关胜况，胡圣武

（1.河南理工大学 测绘学院，河南 焦作 454000）

基于粗集的面实体方向关系的研究

关胜况1，胡圣武1

（1.河南理工大学 测绘学院，河南 焦作 454000）

对基于粗集面与面方向关系的定性表示进行研究，首先讨论了基于传统方向关系的表示方法，然后介绍了基于粗集的方向关系模型，并以实例对方向关系进行描述。结果表明，基于粗集的方向关系更加符合人类对不确定方向关系的表达和认知理论。

方向关系；粗集；方向关系矩阵模型；认知理论

方向关系是空间数据库研究的重要课题之一，也是近年来空间关系研究的热点问题。目前方向关系研究主要集中在方向关系的模型表达、一致性检验、数据检索等方面。由于现实世界本身就是一个不完全精确的世界，且空间数据源和空间关系本身固有的不确定性（包括随机性、不精确性、模糊性）[1,2]，使得空间关系没有必要也不可能用完全精确的方法去表达，而是需要用一种能近似表达和推理的方法表示和处理，例如，“查找位于郑州火车站所有人口密度大于245人 /km2的区域”。现有的方向关系表达模型主要集中在精确对象的空间关系研究上，模糊对象空间关系研究甚少。大多数还是把模糊对象与精确对象的方向关系分割研究，不能把模糊对象和精确对象统一在一个框架内表达，不符合人们的认知和实际处理问题的需求[3-5]。

由于空间问题的复杂性和不确定性，空间关系表示和推理一般采用定性的方法。方向关系的定性表示是近年来定性空间关系表示推理研究的热点[6,7]。空间推理是利用空间理论和人工智能技术对空间对象进行建模、描述和表示，对空间关系进行定性、定量分析和处理的过程[8,9]。由于定性的空间推理是空间推理的重要组成部分，因此在GIS空间查询、空间分析、一致性检验等过程中有重要的作用和意义[10]。

1 方向关系矩阵模型

方向关系的定性表示方法有多种，本文采用中心区域的方向关系矩阵模型（也称为井子空间模型）来表示[9]。它采用以参考对象为中心的最小边界矩形（MBR）表示原空间对象本身。该矩形在x、y轴上的投影分别为infx（A）、supx（A）、infy（A）、 supy（A）。方向关系矩阵还将整个空间划分为东（E）、南（S）、西（W）、北（N）、东南（SE）、东北（NE）、西南（SW）、西北（NW）和中间区域（O）共9个方格区域（图1）。方向关系描述模型的符号集合为：

D={E，S，W，N，SE，NE，SW，NW，O}

图1 方向关系模型

由于现实世界是不确定的（如位置不确定性、模糊对象、边界扩充等），传统方向关系模型无法很好地反映定量的方向关系矩阵模型与现实世界认知的差异。

本文探讨用粗集理论描述不确定性地理实体来研究地理实体之间的方向关系。基于粗集的方向关系矩阵模型用近似描述与推理的方法来描述和处理方向关系位置问题，把模型对象分为模糊对象和确定对象2种。

2 粗集的基本理论

粗集理论是由波兰华沙理工大学Pawlak提出的研究不完整数据、不精确知识的表达、学习、归纳等的方法，它的特点是不需要预先给定某些特征或属性的数量描述，而是直接从给定问题的描述集合出发，通过不可分辨关系和不可分辨类确定问题的近似域，找出问题的内在规律[11,12]。

设U是一个有限元素论域，X是U上的元素集合，X∩U，R是论域U上的元素等价关系，[x]R是R元素等价类，所有等价类集合记作ind（R）。

定义1：称R_（X）是集合X∩U的下近似，且R_（X）=Y [x]={x|x∈U，[x]⊆X}。

定义2：称R-（X）是集合X∩U的上近似，且R-（X）=Y [x]={x|x∈U，[x]∩X≠∅}。

定义3：称bnr（X）是X∩U的R边界，且bnr(X)=R-（X）-R_（X） 。Pos（X）=R_（X）称作X的R正域；NegR（X）=U- R-（X）称作X的R负域。

3 方向关系粗糙模型定性表示

改进后的方向关系矩阵模型加入了新的元素，因为现实世界的空间关系对象是不确定的，很难用精确的语言描述，近似和模糊描述是一种有效的表达空间关系的方法[9,10]。加入粗集可使非集合元素和集合元素之间保持一种平滑的过渡，克服以往的硬性划分。基于粗集的方向关系研究是按照粗集近似描述的，因此不确定对象与确定对象的方向关系可以通过研究其下粗近似集与上粗近似集之间的关系来解决。

