李敏,单士娟,沈微微

摘  要： 由入射波与面电流的关系，引出了渐近相位（AP）在高阶叠层基函数（HO?RWG）中的应用，并运用到矩量法（MOM）中，与快速多级子方法（MLFMA）结合，分析了电大尺寸复杂目标的电磁散射特性。与高阶叠层基函数和零阶相位基函数（AP?CRWG）相比，在相同的计算精度下，都可以大大减少未知量数量，从而可以节省大量内存和计算时间。计算实例表明，该方法有较高的精确性和有效性。

关键字： 渐近相位； 高阶叠层基函数； 零阶相位基函数； 快速多级子方法； 电磁散射

中图分类号： TN710?34                      文献标识码： A                        文章编号： 1004?373X（2014）23?0139?03

Analysis on electromagnetic scattering features of big objects in combination with MLFMA and higher?order hierarchical asymptotic phase basis functions

LI Min， SHAN Shi?juan， SHEN Wei?wei

（Suqian College， Suqian 223800， China）

Abstract： In this paper， since the relations of the incident wave and surface?current， the application of asymptotic phase （AP） in the higher?order hierarchical basis functions （HO?RWG） is derived， and applied in method of moment （MOM）. The electromagnetic scattering features of electrical?large targets are analysed in combination with multilevel fast multipole algorithm （MLFMA）. Compared with the higher?order hierarchical basis functions and zero?order phase basis functions （AP?CRWG）， the unknown quantity in this method can be cut off more in the same computational precision Thereby， much of memory and time can be saved. Numerical examples in radar cross section calculation demonstrate the accuracy and efficiency of the proposed method.

Keyword： asymptotic phase； higher?order hierarchical basis function； zero?order phasic basis function； multilevel fast multipole algorithm； electromagnetic scattering

0  引  言

在运用MLFMA分析三维电大尺寸时，通常选用平面RWG基作为矩量法的基函数，通常会产生大量未知量，运用高阶的基函数可大量减少未知量，与低阶矩量法（低阶曲面拟合、低阶基函数）相比，高阶矩量法（高阶曲面拟合、高阶基函数）可采用较少的未知量而获得更高精度的计算结果。高阶基函数包括插值基函数[1]和叠层基函数[2]。随着阶数的升高，插值型虽然计算精度高，但是阻抗矩阵计算的复杂度也越高。叠层型具有自适应性，高一阶的基函数包含低一阶的基函数，既能保证求解精度，也能控制阻抗矩阵计算复杂性。

从面电流与入射波的关系入手，引进相位因子，目标表面上的任意点所产生的面电流相位与这一点的入射波相位有密切的关系。用来逼近目标面电流[J（r）]的基函数，这样就可以减少基函数的个数，使剖分尺寸变大，从而大量减少未知量。因此引进渐近相位[3?4]结合高阶叠层基函数[5]，形成一种新的基函数，称为高阶叠层渐近相位基函数，这样形成的基函数不但含有二者原有的优势，而且使得剖分尺寸更大，更大的减少未知量个数。

为了计算电大尺寸目标散射问题，将这一方法再结合多层快速多级子方法（MLFMA），加大了剖分尺寸，将可以进一步计算更大尺寸的物体，而且由于高阶基函数的高精确性，所以这种新的方法用来可以分析电大甚至电特大复杂物体的表面散射特性。计算结果表明，该方法在内存、时间以及收敛步数上，都要比零阶的相位基函数以及高阶叠层基函数有很大的优势。

1  基本原理

1.1  理想导体表面电磁场积分方程

从麦克斯韦方程组出发，根据理想导体表面边界条件，可以得到：

电场积分方程（EFIE）表示为：

[t?Ei（r）=-jωμ4πSt?G（r，r）?J（r）dS，r∈S] （1）

式中：[Ei]为入射电场；[ω]为角频率；[μ]为自由空间磁导率；[t]为切向单位矢量；[J]为理想导体表面电流密度；[G]为自由空间并矢格林函数；[r]为场点；[r]为源点。endprint

磁场积分方程（MFIE）表示为：

[n×Hi（r）=J（r）-14πn×?×Sg（r，r）dS，r∈S] （2）

式中：[Hi]为入射磁场；[n]为外法线方向；[g（r，r）]为自由空间标量格林函数。

混合场积分方程（CFIE）[6]则为：

[αηEFIE+（1-α）MFIE] （3）

1.2  渐近相位

考虑到理想导电体目标面电流与入射波的关系，将PEC表面的感应电流的相位和振幅分开考虑。在自由空间中，PEC表面的入射波切向分量必有行波因子。即入射电通切向分量的相位可表示为：

