝梁可使结构内力分布更加合理，并充分利用钢材［7］.但目前的相关研究较少，且未见有学者利用优化程序对其进行优化设计.设计单轴对称圆孔蜂窝梁时，不仅需要考虑开孔率、孔间距和跨度等常规蜂窝梁设计参数，还需对翼缘进行进一步设计计算，设计过程繁琐.为简化计算过程，同时得到一组经济合理、安全可靠的设计参数，有必要进行优化设计.

本研究采用MATLAB编写优化设计程序，使用基于随机惯性权重的粒子群算法，经过多次运行优化设计程序，得到一组稳定且符合边界条件的参数，并对所得优化结果进行有限元验证，以期为实际工程提供理论依据和参考.

1 单轴对称圆孔蜂窝梁设计

本研究中钢材选用Q235钢材，屈服强度为235 MPa，弹性模量E=2.06×105N·mm-2，泊松比 υ取值0.3.

1.1 制作过程

图1为蜂窝梁构造图.圆孔蜂窝梁的一般制作方法是预先在H型钢上画切割线，按线切割后错位焊接.因设计的蜂窝梁为单轴对称截面，故需采用两种型号的钢材进行切割后混合焊接，焊成的构件如图2所示.

图1 蜂窝梁构造图

图2 构件截面示意图

1.2 几何尺寸

英国的BS 5950《建筑使用的钢制结构规范》［8］中以孔间距S和孔洞直径D为几何设计参数，规定蜂窝梁应符合式(1)、式(2)的基本几何条件，即

式中:HS为蜂窝梁截面高度.

1.3 截面弯曲正应力

蜂窝梁空腹截面处的弯曲正应力较大，应使空腹截面处的弯矩MU小于根据全截面塑性惯性矩计算得到的塑性弯矩MP，即满足式(3)的要求:

式中:ALT为蜂窝梁上部T截面的面积;pY为钢材设计强度;HU为上、下T截面的重心距.

1.4 截面剪切应力

蜂窝梁的竖向剪应力PVY、水平剪应力PVH按式(4)和(5)计算，即

式中:AWUL为上、下T截面的面积;AWP为最小腹板的面积.

1.5 实腹处弯曲应力

蜂窝梁的桥墩处有焊接接口，应力复杂，是蜂窝梁中又一个较为薄弱的截面，故此处应力应满足式(6)至式(9):

式中:Mmax为蜂窝梁桥墩处的最大弯矩;ME为桥顶水平截面处的最大弯矩.

1.6 挠度

计算蜂窝梁的挠度时，需要先分别计算每一个开孔单元的挠度，然后叠加各部分挠度得到总挠度ytot，其值不应大于 BS 5950［8］规定的挠度限值.式(10)-(15)为挠度计算公式:

式中:yMP为空腹截面处弯矩作用产生的挠度;yAP为T截面在轴力作用下产生的挠度;yST为空腹截面处剪力作用产生的挠度;ySMP为在实腹截面处剪力作用产生的挠度.

2 优化设计程序

2.1 SIWPSO算法

粒子群优化算法(PSO)由Eberhart和Kennedy于1995年提出，是一种基于群智慧的优化算法［3］.由于PSO算法参数较少、收敛速度快、精度高，计算流程简洁，速度、位移变化公式简单易操作，与和声算法、遗传算法［9］相比更适合编程［2］.粒子群算法的流程图见图3.

图3 粒子群算法的计算框图

速度及位移变化的计算公式见式(16)和(17):

式中:c1为认知因子;c2为社会因子;ζ和η为［0，1］区间内均匀分布的随机数;r为位置更新时在速度前面加的约束因子，通常设置为1;w为惯性权重.本研究采用随机惯性权重，在一定程度上可以避免线性递减惯性权重在初期搜索不到最优点附近的区域时，随着w的递减仍然收敛不到最优点的局限性［3］.式(18)和(19)为w的计算公式:

式中:rand(0，1)代表0到1之间的随机数;N(0，1)表示标准正态分布的随机数.

2.2 边界条件

边界条件分为几何、弯曲应力、剪切应力、弯剪应力和挠度等.参考英国规范BS 5950［8］中的设计公式并做简单推导，得到如式(20)至式(31)所示的约束条件，将这些边界条件加入到优化程序的目标函数中，以此约束各参数的取值.

