张平峰 孟 蕾 肖 韩

（1.海军驻上海某军事代表室 上海 200000）（2.海军航空工程学院 烟台 264001）（3.91867部队41分队 义乌 322000）

1 引言

被动雷达导引头具有探测距离远、隐蔽性好、耗能少等优点，已经被广泛用于反辐射导弹［1］和防空导弹［2］。现代海上复杂战场干扰环境下，其抗干扰性能评估显得越来越重要［3～5］。抗干扰指标不是都可以量化，有一部分指标只能进行定性分析，所以必须通过定量和定性相结合的方法来综合评价导引头的抗干扰能力，考虑到抗干扰指标的多层次性和评估的模糊性，本文选用模糊层次分析法建立被动雷达导引头抗干扰能力指标体系［6～8］。

2 基于自信度的专家打分法

传统的专家打分法只要求专家对各因素之间的相对重要性打分。由于评估问题量化的复杂性，专家的打分往往存在一些不确定的主观因素。为了描述这种不确定性，可以请专家给相对重要性打分的同时，也对自己打分时的自信度做合理的估计，同样也以打分的形式给出，这个自信度可以用重要性比值的均方差来具体量化，这种打分法是把相对重要性比值看作是有一定波动范围的随机变量。专家对每一对指标评估时要给出两个分值，一个代表重要性比值的大小，另一个代表自信度的大小，打分的分值在1～9之间。

提出层次分析法的美国运筹学家T.L.Saaty最早采用的1～9标度法对打分进行赋值，后人对标度法进行了改进，根据韦伯—费希纳准则，人的主观感觉等差递增时，刺激感觉的客观物理量是等比递增的，所以指数标度法更符合人们的认知规律，专家对重要性程度和自信度的打分含义如表1所示，表中同时给出了打分分值相对应的指数标度值。

表1 专家打分的含义

假设相对重要性比值X近似服从正态分布，即X～N（β，δ2），X的概率密度函数可以表示为

由于正态分布的随机变量基本分布在均值β的3δ范围内，根据以上分析可知，专家对指标的相对重要性进行评估时给出的不再是单一数值，而是根据自己的经验给出的一个数集（β－3δ，β＋3δ），在这个集合内fX（x）的积分几乎等于1，重要性比值不会接近0，而δ一般很小，所以在β－3δ＞0时，有

假设专家对重要性比值X的打分分值为k，对自信度δ0的打分分值为t，标度计算公式为

式中，β为X的均值，δ为X 的均方差。自信度δ0可以认为是X的均方差δ与均值β的比值，也就是X的相对误差，δ0越大表示X的波动范围越大，此时专家对自己的判断自信性也越小，相反，δ0越小表示X的波动范围越小，专家对自己的判断自信性也越大。γ为对自信度打1分时δ0的大小，专家自信性最差时打9分，δ0＝9γ，此时X大部分分布在β（1±27γ）范围内，考虑到专家自信性最差时允许X的波动范围在30%以内，γ可取值1%。

被动雷达导引头的抗干扰指标主要有抗有源噪声干扰和欺骗干扰指标，无源干扰对被动雷达作用不大。抗有源噪声干扰指标主要有测角精度、跟踪精度、压制系数和相对烧穿距离。抗欺骗干扰指标主要有抗欺骗干扰概率和抗诱偏瞄准误差。针对被动雷达导引头识别目标所采取的若干抗干扰措施，识别能力指标有识别概率，载频、重频和脉宽可识别范围，抗频率捷变范围等。被动雷达导引头抗干扰指标体系如图1所示。

图1 被动雷达导引头抗干扰指标体系

以被动雷达导引头抗有源噪声干扰指标下层的四个指标为例，专家打分表如表2所示，相对重要性只需要两两进行比较，所以四个指标的相对重要性比值有C24个，n个指标的重要性比值有C2n个，两两比较时顺序不同的相对重要性比值互为倒数，所以只需要知道其中一个就行，为了方便标度，专家只需要给出大于1的比值，同时在表中注明比较的顺序。

表2 专家对W6～W9指标的打分表

表3 X的均值和均方差计算表

表中，专家对W7／W6的重要性打分k＝3.32，对自信度打分t＝2.51，表明这位专家认为W7指标比W6指标稍微重要，并且对自己判断非常有自信。k＝3.32对应的重要性比值的均值β＝1.89，t＝2.5对应的自信度是δ0＝1.51%，重要性比值的均方差δ＝βδ0＝0.029。同样方法可以得到其它重要性比值的均值β、自信度δ0和均方差δ，专家打分表经过指数标度法处理后得到表3。

重要性比值X＝W7／W6的概率密度函数为f76（y），类似的有f86（y），f96（y），f87（y），f97（y），f98（y），它们的图像如图2所示。

图2 X概率密度函数

为了更加客观地评价，专家往往不止一个，若总共有m个专家参加打分，他们对某一对指标的打分处理结果为（β1，δ1），（β2，δ2），…，（βm，δm），按照正态分布随机变量叠加理论，m个专家的评价综合结果为（β，δ）