[Dinct（r）r∈PEC?e-jki?r] （4）

由理想导电体PEC表面的边界条件：

[Dt（r）r∈PEC=Dinct（r）r∈PEC+Dscat（r）r∈PEC≡0] （5）

得到，沿着PEC表面的散射电通切向分量也有同样的相位：[Dscat（r）r∈PEC?e-jki?r。]所以，电通的切向分量以及散度也含有[e-jki?r。]由：

[?2tρs+k2ρs=?t??Dt?n] （6）

[?t?J=jωρs] （7）

可知，[ρs（r）?e-jki?r，]从而[J（r）?e-jki?r，]即[J（r）=j（r）e-jki?r，]其中幅度项可用传统基函数展开。

1.3  高阶叠层矢量基函数

不同阶的叠层型基函数之间具有相容性，即低一阶的基函数构成高一阶的基函数的一个子集，即该基函数具有叠层特性。根据R.D.Graglia在文献[2]中提出的用于积分方程的散度共形基函数和应用于有限元中的旋度共形基函数的关系：

[fβ（r）=Wβ（r）×n， β=1，2，3] （8）

式中：[fβ]为散度共形矢量基函数；[Wβ]为旋度共形矢量基函数；[n]为单元上的法向量。

[?ξj=n×ΙiJ] （9）

[?ξk=n×（Ιj-Ιi）J] （10）

式中：[J]为雅可比系数，[Ιi，Ιj（i，j=1，2，3，i≠j）]分别表示三条边的切向量。推导过程可参照文献，本文主要针对1.5阶的基函数，下面给出高阶叠层散度共形基函数1.5阶的表达式[7]：

[fe1=1J（ξ2Ι3-ξ3Ι2）] （11）

[fe2=1J（ξ3Ι1-ξ1Ι3）] （12）

[fe3=1J（ξ1Ι2-ξ2Ι1）] （13）

[fe4=1J（ξ2-ξ3）（ξ2Ι3-ξ3Ι2）] （14）

[fe5=1J（ξ3-ξ1）（ξ3Ι1-ξ1Ι3）] （15）

[fe6=1J（ξ1-ξ2）（ξ1Ι2-ξ2Ι1）] （16）

[fe7=1Jξ1（ξ2Ι3-ξ3Ι2）] （17）

[fe8=1Jξ2（ξ3Ι1-ξ1Ι3）] （18）

将1.2节中的渐近相位引入到此高阶基函数中，形成的面电流可写成：

[J（r）=n=1NanFn（r）=n=1Nanfn（r）e-jki?r]

其中[fn（r）]即为上面的高阶叠层散度共形基函数。将此电流展开式代入到积分方程中，并用伽略金匹配形成最终的阻抗矩阵方程形式：

[Zmn=SSG（r，r）fm（r）?fn（r）-1k2??fm（r）??fn（r）-jki?fn（r）??fm（r）+jki?fm（r）??fn（r）+ ki?fm（r）ki?fn（r）ejki·（r-r）dSdS] （19）

2  应用实例与数值计算结果

2.1  理想导体球的双站RCS曲线

为了分析高阶渐近相位基函数（AP?HORWG）的高效性和精确性，首先以一个直径为[15λ]的导体球为例，采用混合积分方程（CFIE），入射频率为300 MHz。图1给出了高阶叠层基函数（HORWG）、AP?HORWG结合MLFMA的双站RCS曲线图，并与Mie级数结果吻合。HORWG的MLFMA最细层设为[0.8λ，]由于AP?HORWG的未知量太少，可用纯矩量法计算。由表1可知，相对于HO?RWG，AP?HORWG可以大量减少未知量，从而节省了大量的内存（以下表中的剖分尺寸均为在保证其同样计算精度下的最大剖分尺寸）。

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼34t1.tif>；

图1 直径为15[λ]的理想导体球E面双站RCS曲线

表1 分析直径[15λ]的导体球的散射结果比较

[基函数＼&；剖分尺寸＼&；未知量＼&；填充

时间 /s＼&；求解

时间 /s＼&；迭代

步数＼&；内存

/MB＼&；HORWG＼&；[0.35λ]＼&；60 980＼&；808.3＼&；199.5＼&；9＼&；882＼&；AP?HORWG＼&；[2.0λ]＼&；1 700＼&；1 939.3＼&；1.56＼&；4＼&；22＼&；]