限制孔洞直径、孔间距和蜂窝梁高度:

截面的最大弯矩小于塑性弯矩:

空腹截面处及桥墩处的剪应力满足:

T截面处考虑弯-剪应力相互作用:

挠度不应超过限值L/360:

2.3 选取算法程序中的变量及范围

单轴对称圆孔蜂窝梁的制作过程特殊，其优化问题具有连续性，状态变量的范围应取截面表各尺寸的全集.优化变量中的截面高度H、腹板厚度t1、上翼缘宽度b1、上翼缘厚度t2、下翼缘宽度b2和下翼缘厚度t3等参数变化的范围采用BS 5950［8］截面尺寸表的全集;另外两个优化变量距高比E取0.2～2.0，开孔率η取0.3～0.9(实际中用到E和η的极大、极小值的可能性很小，本研究目的在于以较大的范围尽可能搜索最优解，在运行中基本不会搜索到E和η的极大、极小值).

状态变量的选取关系到算法的精度及速度，故在算法程序的调试阶段，需要进行大量试验和迭代的评估工作.通过对参数选取的评估，发现粒子个数取80个，随机平均惯性权重从0.8变化到0.5，认知因子和社会因子均取0.5，迭代次数取1 000次，速度限制为各参数变化范围的5%，此时程序的性能达到最优.本研究算例均设置为上述状态变量进行优化设计.

2.4 目标函数及计算原理

以整根单轴对称圆孔蜂窝梁的重量为目标函数，或称之为适应度.利用惩罚算法对优化程序中的边界条件进行处理［10］，目标函数为

式中:f(x)为以蜂窝梁重量为目标的目标函数;ai代表对第i个约束条件的惩罚因子，为12个趋于无穷大的数.

优化程序循环中，如果边界条件不满足，就会对相应的目标函数进行惩罚，使本次迭代的适应度值很大，从而提前结束迭代，进入下一次迭代过程，直到得出的适应度值在正常范围内，即当所有边界条件均得到满足时，可结束本轮迭代并自动记录;然后比较每轮迭代所得的适应度值，选出最小值，即最小自重作为运行结果并输出.

3 工程算例1

3.1 工程概况

结合工程实际，选取同时承受集中荷载和均布荷载的梁为算例1，对前文提出的优化程序进行验证.受力情况及各参数见图4.

图4 工况1下的单轴对称圆孔蜂窝梁

3.2 迭代过程

为直观显示优化设计的全过程，在SIWPSO算法的末尾加入结果的输出语句，运行MATLAB优化程序，可得每次迭代的粒子适应度最小值(目标函数的最小值)，将各点连接起来，剔除后500次相同的适应度值后的迭代过程如图5所示.

图5 算例1的优化程序迭代图

初始粒子状态和迭代100次时的粒子状态见表1.

表1 算例1迭代过程的粒子状态

通过图5和表1可以看出，用SIWPSO算法编写的MATLAB优化程序，初期收敛速度很快，经100次迭代后就进入小范围搜索，整个搜索过程在迭代200次左右完成，之后迭代粒子参数基本不变，1 000次迭代的运行时间保持在2～3 min.通过对本优化程序进行多次运行，发现程序较为稳定，每次的运行结果几乎一致，有较小的几率出现一次很大差异的结果，实际使用时经几次运行程序就可以避免此类偶然事件的发生.

3.3 优化结果

通过MATLAB迭代程序的计算与分析，最终得到工况1下蜂窝梁的优化设计结果:梁高为252.9 mm，上翼缘宽为120.4 mm，下翼缘宽为101.6 mm，腹板厚为5.8 mm，上、下翼缘厚度均为7.0 mm，孔洞10个，孔间距为358.0 mm，梁自重为89.980 kg.

3.4 有限元评估

根据工况特点及边界条件，用ABAQUS对所得蜂窝梁优化结果进行分析和校验.图6为单轴对称圆孔蜂窝梁在工况1下的应力云图.由图6所示的应力云图可知，通过SIWPSO算法所得截面上的最大Mises应力为212.0 MPa，小于并接近材料的强度235.0 MPa，材料得到很大程度上的应用，留有一定的安全储备，可以保证结构安全可靠的同时，使钢材用量最小化，故所提出优化设计程序合理.

图6 单轴对称圆孔蜂窝梁在工况1下的应力云图

4 工程算例2

4.1 工程概况

下文以实际工程中的一根承受均布荷载的单轴对称圆孔蜂窝梁为算例2(见图7)，梁承受活荷载为10 kN·m-2、恒荷载为6 kN·m-2.

图7 工况2下的单轴对称圆孔蜂窝梁

4.2 迭代过程

优化设计程序的迭代过程见图8，取出多次试验中具有最小适应度值的迭代次数-适应度曲线，剔除后500次相同的适应度值.初始粒子状态和迭代100次时的粒子状态列于表2中.

