叶丹丹，罗继亮

（华侨大学 信息科学与工程学院，福建 厦门361021）

1 基本概念和定义

Petri网结构表示为N＝（P，T，Pre Post）.其中：P是库所的集合，P＝｛p1，p2，…，pn｝；T是变迁的集合，T＝｛t1，t2，…，tm｝；Pre：P×T→｛0，1，…｝是前向关联矩阵，定义了从库所到变迁的有向弧的权值；Post：T×P→｛0，1，…｝是后向关联矩阵，定义了从变迁到库所的有向弧的权值.标识是n维的列向量m，其元素m（j）是第j个库所的托肯数目.m0是系统的初始标识，变迁tj可表示为一个m维向量δj，其第j分量等于1.当tj发生后，系统到达新标识m′＝m+D·δj.其中：D＝Post-Pre称为关联矩阵；变迁序列表示为δ，也可以描述为一个激发向量δ，其各分量等于相应变迁在δ中出现的次数.

在一个Petri网结构里，存在一个向量y∶P→Z.如果y≥0，并且y·D＝0，可以得到

整个系统若是可以正常运行，则标识m要满足方程（1）.

定义1 设R为集合S上的一个关系，则集合｛x∈S｜（x，y）∈R，至少一个y∈S｝称为R的支集，记做SuppR，则Suppy＝｛p∈P｜y（p）≠0｝.

定义2 Petri网结构里的一个库所不变量y，若不存在另一个库所不变量y′≠y，使得Suppy′⊂Suppy，则该库所不变量y为最小库所不变量.

定义3 如果最小库所不变量y中各元素的最大公约数为1，那么y称为严格最小库所不变量.y1就是严格最小库所不变量，而y2，y3不是严格最小库所不变量.

自Porod和Kratky提出蠕虫状链模型以来,运用此模型处理诸如DNA等较为刚性长链的研究逐年增多.近年来,随着DNA研究的迅猛发展,蠕虫状链模型也重新被广泛应用.例如,有关蠕虫状链模型应用的文献自2006—2016年的十年间累计达1 552篇(数据来自SciFinder数据库).因此,厘清一些基本概念就显得非常重要.

定义4 在一个Petri网结构里，如果Y是严格最小库所不变量组成的集合，并且其中元素是库所不变量的最大线性无关组，那么Y称为特征库所不变量集.

特征库所不变量集Y蕴含Petri网结构的系统信息，即Petri网中所有库所不变量可由该集合中元素线性表示，它表征了由严格最小库所不变量为基底向量所构成的空间.若系统可以正常运行，则系统Petri网结构中所有库所间的关系须包含于该空间内.

定义5 在一个Petri网结构里，Y是一个特征库所不变量集.设Y内包含k个元素，那么标识m的故障矩阵定义为k×n维的矩阵T（m），它需要满足下列条件

从严格最小库所不变量yi中，可以获取非零列（j列）所对应的库所pj所携带的系统信息.若在任意当前标识m下，库所间关系不满足严格最小库所不变量yi，则在该yi中携带系统信息的库所pj可能存在故障，记其T（m）i，j为1；同理，若库所间关系满足严格最小库所不变量yi，则该yi中携带系统信息的库所pj无故障，记其T（m）i，j为-1；而yi中零列，即不体现系统信息的库所pj的故障情况未知，记其T（m）i，j为0.

故障函数表征了系统的故障信息，即各个库所发生故障概率的相对大小，某一个pj库所的故障函数f越大，则其发生故障的可能性越高.在诊断故障的过程中，计算出每个库所的故障函数，取其中最大值，也就是故障最有可能发生的库所，这样就可以锁定故障范围了.

2 故障诊断算法及其分析

输入：Petri网N，m0和任意当前标识m；输出：故障概率最大的结点（库所）.

步骤1 求出Petri网N的关联矩阵D；

步骤2 利用方程（1），计算一个特征库所不变量集Y＝｛y1，y2，…，yk｝，k∈Z+；

步骤3 判断yi·m＝yi·m0，i＝1，2，…，k，等式是否成立；如果上述等式均成立，则没有故障发生，算法退出；否则，执行下一步；

步骤4 根据定义5，计算故障矩阵T（m）；

步骤5 根据T（m）和定义6，计算故障函数λm；

步骤6 比较n个库所的故障函数λm（pj），选出最大的λm（pj），则故障出现在第j个库所的概率最大，退出算法.

