韩亚坤，周 吕，陈冠宇，袁明月

（1.桂林理工大学 测绘地理信息学院，广西 桂林 541006；2.广西空间信息与测绘重点实验室，广西 桂林 541006）

灰色GM（1，1）与Kalman滤波模型用于变形预测的比较分析

韩亚坤1,2，周 吕1,2，陈冠宇1,2，袁明月1,2

（1.桂林理工大学 测绘地理信息学院，广西 桂林 541006；2.广西空间信息与测绘重点实验室，广西 桂林 541006）

通过运用灰色GM（1，1）和Kalman滤波模型分别对某高层建筑物的沉降变形趋势进行分析，得出灰色GM（1，1）适用于短期且变形趋势呈线性变化的变形分析与预测，而Kalman滤波模型不仅适用于短期预测，对于长周期预测也有较高的精度。因此，在观测周期较短时，灰色GM（1，1）和Kalman滤波模型对线性变化的高层建筑物都有较高的预测精度，但是对于较长周期的观测，Kalman滤波模型预测的精度和可靠性要高于灰色GM（1，1）模型。

GM（1，1）；Kalman滤波；建筑物沉降；变形分析

为了确保高层建筑物的稳定性，在高层建筑物的施工过程中以及竣工后都需要进行定期的变形观测。本文根据灰色GM（1，1）和Kalman滤波理论，结合某栋高程建筑物实测数据对这2种方法建立相应的模型，通过对比这2种模型的预测精度与可靠性来探讨这2种模型在高层建筑物的沉降变形趋势分析和预报中的应用。

1 灰色预测模型GM(1,1)

灰色系统理论是一门跨领域的新兴学科，它以小样本、贫信息的特征来解决数据量不够、信息不是很明确的问题。灰色系统理论已经被应用于天气预报、商业销售预测、农业产量预测以及水利工程灾害预测和建筑工程灾害预测等领域。灰色预测是通过少量的不完整的信息，建立灰色微分预测模型，并对事物发展规律作出模糊性的长期描述。

灰色系统中GM(1,1)模型是常用的灰色理论模型之一，其预测模型建立过程如下[1,2]。设非离散数列为：

式中，n为序列长度。对x(0)进行一次累加生成，即可得到一个生成序列：

对此生成序列建立一阶微分方程：

记为GM（1，1）。式中，⊗a和⊗u是灰参数，其白化值（灰区间中的一个可能值）为：

2 Kalman滤波

Kalman滤波技术是一种被广泛采用的递推式滤波算法，它可以对动态系统的实时数据进行处理。但是，Kalman滤波模型对建模所需的数据要求很高[3]。

Kalman滤波的数学模型由状态方程（动态方程）和观测方程两部分组成，其离散化形式为：

式中， Xk是系统k时刻的状态向量（n维）；Lk是系统k时刻的观测向量（m维）； Fk/k-1是系统k-1时刻到k时刻的状态转移矩阵（n×n）；Gk-1是系统k-1时刻的动态噪声矩阵（n×R）；Wk-1是系统k-1时刻的动态噪声（r维）；Vk是系统k时刻的观测噪声（m维）；Hk是系统k时刻的观测矩阵（m×n）。

根据最小二乘原理，可推得随机离散线性系统的Kalman滤波递推公式[4]。

状态预报：

状态协方差阵预报：

状态估计：

状态协方差阵估计：

式中，Jk是滤波增益矩阵，其具体形式为：

3 模型精度检验

本文采用相对误差和后验差检验评判模型精度[5,6]。

3.1 相对误差检验

相对误差检验是模型精度检验中最常用的一种方法。设原始数列为x(0)（k），预测数列为x^(0)（k），则其相对误差η（k）为：

3.2 后验差检验

该检验法由后验差比值C和小误差概率P共同描述。设实测数据方差为s12，残差数据方差为s22，则计算式分别为[3]：

表1 后验差检验法精度等级表

4 工程实例分析

4.1 滤波初值的选取

因为此变形体动态系统维数为2，观测系统维数为1，故设观测点的状态向量为1，观测点的状态向量为取初值为：

观测值采样间隔取其初值Δ Tk=1，根据建筑变形测量的等级及其精度要求，三等沉降变形观测（二等水准）的动态噪声方差阵Qk=2，观测噪声的方差阵Rk=0.5。

4.2 结果分析

本文以某高层建筑物某一点的9期观测数据为例，对高层建筑物的沉降监测点前5期数据建模进行拟合运算，后4期进行预测。然后利用灰色GM（1，1）模型和Kalman滤波模型对该点进行建模分析，并通过预测值与原始观测值进行对比分析。

