李向军++姜玉莉

摘 要： 针对噪声图像低频子带含有噪声的特点，给出了一种改进的局部自适应双变量收缩模型的图像去噪算法，对于高频子带用局部自适应双变量模型进行去噪，而对低频子带用具有局部自适应的高斯模型进行去噪。该算法既体现了尺度内的聚类性，又体现了尺度间的相关性且具有很好的局部自适应性，在实验中用离散小波变换进行去噪。实验结果表明，这种改进的算法无论从峰值信噪比，还是从主观视觉效果上都要优于传统的去噪算法。

关键词： 图像去噪； 小波变换； 双变量收缩模型； 局部自适应模型

中图分类号： TN964⁃34 文献标识码： A文章编号： 1004⁃373X（2014）08⁃0132⁃03

An improved image denoising method for bivariate shrinkage model

LI Xiang⁃jun1， JIANG Yu⁃li 2

（1. Chifeng Municipal Forestry Bureau， Chifeng 024000， China； 2. Inner Mongolia Transportation College， Chifeng 024000， China）

Abstract： An improved image denoising method for local adaptive bivariate shrinkage model is proposed in this paper according to the characteristics that the low⁃frequency subband of noise image contains noise. The high⁃frequency subband is denoised by locally adaptive bivariate shrinkage model， and the residual low⁃frequency subband is denoised by locally adaptive Gaussian model. This method can reflect both the clustering performance of intra⁃scale and the correlation of inter⁃scale， and has good local adaptive property. The discrete wavelet transform was used to denoise in a experiment. The experimental results show the improved algorithm is more superior to the classical methods in both PSNR and subjective visual effect.

Keywords： image denoising； wavelet transform； bivariate shrinkage model； locally adaptive model

0引言

图像在采集、转换和传输的过程中，总会受到成像设备和外部环境的干扰，产生噪声图像，这种图像严重影响了观测和后继处理；因此图像去噪在图像预处理中非常重要，其目的就是在滤除噪声的同时尽可能地保留边缘，提高信噪比，突出相应的期望特征。图像去噪的过程即从噪声信号中对真实信号做出最优估计。

小波变换具有很好的去相关性，因此对图像进行小波变换后可以得到较为稀疏的表示。由于这种性质，小波变换在图像去噪和图像压缩等领域得到了广泛的应用。然而，由小波变换的特性可知，变换后的小波系数幅值之间仍存在着相关性，即在同一子带中小波系数具有类聚性，称为层内相关性；在不同子带同一方向对应系数之间存在着较强的相关性，称为层间相关性[1]。

噪声图像经小波变换后分解成多个高频子带和一个低频子带，低频子带是图像的近似部分，聚集了图像的大部分能量，高频子带包含有大量的噪声和图像的细节信息，基于这种思想，许多学者对高频子带小波系数之间的依赖性进行了大量的研究，并提出了许多小波域的统计图像模型，如GGD模型[2]，Laplace[3]模型和HMT模型[4]，将这些模型应用到图像去噪中，取得了一定的效果。但这些模型只对高频子带进行去噪处理，实际上，低频子带同样含有噪声，所以去噪效果并不理想。

本文利用小波系数的层内和层间相关性，应用小波系数双变量模型，提出了基于层内和层间相关性的局部自适应双变量收缩模型的图像去噪算法，并针对低频子带含有噪声的特点，提出了一种改进的算法。实验结果验证了此算法的有效性。

1基于局部自适应混合模型的去噪算法

1.1局部自适应双变量收缩模型的去噪算法

大量的统计研究表明，图像经小波变换后小波系数在尺度间和尺度内存在相关性，并且每个子带都是一个四叉树结构，如图1所示。

双变量收缩模型的主要思想是：把相邻两尺度间小波系数的相关性通过一个联合概率密度函数表示出来，然后用贝叶斯最大后验概率估计小波系数，这样得到的结果不仅与当前层的系数有关，而且与其相应位置的父系数有关。

