徐 闻 王 斌

（解放军信息工程大学信息系统工程学院，郑州，450002）

引 言

随着通信领域在军用与民用的发展，电磁环境越来越复杂，频谱资源的划分日益紧张。在有限的频谱资源里同一信道出现两个或两个以上的时频混叠信号现象越来越普遍［1］，这种情况就被称为共信道时频混叠信号。同时信号的参数估计是信号自动调制识别的一个重要先验条件。

然而目前已有文献关于时频混叠信号的参数估计的研究，多是应用循环自相关，循环谱和循环累计量对信号进行循环平稳性分析。文献［2］通过搜索循环累计量的峰值点来提取出已知信号的载频，但其只局限于同类信号的混合［2］。文献［2］通过对混合信号循环谱包络的计算可以估计出混合信号各自的载频与码元速率，但该方法只限于MPSK还未扩展到其他类型的型号［3］。文献［4］利用四阶循环累积量的功率谱实现了双信号的码元速率估计，并将信号集扩大到BPSK、QPSK和16QAM［4］。文献［5］利用二阶循环累积量实现了双信号的载频估计，信号类型主要包括BPSK，QPSK，8QAM 和16QAM［5］。但以上方法都是对信号的载频和码元速率分别进行估计、因此存在参数配对的问题。而且以上文献均是考虑信号在理想高斯信道下的模型，没有考虑多径衰落的情况。

本文采用一种基于循环谱的时频混叠信号参数估计方法，并联立形态学滤波的思想，通过先估计出混合信号的载频，再分别以每个载频为条件估计出对应的码元速率，解决了参数配对的问题。同时采用形态学滤波的思想在提取离散谱线时能有效地降低背景噪声，可以精确估计BPSK，8QAM混合信号的调制参数。经仿真验证，该方法切实有效。同时本文就时频混叠信号在多径与多普勒频移信道下的情况进行研究，分析了多径与频移对算法性能造成的影响，并对其进行仿真验证。

1 算法原理分析

1.1 信号模型

本文为单信道接收模型，那么在一段时间内N个独立信号混合经过高斯白噪声的环境后落入接收机的接收带宽范围内，其时域表示为

式中si（t）为中频过采样信号，其表示为

式中：Ei为独立信号的能量；ai（m）为发送的信息码元序列；Mi为发送的码元个数；qi（t）为成形脉冲；fci为各个独立信号的载频；Ti为码元周期，其倒数即为码元速率fbi；φi为载波初相。

由于时频混叠度没有一种严格的规定，所以在本文中如下定义时频混叠度［6］：假设是两个信号同一时间进入同一信道，在时域上混叠度为1，在频域上的混叠度为

式中：2fb1，2fb2为各个信号的带宽；fb12为两信号混叠部分，其取值由fc1，fc2来决定。功率比定义为

1.2 混合信号循环谱

定义信号的自相关函数

混合信号的自相关函数就可以写为

由于各个信号彼此之间独立，各信号与噪声也独立，所以si（t）（t－τ）＝0…i≠j，si（t）n＊（tτ）＝0，n（t（t－τ）＝0。那么混合信号的自相关函数就化简为

式（6）说明若混合信号不加噪其自相关函数等于各个信号自相关函数的和；噪声的各个时刻不相关，只有τ＝0时，E｛n（t）n＊i（t－τ）｝≠0。

将R（t，τ）表示为傅里叶级数展开的形式，再做变换即得到循环自相关函数那么循环谱就可以表示为

由混合信号自相关函数的性质，可将循环谱改写为

根据自相关函数的叠加性，混合信号的循环谱等于各个信号循环谱在对应循环频率处的和再加上噪声的循环谱的值。根据循环频率的选择性，只有在各自循环频率处的信号的循环谱值不为零［7］。

由文献［8］BPSK和8QAM的循环谱可以写为［8］

式中Q（·）为周期T的sinc函数

1.3 循环谱的截面特性

由1.2节可知，循环谱也满足叠加性和信号的选择性。

循环谱是一个二维变换，两个参数分别是谱频率f和循环频率α［9］。通常在分析时一般选取谱频率等于零和等于信号载频值的截面进行分析。同时有以下结论：

（1）对于平稳噪声，截面只在α＝0时其值不为0。

（2）对于复包络混合信号，在谱频率f＝0时，当前截面会显示每个信号的载频谱线，在谱频率f＝fci时，当前截面只会显示信号si的载频谱线。且谱线会以二倍载频2fc为中心。

