谢 东

(亳州师范高等专科学校电子与信息工程系， 安徽 亳州 236800)



反证法在素数理论中的应用

谢 东

(亳州师范高等专科学校电子与信息工程系， 安徽 亳州 236800)

介绍反证法的原理、基本思想、类型、适用题型及证明步骤，通过实例阐述反证法在素数理论中的应用。

初等数论； 反证法； 素数； 证明

牛顿曾说过“反证法是数学家最精当的武器之一”[1]。在对一个数学命题的证明从正面直接证明束手无策时，试着用反证法，往往可以“柳暗花明又一村”。高斯曾说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。数论中一些未解决的难题被称为“皇冠上的明珠”[2]。初等数论主要研究对象是整数，而素数理论是数论的重要基石。在素数理论中，反证法同样发挥着重要的作用。

1 反证法

1.1 反证法的原理、基本思想及类型

反证法不是一种直接的论证方法，而是采取逆向思维，从命题的反方向出发，先否定命题的结论，经推演后导出矛盾。法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”[1]，这句话精辟地叙述了反证法的逻辑基础。具体地说，反证法就是从命题的反方向出发，先假设命题的结论不成立，把这个假设作为新的条件，再进行正确的推演，最后得到与题设或已有的公理、定理、定义、法则相矛盾的结论，则说明假设不成立，根据矛盾律与排中律，则命题的结论得到了肯定，从而原命题得证[1]。这个过程可概括为“否定→推演出现矛盾→否定”，这就是反证法的辩证的“否定之否定”的基本思想。通常情况下，反证法可以分为2类。如果结论的反面只有一种情况，只须驳倒它，就得证了，这叫归谬反证；若结论的反面不止一种情况，就得将它们一一推翻，这种叫穷举反证。

1.2 反证法的命题适用类型

反证法在数学命题的证明中经常被运用到，但到目前为止，什么条件下使用反证法，并没有明确的规定。高婷婷等人[3]总结出适用反证法的几种主要命题类型：(1)否定性命题，如命题的结论中有“不是”、“没有”、“不可能”等；(2)限定式命题，如命题中有“至少” 、“至多” 、“不多于”等；(3)存在性命题；(4)无限性命题；(5)全称肯定性命题，命题的结论中出现“…全…”、“…总是…”、“…都…”等；(6)唯一性命题；(7)不等式命题。

1.3 反证法的证明模式

反证法的证明步骤一般分为3步。首先是反设，假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立，把命题的结论予以否定，如：“大于”改为“小于或等于”，“都”改为“不都”，“至少1个”改为“1个也没有”，“无限多个”改为“有限多个”，“至多1个”改为“至少2个”，等等；其次是归谬，把反设作为条件，根据命题中所给的条件或是已经有的概念、公理、定理、法则等进行推理，得到一个矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或是与已经有的公理、定理、定义、法则矛盾，或是与某一常识矛盾，亦或是自相矛盾；最后是结论，由于推理是正确的，由矛盾可以判断假设是不成立的，从而肯定原命题的正确性。在这3步中，关键还是第2步。

反证法的特点是把否定结论作为条件，然后进行推理论证，在否定结论时，应注意以下2点：(1)“都是”的正确否定是“不都是”，而不是“都不是”；(2)“至少有1个”的否定是“1个也没有”[4]。

2 应用举例

反证法在初等数论的证明中有很多的应用，在素数理论中也时常见到。在素数理论中，一个很重要的结论，就是素数的个数问题，现在人们已经知道，素数有无限多个，而该理论反证法的证明可谓经典。

例1：证明素数有无限个。

证明(反证法)：假设命题不真，即只有有限个素数，设这些素数为p1，p2，…，pn，构造N=p1p2…pn+1，则要么所有的pi(i=1，2，…，n)都不是N的因数(因为若pi|N，而1=N-p1p2…pn，则pi|1，而这是不可能的)；要么有2种可能：N存在另外有别于pi的素真因数或者N本身就是一个素数，但是显然有N>pi(i=1，2，…，n)。因此无论是哪种情况，都将和假设矛盾。故素数有无限多个。

例2：证明形如4n+3(n为非负整数)的素数有无限多个。

证明(反证法)：假设形如4n+3的素数为有限个，设为p1，p2，…，pk。构造q=4p1p2…pk-1=4(p1p2…pk-1)+3，显然pi(i=1，2，…，k)都除不尽q(原因同例1)。

第一种情况，若q为素数，而q≠pi(i=1，2，…，k)(若q=pi，变形则有(4p1p2…pi-1pi+1…pk-1)pi=1，这不可能)，即假设不成立，定理得证。

第二种情况，若q不是素数，那么它必有素因数。因为(4α+1)(4β+1)=4(4αβ+α+β)+1=4γ+1，这里α、β、γ为非负整数(此式子说明4n+1形式的乘积还是4n+1的形式)，而q一定不能全是4n+1形式的素因数，一定还有4n+3形式的素因数p(因为q也是4n+3的形式，若全是4n+1的形式，它们的乘积得不到4n+3的形式，故一定还有4n+3形式的素因数p。由构造可知q是奇数，所以它的因数要么是4n+1的形式，要么是4n+3的形式，不可能是4n与4n+2的形式)，且不是p1，p2，…，pk中的一个，该结论与假设矛盾(开始假设的是有限的k个，而现在找到了不等于p1，p2，…，pk的其他的4n+3形式的素数p)，故形如4n+3的素数有无限多个。

3 结 语

在用反证法证明的过程中，蕴含着反证法的思想，为了能够清晰地表达，需在括号中作详细解释。此外反证法很巧妙，应用也很广泛，但究竟怎样的命题证明才适于用反证法，目前尚无统一的标准。

[1] 张先休,曾令艳,陕振沛.反证法 — 极小反例[J].科教导刊(上旬刊)，2013(8):187-188.

[2] 曾福庚.《初等数论》课程教学改革探析[J].琼州学院学报,2013,20(2):51-53.

[3] 高婷婷,张明会.浅谈反证法在高等数学中的应用[J].湖南工程学院学报,2013,23(2):47-49.

[4] 杜玉祥.矛盾与反证法[J].曲阜师范大学学报,1988,14(2):97-98.

Application of Reduction to Absurdity in Prime Number Theory

XIEDong

(Department of Electronic and Information Engineering, Bozhou Teachers College, Bozhou Anhui 236800, China)

In this paper, the principle, the basic idea, the type, compatible proposition and the steps in the proof are discussed, and two examples of prime number are given to show effectiveness of reduction to absurdity in elementary number theory.

elementary number theory; reduction to absurdity; prime number; proof

2015-02-02

安徽省高校自然科学研究项目(KJ2015A347)；安徽省省级教学研究项目“基于数学建模思想和方法的高职数学教学模式改革的研究”(2012JYXM595)；安徽省高校优秀青年支持计划项目(2014)；亳州师专《数学建模》重点课程(2012YC07)；亳州师专科研项目“复分析中若干问题的研究”(2012YC15)

谢东(1979 — )，男，安徽枞阳人，湖南大学在读博士研究生，副教授，研究方向为应用数学。

O156.1

A

1673-1980(2015)05-0099-02