4.2.1 利用灰色GM（1，1）模型预测

首先以实测的数据前5期进行建模，见表2。模型后验差比值C=0.11，小误差概率P=100%。然后利用该模型对第6～9期数据进行预测，所得结果如表3、图1所示。

表2 灰色GM（1，1）模型建模结果/m

表3 灰色GM（1，1）模型预测与原始观测值残差/m

通过图1、表2、表3可以看出，根据实测数据建立的灰色GM（1，1）模型，模型精度为一级，模型精度良好，说明通过GM（1，1）来建立建筑物变形分析的预测模型，进而分析建筑物变形是可靠性较高的方法，该方法在一定程度上能够准确地反映建筑物的沉降趋势。但是在预测的过程中，伴随着观测时间的增加，预测值与原始观测值的残差波动较大，曲线呈线性关系。

4.2.2 利用 Kalman 滤波模型预测

利用Kalman 滤波模型进行预测，首先以实测的数据前5期进行建模，见下表4。模型后验差比值C=0.09，小误差概率P=100%。然后利用该模型对第6～9期数据进行预测，所得结果如表5、图1所示。

图1 Kalman滤波、灰色预测差值和原始观测值对比

表4 Kalman滤波模型建模结果/m

表5 Kalman滤波模型预测与原始观测值残差/m

通过图1和表4、表5可以看出，对原始观测数据建立Kalman 滤波模型，模型精度为一级，Kalman滤波预测值和原始观测值之残差全部在1 mm以内，具有较高的预测精度。通过表5可以发现，Kalman滤波模型剔除了随机误差的干扰。通过观察对比滤波后的曲线和原始数据的曲线可以发现，预测曲线与原始沉降曲线的变化趋势大致相同，而且具有较好的拟合精度,能够很好地反映变形监测的实际情况。因此，Kalman 滤波模型随着时间的增加能够更好地反映出高层建筑物的变形趋势，且具有较高的预测精度，可以很好地模拟动态目标系统的变化规律。4.2.3 两种模型对比分析

通过对表2～5和图1的对比分析可知，Kalman滤波的预测值和实际观测值的曲线比较相近，残差值波动较小，较灰色GM（1,1）更为稳定。通过Kalman滤波我们发现，实际观测中的一些尖端点被削弱了，比原始过程曲线更平滑，说明Kalman滤波模型能够更好地模拟状态向量的变化规律。在大多数非线性状态情况下，可以使用Kalman滤波进行观测，不足是Kalman滤波要求的数据数量比较多。

灰色预测模型的预测精度是比较高的，它可以排除模型预测的偶然性，证明通过运用GM（1，1）建立的预测模型的预测结果可靠性高。灰色系统理论所需的样本数据不像Kalman滤波要求的多，很适合不确定因素的情况。对于一般的高层建筑物沉降监测，运用灰色理论模型更加科学合理。缺点是灰色GM（1，1）模型一般处理的都是线性数据，对于非线性数据预测效果不是很理想。

5 结 语

本文通过工程分析对Kalman滤波和灰色系统中的GM（1，1）在变形监测中的应用进行对比分析，得出高层建筑物的沉降是一个动态过程，它会受很多种因素的影响，灰色GM（1，1）所反映的建筑物沉降变化的真实程度会随着时间的累加而降低，但是Kalman滤波受此影响很小，在变形趋势呈波浪形或者观测周期较长时比灰色GM（1，1）的预测精度可靠。

[1] 邓聚龙．灰色系统基本方法[M]．武汉:华中科技大学出版社,2005

[2] 张健雄,蒋金豹,张建霞．高层建筑沉降监测与灰色预测[J]．测绘科学,2007,32(4):56-59

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[7] 周吕,韩亚坤,陈冠宇,等．动态GM(1,1)在建筑物沉降变形分析中的应用研究[J]．城市勘测,2013,10(5):2-4

[8] 袁明月,周吕,文鸿雁,等．灰色系统与时间序列在高铁沉降变形中的应用[J]．地理空间信息,2013,11(4):131-134

P258

B

1672-4623（2015）02-0156-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2015.02.055

韩亚坤，研究方向为变形监测与数据处理。

2014-03-14。

项目来源：国家自然科学基金资助项目（41071294）；广西空间信息与测绘重点实验室资助项目（1207115-06、1103108-02）；广西矿冶与环境科学实验中心资助项目（KH2012ZD004）；研究生教育创新计划资助项目（YCSZ2012083）；广西“八桂学者”岗位专项经费资助项目。