2.2  理想导体立方体的双站RCS曲线

以边长为[15λ]的导体立方体为例，采用CFIE，频率为300 MHz，入射角为60°斜入射。图2给出了高阶叠层相位基函数（AP?HORWG）、零阶相位基函数（AP?CRWG）结合MLFMA的双站RCS曲线，并与平面RWG的MLFMA吻合很好。平面RWG的MLFMA的最细层尺寸设为[0.235λ，]而由于含有相位的基函数剖分加粗，所以其他两者的MLFMA最细层均设为[1λ。]由表2可知，对于AP?CRWG和平面RWG，AP?HORWG可以减少更多的未知量，达到时间和内存的节省。endprint

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼34t2.tif>；

图2 边长为[15λ]的理想立方体[E]面双站RCS曲线

2.3  目标为飞机

为分析复杂物体的散射特性，以某简单飞机模型为例，说明高阶叠层相位基函数对分析复杂目标散射的高效性以及精确性。图3给出了目标的几何模型。图4给出了与MLFMA结合的双站RCS曲线图，并与RWG的MLFMA结果吻合。飞机尺寸为10 m×8.5 m× 2.75 m。采用EFIE，入射波为垂直入射，频率为600 MHz。平面RWG的MLFMA最细层尺寸为[0.313λ，]其他两者均设为0.8[λ。]由表3可知，对于实际复杂目标，AP?HORWG有明显优势。

表2 分析边长15[λ]的立方体的散射结果比较

[基函数＼&；剖分尺寸＼&；未知量＼&；填充

时间 /s＼&；求解

时间 /s＼&；迭代

步数＼&；内存

/MB＼&；RWG（MLFMA）＼&；[0.1λ]＼&；465 138＼&；329.8＼&；253.7＼&；32＼&；1 658＼&；AP?CRWG＼&；[0.4λ]＼&；28 917＼&；411.5＼&；15.7＼&；6＼&；498.4＼&；AP?HORWG＼&；[1.5λ]＼&；6 660＼&；64.6＼&；14.1＼&；7＼&；106.8＼&；]

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼34t3.tif>；

图3 飞机的几何模型

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼34t4.tif>；

图4 飞机模型的E面双站RCS曲线

表3 分析飞机模型的散射结果比较

[基函数＼&；剖分

尺寸＼&；未知量＼&；填充时

间 /s＼&；求解时

间 /s＼&；迭代

步数＼&；内存

/MB＼&；RWG（MLFMA）＼&；[0.1λ]＼&；102 210＼&；65.4＼&；869.2＼&；290＼&；609.8＼&；AP?CRWG＼&；[0.3λ]＼&；10 968＼&；160.0＼&；244.1＼&；321＼&；127.7＼&；AP?HORWG＼&；[0.8λ]＼&；7 110＼&；83.5＼&；170.8＼&；224＼&；85.3＼&；]

3  结  论

本文将渐近相位引进高阶叠层基函数，综合了二者在矩量法中各自的优势，并结合MLFMA来分析电大物体散射特性。与原有的高阶基函数，以及零阶相位基函数相比，高阶相位基函数可以剖分的更粗，在相同计算精度下，可以大量减少未知量，从而节省大量时间和内存，解决了单机计算大未知量困难的瓶颈。结合MLFMA可以提高计算能力，但剖分尺寸加大导致了MLFMA最细层尺寸的变大，导致模式数增加，从而加大了内存消耗，下一步需找到一种方法来有效地解决此问题。

参考文献

[1] ROBERT D G， DONALD R W， ANDREW F P. Higher order interpolatory vector bases for computational electronmagnetic [J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation， 1997， 45（3）： 329?342.

[2] JON P W. Hierarchical vector basis functions of arbitrary order for triangular and tetrahedral finite elements [J]. IEEE Transactions on Antennas Propagat， 1999， 47（8）： 1 244?1 253.

[3] NIE Z， YAN S， HE S， et al. On the basis functions with tra?velling wave phase factor for efficient analysis of scattering from electrically large targets [J]. Progress in Electromagnetics Research， 2008， 85： 83?114.