图1 图像的小波分解

设[w1]是当前层的小波系数，[w2]表示与[w1]有相同空间位置的更粗一层小波系数（称为父结点小波系数），则有：

[y1=w1+n1,y2=w2+n2] （1）

式中：[y1]和[y2]分别为[w1]和[w2]的噪声观测图像小波系数；[n1]和[n2]是高斯白噪声。用向量表示有：

[y=w+n] （2）

从观测到的[y]中估计[w]，使用贝叶斯最大后验概率（MAP）估计：

[w(y)=argmaxwp(wy)=argmaxw[p(yw)p(w)]=argmaxw[pn(y-w)p(w)]] （3）

这样要估计出[w]，需要知道原始图像小波系数向量的概率密度函数[p(w)]及噪声向量的概率密度函数[pn(y-w)]，这也就是先验信息。

为了描述尺度间小波系数的相关性，Levent等人[5]通过对大量的图片进行统计实验，利用曲线拟合的方法，得出了以下概率函数能较好地表示向量[w]的分布：

[p(w)=32πσ2exp(-3σw12+w22)] （4）

这个模型很好地刻画了相邻两个尺度间小波系数的联合统计特性。由（3）式和（4）式可得[w1]的最大后验概率估计：

[w1=(y12+y22-3σn2σ)+y12+y22y1]（5）

式中：[(g)+=0g， g<0其他]；[σ2]为待估计信号的方差，噪声方差[σ2n]用一个中值估计器来估计：

[σn=median(ydiag)0.6745]（6）

式中：[ydiag∈]第一次分解对角方向子带系数。图像在一个小局部的分布特性和整个子带图像的分布特性不一定相同，因此两者的方差也不一定相同，根据图像小波系数的层内相关性，如图2所示，将图像各子带分成各个小子块，分别计算各子块的方差，并用其来估计[w1]。小子块大小可以任意选取，但如果选取过大会使估计结果不够精确，过小会丢失邻域的相关信息。在本文中选取小子块的大小为5×5。因此，可以得到各小子块方差的计算式：

[σy2=1Myi∈N(k)yi2] （7）

[M]是局部邻域[N(k)]的大小，从观测模型可得：[σy2=σ2+σn2]，由此可以得到[σ]的估计：

[σ=σy2-σn2] （8）

图2 小波分解后当前点系数，对应

父系数和邻域系数的关系

该模型采用一种局部自适应的去噪算法，很好地利用了小波系数层内和层间的关系，得到了较好的去噪效果，但是只对高频子带进行去噪，而低频子带保持不变，直接进行小波逆变换，实际上低频子带同样含有噪声。下面是一种改进的方法。

1.2改进的算法

图3是Lena原始图像和噪声图像（[σn=20]，[σn=30]）经三级小波分解后提取的低频子带部分。用均方误差（MSE）来表示图3（a）和（b）之间的差别：

[MES=1N2i,j=1N(b(i,j)-a(i,j))2]（9）

式中：[N2]为像素总数；[b(i,j)]，[a(i,j)]分别表示噪声图像和原始图像低频子带图像灰度值。表1为Lena，Baboo，Barbara和Boat四幅图像加入不同高斯白噪声的均方误差，从表格上及图像的主观视觉效果中都可以看出噪声图像的低频部分含有噪声，直接对其进行重构是不合适的。

表1 低频子带最小均方误差MSE

图3 原始图像和噪声图像的低频子带的比较

对于自然图像，在小波分解后，各子带系数总体上服从广义高斯分布，但对于每一个小的局部邻域，小波子带系数的分布可以很好地用一种具有局部相关的零均值高斯分布对其建模[6]，本文以这种小波域局部高斯模型作为低频子带的先验概率模型，即[p(w)~N(0,σ2I)]，则由贝叶斯去噪算法式（3）得低频子带小波系数的估计为：

[ws=σs2σs2+σn2ys] （10）

式中[σs]是未知的，采用近似最大似然估计器估计出一个方差：

[σ2s(i)=argmaxk∈N(i)p(Y(k)σ2s))=max(0,1Mk∈N(i)Y2(k)-σ2n)]（11）

式中：[N(i)]为节点处的局部邻域；[M]为局部邻域大小 。

1.3算法描述

这种基于局部自适应混合模型的图像去噪算法描述如下：

（1） 对观测图像[g]进行L级小波分解，形成一个低频子带和[3L]个高频子带；

（2） 用式（3）~式（5）估计出高频子带小波系数[w1]，其中计算式（5）时，首先对父带系数图进行同值扩展，把父带的系数图记作[Y2[i,j]]，将对应的子带系数图记作[Y1[i,j]]，使[Y2[i,j]]进行同值扩展后的灰度图像与[Y1[i,j]]大小相同；

