熊文全，黄张裕，胡家兴

（1.国家测绘地理信息局 重庆测绘院，重庆 400015；2.河海大学 地球科学与工程学院，江苏 南京 210098）

动态灰色预测模型在变形监测中的应用

熊文全1，黄张裕2，胡家兴1

（1.国家测绘地理信息局 重庆测绘院，重庆 400015；2.河海大学 地球科学与工程学院，江苏 南京 210098）

在分析灰色模型的基础上，研究了灰数递补和新陈代谢2种动态灰色模型，并结合工程实例分析验证动态灰色模型的应用。2种模型的预测精度表明，动态灰色模型理论正确，精度合格，完全能够满足工程需要。

变形监测；动态灰色模型；GM(1,1)；预测

1 动态灰色模型的建立

1.1 灰色预测模型

灰色预测模型是具有部分差分、部分微分性质的模型，在关系、性质和内涵上具有不确定性[1,2]。具有研究价值的有一阶多元预测模型GM（1，N）和一阶一元预测模型GM（1，1）。实际中应用中，较多采用GM（1，1）模型，而GM（1，N）模型一般不用于预测[3]。

GM（1，1）模型是通过原始数据序列的一次累加生成数据序列所建立的，设非负离散数列为：

式中，n为序列长度。对x(0)进行一次累加生成，即可得到一个生成序列：

对此生成序列建立一阶微分方程：

记为GM（1，1）模型。式中，a和u是灰参数，其白化值（灰区间中的一个可能值）a^=[a u]用最小二乘法求解，得：

式中，a为发展系数[2]，其中，

则模型还原值为：

由GM（1，1）模型得到：

计算残差：

记原始数列x(0)及残差数列e的方差分别为S12、S2

2，则：

模型精度等级判别式为：模型精度等级= max{P所在的级别，C所在的级别}。各类精度等级见表1。

表1 灰色模型拟合精度检验

解算出发展系数a后，可以根据a的大小确定模型的适用范围。模型的适用范围见表2。

表2 灰色模型的适用范围

1.2 动态灰色模型

动态灰色模型主要包括灰数递补模型和新陈代谢模型。对灰色序列x(0)={x(0)(1)，x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(n)}，进行一次累加（AGO）生成x(0)后建立GM（1,1）模型，可得到n+1时刻预测值x(0)（n+1）。然后将x(0)序列中的x(0)（1）舍去，加入x(0)（n+1），重新构成灰色序列x1(0)={x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(n+1)}，重新建立GM（1,1）模型，重新预测新值。依次循环，此种模型中加入的新信息来自模型预测，称为灰数递补动态预测模型[4,5]。另一种模型同样可按上述方法建立动态预测模型，但是加入的是真实的信息，称之为新陈代谢灰色预测模型[6,7]。

从预测角度可以看出，以上两种模型相对于原始的GM（1,1）模型有了改进，随着系统的发展，老数据的信息意义将逐步降低，被新信息取代，不断更新的数据会降低模型的灰度，模型更能反映系统当前的特征。此外，不断更新数据，去除老数据，还可以避免随着信息增加，建模运算量增大的弊端。

2 动态GM（1,1）模型应用及分析

本文引用广州地铁临大马站商业中心路段某一时期的变形监测数据[8,9]。监测数据的采样周期为1 d，选取序列长度为8，预测步长为4，构造原始灰色序列。分别建立灰数递补和新陈代谢2种动态灰色预测模型进行4 d内预测，并与实际观测数据进行比较。模型计算结果见表3、表4。

表3 动态灰数递补预测模型计算结果/m

表4 新陈代谢灰色预测模型计算结果/m

由于第1天的模拟预测值是相同的，所以在以下结论中都不包含第1 天的预测数据。分析表3、表4、表5可以得到以下结论：

1）对于平均预测误差，灰数递补模型为8．5 mm，新陈代谢模型为6．5 mm；对于最大预测误差，灰数递补模型为30．1 mm，新陈代谢模型为25．3 mm，见图1。从表5可以看出，灰数递补模型的后验差C大于新陈代谢模型。另外，灰数递补模型的小误差概率P小于新陈代谢模型。

图1 2种模型残差分析比较

表5 2种预测模型的精度对比

2）对比分析预测残差可以发现，预测残差随着步长的增加而增大，从而精度降低。因为对于灰色模型而言，预测时间越长，一些未知的干扰因素将不断进入模型而对模型预测产生影响，从而影响模型精度。

3）灰数递补模型的平均发展系数a为-0．031 7，而新陈代谢模型的平均发展系数a为-0．028 5，根据a的数值分析得出，新陈代谢模型可以用于中长期预测，而灰数递补模型可以用于短期预测，在中长期预测中使用需慎重。

3 结 语

对于动态灰色模型，新陈代谢模型的精度高于灰数递补模型，并且预测适用范围也稍大，这与现实情况相符。因为灰数递补模型加入的是预测的模拟数据，而新陈代谢模型使用的是实测数据，本文中灰数递补预测模型的精度为二级，而新陈代谢模型的预测精度可达到一级。这2种模型的预测精度表明，动态灰色模型理论正确，精度合格，完全能够满足工程需要，充分证实了动态灰色模型在变形监测预测中应用的可行性和有效性。

[1] 邓聚龙． 灰理论基础[M]． 武汉：华中科技大学出版社，2002

[2] 郭齐胜． 系统建模原理与方法[M]． 长沙：国防科技大学出版社，2003

[3] 邓聚龙． 灰色系统论文集[M]． 武汉：华中理工大学出版社，1989

[4] 刘思峰，郭天榜，党耀国，等． 灰色系统理论及其应用 [M]．北京：科学出版社，1999

[5] 李涛，花向红． 基于新陈代谢的动态灰色模型及其应用[J]．城市勘测，2008(4):135-137

[6] 徐君毅, 曾安敏． 基于缓冲算子的灰色模型在地壳形变预测中的应用[J]． 大地测量与地球动力学, 2009,29(3):91-94

[7] 姜刚, 杨志强, 张贵钢． 卡尔曼滤波算法的灰色理论模型在变形监测中的应用[J]． 测绘科学, 2011,36(4):19-21

[8] 潘志华，卫建东． 动态灰色模型在变形预测中的应用[J]． 测绘科学，2007,32(4):121-123

[9] 陈伟清． 灰色预测在建筑物沉降变形分析中的应用[J]． 测绘科学，2005,30(5):43-45

P258

B

1672-4623（2015）02-0137-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2015.02.048

熊文全，高级工程师，主要从事控制测量、矿山测量、工程测量、变形监测及其应用开发。

2014-12-12。