定义4：设U为二维元素（x，y）的论域空间，A为二维模糊集合对象，u（x，y）为隶属函数，任意实数0＜β≤α≤1，定义模糊区域A的下粗集和上粗集为元素集合，则模糊区域A的边界定义为：

模糊区域边界划分为：

α、β的取值直接影响表达结果，α取值越大，β取值越小，对象边界越大；反之对象边界越小。当A为确定区域时，u（x，y）取值为0或1，令β=0，α=1则二维模糊对象A的下粗、上粗近似集分别与A相等，恰好与确定区域概念一致。因此，模糊区域与确定区域可以在粗集的框架上统一表达。

区域A的最小边界矩形将其周围的空间区域划分所形成的区域为Oi（1≤i≤n），n为方向关系的粗糙程度，则区域B与Oi的隶属函数为：

对象A和B之间的方向关系OAB={Oi| μ（B∈Oi）=1}。

图2 不确定区域与不确定区域的方向关系

3.1 确定对象与确定对象

图1中，确定对象与确定对象的方向关系以对象A的MBR为中心把空间平面划分为9个互斥的区域（方向片），用3×3的方向关系矩阵可以清晰地表示所分割参考物体的9个区域的相邻关系及目标物体参考物体的方位情况，用元素0表示空、1表示非空来描述方向关系矩阵元素的构成，矩阵形式表示方向关系为：

方向关系使用物体的MBR近似表示所对应的方向关系矩阵为：

方向粗糙表达结果为：

3.2 确定对象与粗糙对象的方向关系

如图3所示，确定对象与粗糙对象的方向关系，由于目标对象上近似集是一个不确定区域，以矩阵形式表示方向关系为：

方向关系使用物体的MBR近似表示所对应的方向关系矩阵为：

同理，对象A、B 方向关系粗糙表达结果为：

3.3 粗糙对象与粗糙对象的方向关系

图3 确定区域与不确定区域的方向关系

如图2所示，粗糙对象与粗糙对象的方向关系由于目标对象上近似集是一个不确定区域，以矩阵形式表示方向关系为：

方向关系使用物体的MBR近似表示所对应的方向关系矩阵为：

根据方向关系矩阵可以对2个对象间的方向关系进行粗糙表达，即对象A、B方向关系粗糙表达结果为：

4 空间方向关系实例粗糙推理

图4为模糊对象方向关系举例。设A、B、C为空间城乡结合的方向关系，图2、图3描述了A、B及B、C粗糙对象的矩阵表达，而模糊对象A、B，B及C之间的方向关系可推导出A、C的方向关系，用公式表示为：

基于方向关系用粗集的方法表达。由粗集表达具有上粗和下粗集的优越性，能够近似表达模糊对象之间的关系并进行推理。

图4 空间实体示意图

根据对象A、B以及B、C 的方向关系推理对象A、C的方向关系：

用变精度粗集表达方法，图中的方向关系可表示为：

通过推理可得到：

[1] 胡圣武,王新洲,许辉,等．论GIS的模糊不确定性及其表示[J]．测绘通报,2006(1):18-20

[2] 胡圣武．GIS不确定性的基本理论及需解决的问题[J]．测绘科学,2007,32(2):125-127

[3] Papadia D S,Egenhofer M J,Sharma J．Hierarchical Reasoning about Direction Relations [C]．4th ACM2GIS,1996

[4] Goyal R,Egenhofer M J．Similarity Y of Cardinal Directions[C]．Seventh International Symposium on Spatial and Temporal Databases,Los Angeles,2001

[5] 杜世宏,王桥,李顺．模糊对象粗糙表达及其空间关系研究[J]．遥感学报,2004,19(8):1-8

[6] 杜世宏,王桥．不确定性空间关系[J]．中国图像图形学报，2004,9(5):29-36

[7] 郭平,刘然,林勇．方向关系的定性表示与推理[J]．计算机工程与科学,2005,33(1):81-84

[8] 郭平,刘然,董晓华．二维对象空间关系的定性表示[J]．计算机工程,2005,31(2):39-41

[9] 杜世宏,王桥,魏斌．空间方向关系粗糙推理[J]．测绘学报,2003,32(4):334-338

[10] 吴静,程朋根．空间目标的方向关系定性推理[J]．测绘学报,2006,35(2):160-165

[11] 刘清．Rough集及Rough推理[M]．北京:科学出版社,2001

[12] 裴海峰．Z．Pawlak粗集推广与应用研究[D]．济南:山东大学,2007

P208

B

1672-4623（2015）02-0098-03

10.3969/j.issn.1672-4623.2015.02.036

关胜况，硕士，研究方向为空间关系。

2014-03-25。

项目来源： 国家自然科学基金-河南省人才培养联合基金资助项目(U1304401)。