（3）对于复包络信号，循环频率为码元速率fb的整数倍时，在谱频率截面上kfb处出现离散谱线。

根据以上几点，二阶循环平稳信号的循环频率为

图1 BPSK与BPSK混合f＝0截面Fig.1 f＝0profile of BPSK mixed BPSK

用图1－6来验证BPSK混8QAM信号和BPSK混BPSK信号，信号载频fc1＝3 000Hz，fc2＝4 200Hz。fb1＝2 000B，fb2＝2 000B。信号采用升余弦成形滤波，脉冲成形指数0.5。fs＝12 000Hz，码元个数N＝2 048。信噪比取为5dB。

由以上理论分析和仿真可以得出，由二阶信号循环频率出现的位置，在f＝0截面最大值出现在α＝±2fci处，同时次大值出现在α＝±2fcj（j≠i）。在f＝fci截面，最大值出现在α＝0，次大值出现在α＝±fb。

图2 BPSK与BPSK混合f＝fc1截面Fig.2 f＝fc1profile of BPSK mixed BPSK

图3 BPSK与BPSK混合f＝fc2截面Fig.3 f＝fc2profile of BPSK mixed BPSK

图4 BPSK与8QAM混合f＝0截面Fig.4 f＝0profile of BPSK mixed 8QAM

图5 BPSK与8QAM混合f＝fc1截面Fig.5 f＝fc1profile of BPSK mixed 8QAM

图6 BPSK与8QAM混合f＝fc2截面Fig.6 f＝fc2profile of BPSK mixed 8QAM

1.4 多径与多普勒频移信道对信号循环谱的影响

在实际情况中，多径与频移情况下时频混叠信号的循环谱也是值得研究探索的一个方面。由于不同信号的多普勒频移和多径衰落信道下统一建模较困难［10］，因此本文只对BPSK信号加以分析与验证。其模型可根据式（2）写为

式中εj，τj，φj分别为第j条路径衰落系数，相对延迟和相位因子。

信号求解其循环谱还是由式（6－9）来求解，其中时频混叠信号依然满足各个信号循环谱独立的特性，因此在多径与频移的情况下混叠信号循环谱依然为各个信号循环谱之和。那么在二阶循环平稳处的循环频率就表示为［11］

当选取f＝0截面时，循环谱出现在α＝2（fci＋fd）±kfbi。由于频移fd是一个时变的值，它有一个动态范围。因此就造成了循环频率α也变成了一个范围，意味着频移造成了信号在某些循环频率处的频移。

当选取f＝fci截面时，循环谱出现在α＝±kfbi。频移展宽会影响到各个截面，所以该截面也造成信号在某些循环频率处的频移。

同时，由于多径衰落的影响。截面可能出现非循环频率处出现尖峰，循环频率处尖峰降低。这些因素都对衰落与多普勒信道下时频混叠信号的载频与码元速率估计的精准度会造成一定的影响。

2 算法实现

根据1.3节的结论，本节就可以设计算法先对f＝0截面的谱线提取谱峰后进行谱峰搜索估计出时频混叠信号各个信号的载频，再根据估计出载频谱线对应的位置来决定f＝fci提取含有码元信息的谱线而后实现对码元速率的估计。但由于信号经过非线性变换后产生的背景色噪声非常不利于峰值的提取，特别是信噪比低、数据量小的时候，部分噪声幅度可能会超过峰值。因此需要设计一种方法来对背景色噪声加以抑制。

2.1 数学形态学滤波

数学形态学的基本思想是利用具有一定形态的结构元素去衡量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。通常是将信号频谱看作为灰度图像来进行处理，常用的灰度形态变换有：腐蚀、膨胀、开运算、闭运算［12］。

令信号f（x）为定义在d维离散空间的函数，结构元素B为该空间的有限子集，定义一对称临域Br≡｛－b：b∈B｝为B关于原点对称的集合，Bx≡｛b＋x，b∈B｝为B的平移，那么这4种灰度形态变换的定义如下

对信号频谱进行形态学的处理时，腐蚀运算可以减小信号的峰值，加宽谷域；而膨胀运算可以减小信号谷值，扩展峰顶。开运算可以抑制信号的尖峰，消除信号毛刺，平滑信号频谱；闭运算则用以抑制信号波谷噪声，填平信号的杂散脉冲。