[4] YAN Su， HE Shi?quan， NIE Zai?ping， et al. Calculating the wide band responses from metallic objects by employing the phase extracted basis functions [C]// Antennas and Propagation Society International Symposium. San Diego， CA： IEEE， 2008： 1?4.

[5] 马文敏，聂在平，胡俊，等.基于高阶基函数的宽带电磁散射方法[C]//全国天线年会论文集.合肥：中国天线年会，2007：454?458.

[6] HELALY A， FAHMY H M. Combined?field integral equation [J]. Electronics Letters， 1993， 29（19）： 1678? 1679.

[7] 陈明，丁大志，樊振宏，等.一种新的高阶叠层基函数分析电大物体散射特性[J].南京理工大学学报，2008，32（5）：590?593.endprint

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图2 边长为[15λ]的理想立方体[E]面双站RCS曲线

2.3  目标为飞机

为分析复杂物体的散射特性，以某简单飞机模型为例，说明高阶叠层相位基函数对分析复杂目标散射的高效性以及精确性。图3给出了目标的几何模型。图4给出了与MLFMA结合的双站RCS曲线图，并与RWG的MLFMA结果吻合。飞机尺寸为10 m×8.5 m× 2.75 m。采用EFIE，入射波为垂直入射，频率为600 MHz。平面RWG的MLFMA最细层尺寸为[0.313λ，]其他两者均设为0.8[λ。]由表3可知，对于实际复杂目标，AP?HORWG有明显优势。

表2 分析边长15[λ]的立方体的散射结果比较

[基函数＼&；剖分尺寸＼&；未知量＼&；填充

时间 /s＼&；求解

时间 /s＼&；迭代

步数＼&；内存

/MB＼&；RWG（MLFMA）＼&；[0.1λ]＼&；465 138＼&；329.8＼&；253.7＼&；32＼&；1 658＼&；AP?CRWG＼&；[0.4λ]＼&；28 917＼&；411.5＼&；15.7＼&；6＼&；498.4＼&；AP?HORWG＼&；[1.5λ]＼&；6 660＼&；64.6＼&；14.1＼&；7＼&；106.8＼&；]

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图3 飞机的几何模型

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼34t4.tif>；

图4 飞机模型的E面双站RCS曲线

表3 分析飞机模型的散射结果比较

[基函数＼&；剖分

尺寸＼&；未知量＼&；填充时

间 /s＼&；求解时

间 /s＼&；迭代

步数＼&；内存

/MB＼&；RWG（MLFMA）＼&；[0.1λ]＼&；102 210＼&；65.4＼&；869.2＼&；290＼&；609.8＼&；AP?CRWG＼&；[0.3λ]＼&；10 968＼&；160.0＼&；244.1＼&；321＼&；127.7＼&；AP?HORWG＼&；[0.8λ]＼&；7 110＼&；83.5＼&；170.8＼&；224＼&；85.3＼&；]

3  结  论

本文将渐近相位引进高阶叠层基函数，综合了二者在矩量法中各自的优势，并结合MLFMA来分析电大物体散射特性。与原有的高阶基函数，以及零阶相位基函数相比，高阶相位基函数可以剖分的更粗，在相同计算精度下，可以大量减少未知量，从而节省大量时间和内存，解决了单机计算大未知量困难的瓶颈。结合MLFMA可以提高计算能力，但剖分尺寸加大导致了MLFMA最细层尺寸的变大，导致模式数增加，从而加大了内存消耗，下一步需找到一种方法来有效地解决此问题。

参考文献

[1] ROBERT D G， DONALD R W， ANDREW F P. Higher order interpolatory vector bases for computational electronmagnetic [J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation， 1997， 45（3）： 329?342.

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[3] NIE Z， YAN S， HE S， et al. On the basis functions with tra?velling wave phase factor for efficient analysis of scattering from electrically large targets [J]. Progress in Electromagnetics Research， 2008， 85： 83?114.

[4] YAN Su， HE Shi?quan， NIE Zai?ping， et al. Calculating the wide band responses from metallic objects by employing the phase extracted basis functions [C]// Antennas and Propagation Society International Symposium. San Diego， CA： IEEE， 2008： 1?4.

[5] 马文敏，聂在平，胡俊，等.基于高阶基函数的宽带电磁散射方法[C]//全国天线年会论文集.合肥：中国天线年会，2007：454?458.

[6] HELALY A， FAHMY H M. Combined?field integral equation [J]. Electronics Letters， 1993， 29（19）： 1678? 1679.

