郑金

历年高考题都是师生进行复习和研究的宝贵资源，若能善于利用，将会收到良好的教学效果，如一题多解、一题多问或一题多变，有助于理解知识、训练思维和培养能力.现以2007年高考江苏卷第19题为例进行一题多问和多解.该题是关于两个相互作用物体在竖直方向的相对运动问题，作为压轴题，其难度很大.如果对题目进行拓展，不仅能训练思维，而且能加深理解牛顿第二定律、运动学公式和能量守恒定律等规律以及隔离法、整体法、归纳法、补偿法和相对加速度法等解题方法.

例题 如图1所示.一个圆环A套在一根均匀圆柱形木棒B上，环和棒的质量都为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，大小为f=km（k>1）.开始时棒竖直放置，下端离地面高度为H，圆环套在棒的上端，二者由静止开始自由下落，棒与地面发生碰撞后，棒以竖直向上的速度反向运动，而且碰撞前后的速度大小相等，设碰撞时间极短，空气阻力忽略不计，棒始终保持竖直.问：（1）在木棒再次着地前，要使圆环不脱离木棒，木棒至少为多长？（2）木棒第一次触地后上升的最大高度为多少？（3）木棒与圆环第一次相对静止时的速度为多少？（4）木棒第二次触地时的速度为多大？（5）木棒从第二次触地到二者速度相等期间的相对位移为多少？（6）木棒从第一次触地到第 次触地后速度相等期间发生的相对位移为多少？

解析 （1）环与棒一起做自由落体运动，刚触地时木棒的速度为v0=2gH，在棒触地瞬间，由于惯性，环获得向下的初速度，大小为v0=2gH，相对于棒向下滑动，即相对于地面向下做匀减速运动，加速度大小为aA=f-mgm，方向向上;

同时棒反弹，向上做匀减速运动，加速度大小为

aB=f+mgm，方向向下.

由于棒的加速度大于环的加速度，而初速度相同，因此棒的速度先变为零，接着受力情况不变，环继续向下做匀减速运动，棒向下做初速度为零的匀加速运动，直到二者速度相同.对上述过程可求出环相对于棒的位移，即为满足条件的棒的最小长度.但分步求解太麻烦，下面利用整体法求解.

在棒开始向上反弹直到二者速度相同的过程中，环相对于棒做匀减速直线运动，以棒为参考系，环的相对初速度为v=2v0，方向向下，相对末速度为v′=0，相对加速度为a=aA+aB=2fm，方向向上.所以相对位移为s1=v22a=mv20f=2mgHf=2Hk.

只要棒的长度不小于2Hk，那么在棒再次着地前，圆环就不会脱离木棒.反之，如果棒的长度已确定为L，那么开始下落时棒下端到地面的距离不应大于kL2.上述相对加速度法是一种过程整体法.

点评 解答该题关键是通过分析各自的加速度后能得出棒的速度先变为零，特别是利用相对加速度法和运动学公式，使问题化繁为简.

（2）木棒第一次触地后，弹起速度为v0=2gH，加速度为a1=f+mgm=（k+1）g，方向向下，向上做匀减速运动，直到速度为零，可知木棒下端上升的最大高度为h=v202a1=Hk+1.

（3）木棒上升时间t=v0a1=v0（k+1）g，木棒第一次触地后，设经历时间t′达到共同速度，以棒为参考系，取竖直向下为正方向，则环的相对初速度为v=2v0，方向向下，相对末速度为v′=0，相对加速度为a=aA+aB=2fm，方向向上.所以时间

t′=2v0-0a=v0kg，可见t′大于t，表明二者速度相等时木棒在下落.

第一次速度相等时的共同速度为圆环匀减速运动的速度，即u=v0-a2t′=v0k.

（4）利用过程分解法，木棒从最大高度开始下落到与圆环速度相等时经历的时间

Δt=t′-t=v0kg-v0（k+1）g=v0k（k+1）g.

因此木棒在Δt时间内下落的距离为

Δh=12a1（Δt）2=v202k2（k+1）g=Hk2（k+1）.

二者速度相等以后，一起做加速度为g的落体运动，初速度为u，木棒下端将发生的位移为

h′=h-Δh=Hk+1-Hk2（k+1）=k-1k2H，

由运动学公式有2gh′=v21-u2，

即2kk-1k2H=v21-2gHk2，所以v21=2gHk，即v1=2gHk.

或者利用过程整体法，应用能量守恒定律求木棒触地速度.圆环相对于木棒的位移为s1=2Hk，则从开始下落到第2次触地的整个过程，有mgH+mg（H+s1）-kmgs1=12（2m）v21），可得v1=2gHk.

还可利用补偿法.即把初速度不为零的加速度为g的落体运动视为自由落体运动的一部分，可找到初速度为零的位置，就是所设想的自由落体运动的初始位置，则从该位置开始速度由零增加到 所发生的位移为h0=u22g=v202gk2=Hk2，它与位移h′=k-1k2H之和等于设想的自由落体运动的位移，即s=h0+h′=Hk，所以木棒做自由落体运动的触地速度v1=2gs=

2gHk.

（5）木棒第二次上升的最大高度h1=v212a1=2Hk（k+1），以棒为参考系，环的相对初速度v=2v1，方向向下，相对末速度为v′=0，相对加速度为a=aA+aB=2fm，方向向上.

所以相对位移s2=2v21a=mv21f=2mgHkf=2Hk2.