对于式（13）分析等效为，先腐蚀后膨胀就为开运算，先膨胀后腐蚀就为闭运算。

对于循环谱各个截面，在低信噪比下可能某些点的噪声峰值会超过载频或码元速率的峰值，而应用形态学滤波后，将会对背景色噪声较好地抑制从而会最大程度地提取出离散的谱线。这样会对估计算法一定程度地提升性能。在实验中由以下步骤进行优化提取谱线。

步骤1 提取谱线后的某个截面为s（t），对其进行开运算，形态学滤波的模板长度为N，对其中的某点t定义两个端点s（t－N），s（t－1）。ss（i）＝［s（t－N＋i）：s（t＋i－1）］为该模板长度N关于中心对称的一个临域，且i∈［1，N］。w（t）＝max［min（ss（1）），…，min（ss（N））］提取出当前点色噪声值，每个点以此类推得到该部分噪声，即W＝O［s（t）］B。

步骤2 对提取出色噪声的谱线进行白化处理，由Sw（t）＝s（t）－W去掉色噪声得到去除噪声后的谱线Sw（t）。

步骤3 对白化后的谱线进行闭运算，增强峰值，填平负脉冲。选取临域的区间和步骤1开运算的选取一样。sc（t）＝min［max（sw（）），…，max（sw（N））］，每个点以此类推即是Sc＝C［Sw（t）］B。

步骤4 再对SC提取基底，方法同步骤1，得到Sn。最后提取出的谱线S＝Sc－Sn。

图7，8是BPSK与BPSK混合在5dB时仿真结果，文献［13］用的是类似于中值滤波的谱线提取方法，由图7观察，虽然码元谱线非常明显，但是噪声部分呈起伏状。这就可能有低信噪比情况下噪声谱峰高于码元谱峰的情况；而由图8，本文方法提取后滤除了基底，使得所有可能的离散谱线相对高度起始位置都大致在同一高度，这就会很大程度避免低信噪比下噪声谱峰高于码元谱峰的情况。

图7 用文献［13］方法提取fc1谱线Fig.7 fc1profile spectrum－line of Ref.［13］

图8 本文方法提取fc1谱线Fig.8 fc1profile spectrum－line of this paper

2.2 算法流程

整个算法流程如图9所示。在本文算法计算f＝0截面得到的循环谱，而后提取谱线，然后从循环谱一端开始搜索，当搜索到i点为第1个max1值时，对i点和周围一个短距离L长的临域置0，即s（t）＝0，t∈［i－L，i＋L］，之后从第i＋L＋1点开始，由对称性搜索到max′1的值而后对周围临域置0。接下来逐步搜索［max2，max′2］…［maxn，max′n］。对于f＝fci截面，只需提取谱线后找出对应的一对最大值的位置。

图9 算法流程Fig.9 Flow chart of the algorithm

本文详细算法流程如下所示。

步骤1 设同时是两个信号混合进入接收机，先对信号进行预处理，进行幅值归一化的处理。

步骤2 对处理后的混合信号计算其循环谱f＝0截面，由2.1节的方法提取谱线，搜索谱峰估计载频fc1，fc2。根据对称性，每搜索出的一对最大值（－2fci，2fci）进行运算，（｜2fci｜＋｜－2fci｜）／4的位置为信号si的载频对应位置。

步骤3 由估计出的载频fc1，fc2分别计算其循环谱f＝fc1，f＝fc2截面，而后由2.1节的方法提取含有码元信息的谱线，再搜搜谱峰估计码元速率fb1，fb2。根据对称性，每搜索出的一对次大值（－fbi，fbi）进行运算，（｜fbi｜＋｜－fbi｜）／2的位置为信号si的码元速率对应位置。

步骤4 由于循环频率是由采样率fs归一化后的值，因此估计载频，码元速率在找出对应位置后还得乘以fs。

3 仿真验证与分析

3.1 实验1

本实验是验证分析采用不同数据长度对算法性能的影响。选取BPSK与BPSK混合。参数分别选取载频为fc1＝3 000Hz，fc2＝4 200Hz；码元速率为fb1＝2 000B，fb2＝2 000B。采样速率fs＝12 000Hz，采用升余弦成形，脉冲成形系数为0.5。对每组实验数据长度分别选取2 048个码元与1 024个码元。采用500次蒙特卡洛实验，信噪比为－13～7dB。最后以归一化均方误差来定义估计性能。

首先由仿真图10观察分析，在2 048个码元时功率比1∶1的时候载频在－10dB就能实现精确估计，误差大概在0.000 1量级，码元速率在大概4dB就能实现精确估计，误差大概在0.001量级。而随着数据点的减少，发现载频和码元速率要实现精确估计的信噪比会有所提高，而且同信噪比下均方误差较大。这是由于循环平稳特性反应的是信号特征的统计特性，数据点的选取越长越能反映出信号的特征，受到噪声的影响就小。