图8 算例2的优化程序迭代图

表2 算例2迭代过程的粒子状态

由图8、表2可知，优化程序在迭代初期的收敛速度较快，经50次迭代即进入局部优化，迭代200次左右适应度不再减少，所有粒子的参数接近一致，经后续迭代剩余粒子也将参数锁定为该值，算法接近尾声.经过多次运行程序，各优化结果相差很小，即认为在该工况和约束条件下已找到最优参数.

4.3 优化结果

通过优化程序的运行，得到工况1下的优化设计结果:梁高为304.2 mm，上翼缘宽为131.6 mm，下翼缘宽为101.6 mm，腹板厚为5.8 mm，上翼缘厚度为9.0 mm，下翼缘厚度为10.5 mm，孔洞23个，孔间距为416.5 mm，梁自重为289.805 kg.

4.4 有限元评估

根据算例工况的特点及边界条件，使用ABAQUS对算例2建模进行有限元分析［7］，应力云图见图9.

所得构件截面上最大Mises应力为210.1 MPa，小于并接近材料强度235.0 MPa，结构未发生塑性变形，且留有一定的安全储备，使构件安全可靠，用钢量最小化，再次证得优化设计程序的合理性.

图9 单轴对称圆孔蜂窝梁在工况2下的应力云图

5 结论

1)通过多次运行优化程序，发现初期收敛速度极快，仅经过几十次迭代，即可进入局部范围搜索，经过200次左右迭代，就可以搜索出相应工况下最符合边界条件的构件参数，且每次运行程序所得构件参数几乎一致，以此可看出本程序具有收敛速度快和稳定性好的优点，可缩减设计时间.

2)通过对两个算例得出的蜂窝梁构件进行有限元分析，可知该优化程序具有足够精确度.优化所得构件最大Mises应力接近且未超过材料强度，构件处于弹性阶段，翼缘和腹板能各尽其用，一定程度上增加了钢材利用率，为实际工程减少开支.

3)本程序对于单轴对称蜂窝梁的优化设计具有较高适应度，可为工程设计提供参考.

References)

［1］邹锦华，魏德敏，苏益声，等.蜂窝梁的简化计算及其试验对比［J］.华南理工大学学报:自然科学版，2005，33(1):47-51.

Zou Jinhua，Wei Demin，Su Yisheng，et al.Reduced calculation and its experimental comparison for castellated beams［J］.Journal of South China University of Technology:Natural Science Edition，2005，33(1):47-51.(in Chinese)

［2］Biswas D K，Panja S C，Guha S.Multi objective optimization method by PSO ［J］.Procedia Materials Science，2014，6(1):1815-1822.

［3］曾建潮，介 婧，崔志华.微粒群算法［M］.北京:科学出版社，2004:12-18.

［4］Ramin V S，Alireza N，Masoud N.Optimization of the castellated beams by particle swarm algorithms method［J］.APCBEE Procedia，2014，9(1):381-387.

［5］吴 霄，肖汝诚.基于遗传算法的大跨度混合梁斜拉桥索力优化［J］.江苏大学学报:自然科学版，2014，35(6):722-726.

Wu Xiao，Xiao Rucheng.Optimization of cable force for cable-stayed bridges with mixed stiffening girders based on genetic algorithm［J］.Journal of Jiangsu University:Natural Science Edition，2014，35(6):722-726.(in Chinese)

［6］Soltani M R，Bouchaïr A，Mimoune M.Nonlinear FE analysis of the ultimate behavior of steel castellated beams［J］.Journal of Constructional Steel Research，2012，70(10):101-114.

［7］陈绍蕃.单轴对称工形截面无支撑简支梁的稳定承载能力［J］.钢结构，2008，23(8):14-19.

Chen Shaofan.Buckling capacity of unbraced simplysupported beams with monosymmetric I-section［J］.Steel Structure，2008，23(8):14-19.(in Chinese)

［8］BS 5950.Structural use of steelworks in building［S］.London，UK:British Standard Institution，2000.

［9］Wei Yu，Li Baizhan，Jia Hongyuan，et al.Application of multi-objective genetic algorithm to optimize energy efficiency and thermal comfort in building design［J］.Energy and Buildings，2015，88(1):135-143.

［10］Maheri M R，Narimani M M.An enhanced harmony search algorithm for optimum design of side sway steel frames［J］.Computers and Structures，2014，136(2):78-89.