汪奇生 杨德宏 杨腾飞

1 湖南软件职业学院，湘潭市宝马西路，411100

2 昆明理工大学国土资源工程学院，昆明市文昌路63号，650093

三维空间直线拟合是通过一系列三维坐标点求解其空间直线方程。根据最佳平方逼近原则，所拟合的空间直线要满足所有三维坐标点到直线的距离和最小［1－3］。文献［1］采用牛顿－梯度最优化算法逐步迭代来进行拟合，但该方法过程复杂，难以理解。文献［2］的推导过程比较繁琐。文献［3］将三维转换为二维来进行解算，虽然无需迭代，但通过软件将空间直线进行旋转操作，其解算过程不够直接明了。近年来，总体最小二乘法［4－6］在测量数据处理中被广泛应用。本文首先将空间直线表示为两个平面方程，并引入结构总体最小二乘［7］来考虑系数矩阵的结构性，这样便顾及到了坐标点3 个方向的误差。根据系数矩阵的结构性，推导了结构总体最小二乘的迭代算法，算法推导过程及迭代格式都较为简单。最后，通过一个算例验证了本文方法的可行性和有效性。

1 空间直线的结构总体最小二乘拟合

1.1 空间直线函数模型

空间直线的标准方程为［2］：

将上式变换整理，得：

这样，空间直线可以看成是用这两个方程表示的平面的相交直线，其中一个平面垂直于面xoz，另一个平面垂直于面yoz。求解这两个平面方程的参数，可进一步得到两个平面的法向量n1＝｛1 0－b｝，n2＝｛0 1－d｝。由空间直线与平面方程的关系可知，空间直线的方向向量s垂直于两个平面方程的法向量：

所求得的空间直线方向向量s＝｛bd1｝，再由同时满足式（2）条件的公共点，可组成空间直线的标准方程。要求得式（2）的最优解，需要同时考虑空间三维坐标在3个方向的误差，即要满足实质上就是解总体最小二乘问题。

1.2 空间直线的结构总体最小二乘模型

有多组观测数据时，式（2）的总体最小二乘平差（EIV）模型如下［4］：

其中，

可以发现，系数矩阵中并不是所有元素都有误差，只需改正zi。系数矩阵具有结构规律，是一个结构总体最小二乘问题。根据文献［8］，将EIV模型看成是非线性的，采用非线性最小二乘平差理论进行处理，将式（4）在处展开得：

顾及到EAX0＝（（X0）T⊗I2m）VA＝FVA，其中⊗为矩阵的克罗内克积。将系数矩阵的改正向量用结构矩阵来表示，VA＝DVa，其中Va是m×1系数矩阵中含误差的非重复元素的改正数（数量为m个），D是8m×m的结构矩阵。由此，可将式（5）进一步表示为：

顾及到R＝［－I2m FD］为2m×3m的矩阵，V＝［VL Va］T为3m×1的改正向量，I2m为2m阶单位矩阵，则此时的随机模型为：

或

总体最小二乘平差准则为：

根据平差准则可构造目标函数，其中k为m×1的拉格朗日常数向量。

根据拉格朗日求极值原理，求上式得最小值，则φ关于V和的偏导要等于零：

将式（10）化简整理可得：

根据式（11）并结合式（6）得：

根据式（12）可得拉格朗日常数k的表达式，再由式（11）的第二式求出参数改正数的表达式：

1.3 解算步骤

具体解算步骤为：

1）给参数赋初值X0（0），构造结构矩阵D（其结构矩阵将在下文给出）。设，由参数初值X0（0）加上结构矩阵D构造R（0）。

2）根据式（13）计算，并根据X0（i＋1）＝X0（i）计算新的迭代值R（0），其中vec－1（·）表示vec（·）的逆运算，即将mn×1的列向量重新构造成m×n的矩阵。

4）由参数的估值可以得到式（2）的两个平面方程，如需变换为式（1）的标准方程，则根据式（3）计算即可。

2 算例及分析

取文献［3］中的算例，即空间直线的一组实测数据（表1），已知其中含有模型测量误差δ＝±0.005。

表1 一组空间直线实测数据Tab.1 Measured sample data of spatial straight line

根据本文方法，计算过程中其结构矩阵构造方法为：

解算得到的方向向量为α＝0.333 248，β＝0.666 823，γ＝1。与文献［2］和［3］的结果比较如表2所示（其中括号内是其转换为本文解算形式的共线向量）。各点到直线的误差见表1最后1列所示。从表2可见，本文计算的结果与其他两种方法相近，且都接近于真值。本文方法和文献［3］的方法解算所得误差累计要比文献［2］小，且本文方法比文献［3］更加易于理解，计算方便。

表2 各种方法解算结果比较Tab.2 Comparison of different method’s result

3 结 语

1）将空间直线表示为两个平面方程，对空间直线进行拟合时采用结构总体最小二乘方法是可行的，解算的两个平面方程依然可以转换为空间直线的标准方程。

2）针对两个平面方程的解算，提出其结构总体最小二乘的迭代算法，算法推导过程及迭代格式较为简单，并通过算例分析验证了算法的正确性。

［1］杜明芳.空间直线拟合［J］.北京印刷学院学报，1996（8）：27－31（Du Mingfang.Fitting of Space Straight Line［J］.Journal of Beijing Institute of Printing，1996（8）：27－31）

［2］陈基伟.工业测量数据拟合研究［D］.上海：同济大学，2005（Chen Jiwei.Reacnch on Industrial Measurement Data Fitting［D］.Shanghai：Tongji University，2005）

［3］郭际明，向巍，尹洪斌.空间直线拟合的无迭代算法［J］.测绘通 报，2011（2）：24－25（Guo Jiming，Xiang Wei，Yin Hongbin.Three－Dimensional Line Fitting Without Iteration［J］.Bulletin of Surveying and Mapping，2011（2）：24－25）

［4］Golub G H，Loan C.An Analysis of the Total Least Squares Problem［J］.SIAM Journal Numerical Analysis，1980（17）：883－893

［5］汪奇生，杨德宏，杨建文.基于总体最小二乘的线性回归迭代算法［J］.大地测量与地球动力学，2013，33（6）：112－114（Wang Qisheng，Yang Dehong，Yang Jianwen.An Iteration Algorithm of Linear Regression Based on Total Least Squares［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2013，33（6）：112－114）

［6］汪奇生，杨德宏，杨腾飞.总体最小二乘线性回归统一模型及解 算［J］.工 程 勘 察，2014（4）：87－90（Wang Qisheng，Yang Dehong，Yang Tengfei.The Unified Model and Algorithm of Total Least Squares Linear Regression［J］.Geotechnical Investigation ＆Surveying，2014（4）：87－90）

［7］Moor B.Structured Total Least Squares and L2Approximation Problems［J］.Linear Algebra and Its Applications，1993（188）：163－205

［8］Shen Y，Li B，Chen Y.An Iterative Solution of Weighted Total Least－Squares Adjustment［J］.Journal of Geodesy，2010，85（4）：229－238