在算法中，根据给定的系统Petri网的模型，首先可以求得该Petri网的关联矩阵D.如果当前标识m可以从初始标识m0到达，则其必须满足m＝m0+D·δ.在式子的两边同时右乘n维的矩阵y，可以得到y·m＝y·m0+y·D·δ.当y·D＝0时，即y·m＝y·m0，对于任何从初始标识m0开始可达的标识m都满足托肯的总数是不变量；如果Petri网模型代表的是一个正常运行的系统，则对于任何可达的当前标识m都满足约束条件y·m＝y·m0，通过方程y·D＝0去寻找库所不变量y.

解这个齐次方程，利用该方程的基础解系，可以表示空间中满足该约束的任意库所不变量y，用一个集合表示基础解系，即特征库所不变量集Y＝｛y1，y2，…，yk｝，k∈Z+.在这个集合中，每一个元素都需要满足这个约束条件y·m＝y·m0.如果每一个元素都满足该约束，即总共有k个等式成立，则证明在当前标识m0下，没有故障发生.如存在约束条件不满足情况，需要进一步去解决；如果是第i个约束方程不相等，即表示故障有可能会发生.在第i个方程中对应的库所不变量yi中，第m个为非零的列，代表第m个库所中可能存在故障，增加该库所故障发生的可能.令对应的非零列中的故障函数为+1，零列库所不变，将这个新的列向量作为故障矩阵T（m）的第i行.如果是第j个约束方程相等，即表示故障不会发生，在第j个方程中对应的库所不变量yi中，第n个为非零的列，代表第n个库所中不会存在故障，降低该库所故障发生的可能.令对应的非零列中的故障函数为-1，非零列保持不变，同样作为新的列向量作为故障矩阵T（m）的第j行，最后将T（m）中每一个库所的故障函数加大一起，选出最大值，即故障发生的可能性最大.

在算法中，当改变任意标志，就需要重新计算步骤3～6.当系统复杂性增大时，由于故障矩阵和故障函数计算的复杂度是由特征库所不变量集决定，而特征库所不变量集是根据Petri网结构的关联矩阵计算得到的，也就是说随着系统复杂性的增大，关联矩阵的维数会增多，而特征库所不变量集中的元素是库所不变量y，根据齐次方程y·D＝0，会随着关联矩阵的维数增多，该齐次方程的解是呈现多项式级增长，因此算法的复杂度也是多项式级的，这在工程应用上可以得到实现.

3 实例分析

图1为某液体火箭发动机启动过程的Petri网模型［12］.此图主要针对启动过程建，所以省略了对单一设备运行参数的事件监控，例如涡轮转速限幅监控事件.图1中各结点的物理意义如表1所示.表1中：p5是p0状态中的一个子集，即整个系统就绪（p0）包括了涡轮泵就绪状态.

图1 液体火箭发动机启动过程Petri网Fig.1 A Petri net for the starting process of liquid propellant rocket engine

表1 图1Petri网中各结点的物理意义Tab.1 Correspondence of each transition and places Petri nets in figure 1to its physical meaning

基于上面给定的Petri网模型，根据算法可以算出该液体火箭发动机启动过程的的关联矩阵D为

因此，当前标识m′对应的故障矩阵为

下面需要验证实例的正确性.首先根据给定的Petri网模型，可以得到该Petri网系统的可达图，如图2所示.在图2中可以看到：任意当前标识下，库所p5和p6中是不可能同时存在托肯的；同样从火箭启动的过程中看到，只有当燃烧剂到达预燃室、氧化剂到达预燃室以及涡轮泵准备就绪时，托肯才有可能到达涡轮泵测速状态，与可达图相符.在给定的当前标识m′＝［0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0］T下，库所p5和p6中同时存在托肯，并且库所p1和p2中也存在托肯.从图2可以看出：当p1和p2中存在托肯时，库所p5中必然存在托肯，所以最大可能是库所p6违背了可达图的演化规则，即p6中出现故障的概率最大，这也验证了算法的正确性.

图2 液体火箭发动机启动过程的Petri网可达图Fig.2 Reachable graph of the starting process of liquid propellant rocket engine in Petri nets

4 结束语

在分析文献方法中的计算效率低、故障诊断不及时、故障定位模糊等缺点后，提出了基于Petri网特征结构的故障诊断方法.给出了特征库所不变量集的定义，提出了故障矩阵和故障函数的概念，并利用数学计算来进行故障定位.该方法使得故障诊断更加快速，故障定位更加精确，由于是多项式级的计算复杂度，同样利于工程应用.

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