图10 不同数据点载频与码元速率估计精确度Fig.10 MSE of carrier frequency and chip rate estimation with different data length

3.2 实验2

本实验是验证分析采用不同功率比混合对算法性能的影响。选取BPSK与8QAM混合，数据长度选取为2 048个码元，功率比分别取为1∶1和3∶1。载频、码元速率、采样速率及其他条件和实验方式同实验1。

由仿真图11观察分析，当功率比为3∶1的情况下，大功率信号的载频和码元速率估计准确率在相同信噪比下比1∶1功率比的时频混叠信号的估计值都要高；相反的，小功率信号的载频和码元速率估计精度在相同信噪比下比1∶1功率比的时频混叠信号的估计值都要低。这是因为在非等功率情况下，由于信号混合的原因致使小功率信号在整个环境的信噪比降低，大功率信号在整个环境的信噪比提高。

图11 不同功率比载频与码元速率估计精确度Fig.11 MSE of carrier frequency and chip rate estimation with different power ratios

3.3 实验3

本实验是验证分析采用不同混叠度的时频混叠信号对算法性能的影响。选取BPSK与BPSK混合，数据长度选取为2 048个码元。时频混叠度的选取根据2.1节的定义来选取。选取fc1＝3 000Hz，fc2＝4 200Hz；fb1＝2 400B，fb2＝2 400B，频域混叠度为0.6，选取fc1＝3 000Hz，fc2＝4 000Hz，fb1＝2 000B，fb1＝2 400B，频域混叠度为0.77。采样速率及其他条件和实验方式同实验1。

由仿真图12观察分析，在选取不同参数而构成不同频域混叠度的时频混叠信号的载频与码元速率估计的精确度不会受混叠度的影响。由2.2节时频混叠信号的循环谱等于各个信号的循环谱的叠加，该性质不受混叠度的影响。因此不同混叠度不会对算法性能造成影响。

图12 不同混叠度载频与码元速率估计精确度Fig.12 MSE of carrier frequency and chip rate estimation with different spectrum overlapped

3.4 实验4

本实验是验证分析多径与多普勒频移信道下对算法性能的影响。选取BPSK与BPSK混合，载频为fc1＝3 000Hz，fc2＝4 200Hz；码元速率为fb1＝2 000B，fb2＝2 000B。采样速率为fs＝12 000Hz，采用升余弦成形，脉冲成形系数为0.5，数据长度2 048个码元，采用500次蒙特卡洛实验，信噪比从－13dB到7dB。在加入多径与频移的情况下，最大多普勒频移取为300Hz。仿真中设定的信道为2条路径的时频混叠信号叠加而成，每路径的幅度衰减因子均为1，各径的时间延迟为2个采样周期。衰落系数ε＝［0.5 0.7］。

以f＝fc1截面为例，信噪比取为0dB。由仿真图13，14观察分析，在多径衰落信道，在循环频率处仍旧出现了离散谱线。但幅度与高斯信道下不同，另外在非循环频率处也有较为明显的离散谱线。由于多普勒效应存在，信号循环频率在某些地方发生偏移。

由仿真图15观察分析，在多径衰落信道下，时频混叠信号载频与码元速率的估计精度在同一信噪比下都低于在高斯信道下的估计精度，误差量级大概在0.001。这是由于多径与频移情况下，各个循环谱截面离散谱线幅值较高斯信道下会有所不同，在非循环频率处可能也出现离散谱线。同时可能在某些地方发生多普勒偏移，这些因素给谱线提取和估计工作带来了一定影响。同时影响程度取决于多径数量，衰落系数，时间延迟和频移范围。

图13 高斯信道下f＝fc1截面Fig.13 f＝fc1profile of Gaussian channel

图15 不同信道下载频与码元速率估计精确度Fig.15 MSE of carrier frequency and chip rate estimation with different channels