3 构造判断矩阵

对专家打分的指数标度实际上只是给出了判断矩阵中非对角线元素中的一半，即两两比较时，只给出了其中大于1的比值，而且这个比值是个随机变量X，当这两个元素位置颠倒过来时，重要性比值是小于1的，这时重要性比值也是个随机变量Y［9］。构造判断矩阵时，需要由X计算相应的Y，设X的分布函数和概率密度函数分别为FX（x）和fX（x），Y的分布函数和概率密度函数分别为FY（y）和f′Y（y），并且有Y＝1／X。在 X 近似服从正态分布的假设下，X和Y的散布范围都很小，为负数的可能性极小，即可以认为FX（0）＝FY（0）＝0，x，y＞0，计算Y的概率密度函数

下面验证f′Y（y）的积分是否为1：

做变量代换，x＝1／y，由式（2）知

明显随机变量Y的分布不属于正态分布，f′Y（y）的形式和逆高斯分布类似

在λ趋于无穷大时，逆高斯分布逐渐趋近于高斯分布，可以设想一定条件下Y也是近似服从正态分布的。为了统一判断矩阵中各个元素的分布情况，可以假设小于1的重要性比值Y也是符合正态分布的，并且Y的相对误差σ0和对应的大于1的重要性比值X的相对误差δ0是相同的，即σ0＝δ0，这样就避免了通过随机变量X的分布求随机变量Y的分布，结果不为正态分布的困难局面。根据假设Y～N（α，σ2），则有

下面证明，y在1／β附近，即当y－1／β≈0时，有f′Y（y）≈fY（y），将式（6）和式（10）中的指数部分分别展开成泰勒级数：

当δ0≤0.1的时候，由y≈1／β知1／β－y2β≈0，式（11）分子减去分母得

所以，可得出结论：在δ0≤0.1的情况下，当X服从正态分布时，Y也是近似服从正态分布的。β＝2，自信度δ0取不同值时，概率密度函数f′Y（y）和fY（y）的图像如图3所示。

从图2中可以看f′Y（y）和fY（y）的图像非常相似，尤其是当相对误差δ0≤0.1时，这说明通过Y＝1／X由X 求得Y的分布情况和通过X、Y有相同相对误差σ0＝δ0求得的结果几乎是相同的，这两种方法并不冲突。

图3 两种概率密度函数

考虑到后期对判断矩阵进行数据处理的方便性，选用第二种方法，经计算可以得到小于1的重要性比值的均值α、自信度σ0和均方差σ，如表4所示。

表4 Y的均值和均方差计算表

重要性比值Y＝W6／W7的概率密度函数为f67（y），类似的有f68（y），f69（y），f78（y），f79（y），f89（y），它们的图像如图4所示。

图4 Y的概率密度函数

这样可以认为判断矩阵中所有的元素都属于变化范围较小的正态随机变量，所以每个元素需要有两个参数才能完整描述，即均值和均方差。W6～W9指标的判断矩阵如表5所示。

表5 W6～W9指标的判断矩阵

4 计算指标权重

n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根λmax＝n，且当正互反矩阵A非一致时，必有λmax＞n。可以由λmax是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。当λmax比n大得越多，A的非一致性程度也就越严重，λmax对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映各指标所占的比重。因此，对判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：

第一步，计算一致性指标CI

第二步，查找相应的平均随机一致性指标RI。对n＝1，…，9，指数标度法RI的值如表6所示。

表6 指数标度法RI的值

指数标度法的平均随机一致性指标RI是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵：随机地从9－8／8，…，9－1／8，1，91／8，…，98／8共17个数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值λ′max，并定义

第三步，计算一致性比例CR

当CR＜0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。若有判断矩阵A＝（aij）n×n，定义矩阵C＝（cij）n×n满足

则称C为判断矩阵A的导出矩阵。

找出导出矩阵C中最大项cij后，说明判断矩阵A中对应的元素aij是造成不一致性最严重的元素，修改元素aij使得

重新进行一致性判断，若还不满足一致性要求，继续根据导出矩阵寻找不一致元素aij并修改，直至满足一致性为止。求出判断矩阵A的最大特征值λmax对应的归一化特征向量Q＝（q1，…，qn），qi（i＝1，…，n）就是第i个指标的权重，Q就是这n个指标的权重向量。

按照表5判断矩阵中各元素的均值和方差，随机生成一个判断矩阵表7。

表7 随机生成判断矩阵

利用Matlab的EIG函数求得上述矩阵的特征值和特征向量，最大特征值λmax＝4.0998，根据式（12）得CI＝0.0333，RI＝0.546，对应的CR＝0.061＜0.1，判断矩阵满足一致性，对应的归一化特征向量为Q＝（0.0906 0.1919 0.3190 0.3985），权重向量Q的元素即为W6～W7对应的指标权重。

5 结语

考虑了自信度的专家打分法更能反映评估中的不确定性因素，利用合理的指数标度法对打分进行数量化，虽然基于自信度的判断矩阵计算相对复杂一些，但是也能更好地反映评估指标间相对重要性关系的细微不确定性，本文通过严密的数学推导得出指标权重的算法，通过对被动雷达导引头抗有源干扰指标的子指标间相对权重的计算，结果验证了算法的有效性和准确性。

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