[7] 陈明，丁大志，樊振宏，等.一种新的高阶叠层基函数分析电大物体散射特性[J].南京理工大学学报，2008，32（5）：590?593.endprint

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图2 边长为[15λ]的理想立方体[E]面双站RCS曲线

2.3  目标为飞机

为分析复杂物体的散射特性，以某简单飞机模型为例，说明高阶叠层相位基函数对分析复杂目标散射的高效性以及精确性。图3给出了目标的几何模型。图4给出了与MLFMA结合的双站RCS曲线图，并与RWG的MLFMA结果吻合。飞机尺寸为10 m×8.5 m× 2.75 m。采用EFIE，入射波为垂直入射，频率为600 MHz。平面RWG的MLFMA最细层尺寸为[0.313λ，]其他两者均设为0.8[λ。]由表3可知，对于实际复杂目标，AP?HORWG有明显优势。

表2 分析边长15[λ]的立方体的散射结果比较

[基函数＼&；剖分尺寸＼&；未知量＼&；填充

时间 /s＼&；求解

时间 /s＼&；迭代

步数＼&；内存

/MB＼&；RWG（MLFMA）＼&；[0.1λ]＼&；465 138＼&；329.8＼&；253.7＼&；32＼&；1 658＼&；AP?CRWG＼&；[0.4λ]＼&；28 917＼&；411.5＼&；15.7＼&；6＼&；498.4＼&；AP?HORWG＼&；[1.5λ]＼&；6 660＼&；64.6＼&；14.1＼&；7＼&；106.8＼&；]

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图3 飞机的几何模型

<；E：＼2014年23期＼2014年23期＼Image＼34t4.tif>；

图4 飞机模型的E面双站RCS曲线

表3 分析飞机模型的散射结果比较

[基函数＼&；剖分

尺寸＼&；未知量＼&；填充时

间 /s＼&；求解时

间 /s＼&；迭代

步数＼&；内存

/MB＼&；RWG（MLFMA）＼&；[0.1λ]＼&；102 210＼&；65.4＼&；869.2＼&；290＼&；609.8＼&；AP?CRWG＼&；[0.3λ]＼&；10 968＼&；160.0＼&；244.1＼&；321＼&；127.7＼&；AP?HORWG＼&；[0.8λ]＼&；7 110＼&；83.5＼&；170.8＼&；224＼&；85.3＼&；]

3  结  论

本文将渐近相位引进高阶叠层基函数，综合了二者在矩量法中各自的优势，并结合MLFMA来分析电大物体散射特性。与原有的高阶基函数，以及零阶相位基函数相比，高阶相位基函数可以剖分的更粗，在相同计算精度下，可以大量减少未知量，从而节省大量时间和内存，解决了单机计算大未知量困难的瓶颈。结合MLFMA可以提高计算能力，但剖分尺寸加大导致了MLFMA最细层尺寸的变大，导致模式数增加，从而加大了内存消耗，下一步需找到一种方法来有效地解决此问题。

参考文献

[1] ROBERT D G， DONALD R W， ANDREW F P. Higher order interpolatory vector bases for computational electronmagnetic [J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation， 1997， 45（3）： 329?342.

[2] JON P W. Hierarchical vector basis functions of arbitrary order for triangular and tetrahedral finite elements [J]. IEEE Transactions on Antennas Propagat， 1999， 47（8）： 1 244?1 253.

[3] NIE Z， YAN S， HE S， et al. On the basis functions with tra?velling wave phase factor for efficient analysis of scattering from electrically large targets [J]. Progress in Electromagnetics Research， 2008， 85： 83?114.

[4] YAN Su， HE Shi?quan， NIE Zai?ping， et al. Calculating the wide band responses from metallic objects by employing the phase extracted basis functions [C]// Antennas and Propagation Society International Symposium. San Diego， CA： IEEE， 2008： 1?4.

[5] 马文敏，聂在平，胡俊，等.基于高阶基函数的宽带电磁散射方法[C]//全国天线年会论文集.合肥：中国天线年会，2007：454?458.

[6] HELALY A， FAHMY H M. Combined?field integral equation [J]. Electronics Letters， 1993， 29（19）： 1678? 1679.

[7] 陈明，丁大志，樊振宏，等.一种新的高阶叠层基函数分析电大物体散射特性[J].南京理工大学学报，2008，32（5）：590?593.endprint