4 结束语

本文以循环谱为基础，结合数学形态学滤波的思想设计了一种时频混叠信号载频与码元速率估计算法。该算法能够实现对BPSK与8QAM任意混合信号载频与码元速率的估计，解决了参数匹配的问题，同时应用形态学滤波的思想能够抑制背景色噪声，让提取的谱峰离散谱线能够“脱颖而出”；设计搜索谱峰的步骤也能够降低搜索量。最后仿真验证了各种情况该算法的性能并做了分析。同时本文探究了在多径与多普勒频移信道下本算法的性能并对结果做了分析。但是本文只是仿真了两径衰落信道，对于更加复杂的情况还没考虑，不同的参数选取也会造成不同程度的影响；同时也只考虑了两个信号混叠情况，对于3个以上信号情况，虽由本文理论分析各个信号的参数估计不受影响，但实际情况是3个以上信号计算循环谱时会因为信号个数多而使信噪比降低，同时3个以上信号计算时实际中会出现交叉项，算法性能会较大程度地降低。

［1］张珂.单通道阵列无失真空时二维谱估计算法［J］.数据采集与处理，2011，26（6）：1－7.Zhang Ke.Distortionless space－time spectrum estimate algorithm in switch antenna array system［J］.Journal of Data Acquisition and Processing，2011，26（6）：1－7.

［2］李旷代.单通道时频重叠双信号调制识别和参数估计研究［D］.哈尔滨：哈尔滨工程大学，2008.Li Kuangdai.The research of the modulation recognition and parameter estimatin of co－channel multisignals［D］.Harbin：Harbin Engineering University，2008.

［3］于宁宇，马红光，石荣，等.基于循环谱包络的共信道多信号参数估计［J］.西南交通大学学报，2011，46（2）：303－309.Yu Ningyu，Ma Hongguang，Shi Rong，et al.Parameter estimation of co－channel multi－signals based on cyclic spectrum amplitude［J］.Journal of Southwest Jiaotong University，2011，46（2）：303－309.

［4］郭黎利，李旷代，石荣，等.单信道时频重叠双信号的码速率估计方法［J］.电子信息对抗技术，2009，24（1）：1－4.Guo Lili，Li Kuangdai，Shi Rong，et al.Method for symbol rate estimation of single channel time－frequency overlapped two－signal［J］.Electronic Information Warfare Technology，2009，24（1）：1－4.

［5］龚牡丹，郭荣辉.基于二阶循环累积量的载波频率估计［J］.计算机工程，2011，37（5）：1－3.Gong Mudan，Guo Ronghui.Carrier frequency estimation based on second－order cyclic cumulants［J］.Computer Engineering，2011，37（5）：1－3.

［6］Yu Zhibin，Sun Yongkui，Yu Ningyu.The Cyslostationary characteristic analysis of the time－frequency overlapped signal in single－channel［C］／／2nd International Conference on Advances in Energy Engineering.Nanjing：IEEE，2011：1041－1046.

［7］Fu H T，Wan Q，Shi R.Modulation classification based on cyclic spectral feature for Co－channel timefrequency overlapped two－signal［C］／／PACCS.Beijing：IEEE，2009：31－34.

［8］Zhang Zibing，Li Liping，Xiao Xianci.Carrier frequency and chip rate estimation based on cyclic spectral density of MPSK signals［C］／／ICCCAS.Chengdu：IEEE，2004，2：859－863.

［9］Gardner W A，Brown W A，Chen C K.Spectral correlation of modulated signals part 2：Digital modulation［J］.IEEE Trans on Communication，1987，35（6）：595－601.

［10］Wu H C，Saquib M，Yun Z.Novel automatic modulation classification using cumulant features for communications via multipath channels［J］.IEEE Trans on Wireless Commun，2008，7（8）：3098－3105.

［11］翟旭平，韩延坤，刘祥震.信号循环谱在衰落与多普勒信道中的特性［J］.上海大学学报：自然科学版，2010，16（1）：5－9.Zhai Xuping，Han Yankun，Liu Xiangzhen.Cyclic feature of signals in fading Doppler channels［J］.Journal of Shanghai University：Natural Science，2010，16（1）：5－9.

［12］李剑强，江桦，崔伟亮.一种抑制参数估计背景色噪声的形态学滤波算法［J］.信号处理，2010，26（11）：1652－1656.Li Jianqiang，Jang Hua，Cui Weiliang.A novel morphologic filtering algorithm for colored－background noise suppressing of parameter estimation［J］.Signal Processing，2010，26（11）：1652－1656.

［13］刘双平，闻祥，金梁.一种抑制符号速率估计背景色噪声的非线性滤波算法［J］.电子学报，2007，35（1）：95－99.Liu Shuangping，Wen Xiang，Jin Liang.A new nonlinear filtering algorithm for colored background selfnoise suppressing of symbol rate estimation［J］.Acta Electronica Sinica，2007，35（1）：95－99.