（3） 用式（6）、式（10）、式（11）估计出低频子带的小波系数[ws]；

（4） 进行小波逆变换，得到去噪后的图像[f]。

1.4实验结果分析

为验证本文去噪算法的效果，选取了两幅大小为512[×]512含有不同程度高斯白噪声（[σn=10,20,30]）的图像Lena和Baboo，并与其他去噪算法相比较，图像去噪的性能用峰值信噪比（PSNR）来衡量，表2比较了本文算法与其他去噪算法的峰值信噪比，图4和图5对比了不同算法对噪声图像的去噪效果。从中可以看出本文算法去噪效果明显，可以很好地保留图像边缘，峰值信噪比也有很大的提高。

表2 不同噪声值不同测试图像的PSNR（dB）结果比较

图4 带噪Lena图像经不同算法去噪效果比较（[σn=30]）

图5 带噪Baboo图像经不同算法去噪效果比较（[σn=30]）

2结语

针对噪声图像中低频部分同样含有噪声的特点，对低频子带用具有强局部自适应的高斯模型进行去噪。该文算法既体现了小波变换子带间系数的相关性，又反映了子带内系数的聚类性。仿真实验证明了此方法的可行性和有效性，无论从峰值信噪比还是从主观视觉效果上都要优于传统的去噪算法。

参考文献

[1] 肖志云.小波域统计图像建模与图像降噪[D].北京：中国科学院自动化研究所，2004.

[2] CHANG S G， YU B， VETTERLI M. Spatially adaptive wavelet thresholding with context mode ling for image denoising [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2000， 9（9）： 1522⁃1531.

[3] MOULIN P， LIU J. Analysis of multiresolution image denoising schemes using generalized Gaussian and complexity priors [J]. IEEE Transactions on Imformation Theory， 1999， 45（3）： 909⁃919.

[4] CROUSE M S， NOWARK R D， BARANIUK R G. Wavelet⁃based statistical signal processing using hidden Markov models [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 1998， 46（4）： 886⁃902.

[5] KINGSBURY N. The dual⁃tree complex wavelet transform： a new efficient tool for image restoration and enhancement [C]// Proceeding of European Signal Processing Conference. Rhodes： [s.n.]， 1998： 319⁃322.

[6] 谢杰成，张大力，徐文立.基于小波系数多尺度随机过程模型的去噪方法[J].清华大学学报:自然科学版，2003，43（9）：1222⁃1225.

[7] PAN Q， ZHANG P. Two denoising methods by wavelet transform [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 1999， 47（12）： 3401⁃3406.

[σy2=1Myi∈N(k)yi2] （7）

[M]是局部邻域[N(k)]的大小，从观测模型可得：[σy2=σ2+σn2]，由此可以得到[σ]的估计：

[σ=σy2-σn2] （8）

图2 小波分解后当前点系数，对应

父系数和邻域系数的关系

该模型采用一种局部自适应的去噪算法，很好地利用了小波系数层内和层间的关系，得到了较好的去噪效果，但是只对高频子带进行去噪，而低频子带保持不变，直接进行小波逆变换，实际上低频子带同样含有噪声。下面是一种改进的方法。

1.2改进的算法

图3是Lena原始图像和噪声图像（[σn=20]，[σn=30]）经三级小波分解后提取的低频子带部分。用均方误差（MSE）来表示图3（a）和（b）之间的差别：

[MES=1N2i,j=1N(b(i,j)-a(i,j))2]（9）

式中：[N2]为像素总数；[b(i,j)]，[a(i,j)]分别表示噪声图像和原始图像低频子带图像灰度值。表1为Lena，Baboo，Barbara和Boat四幅图像加入不同高斯白噪声的均方误差，从表格上及图像的主观视觉效果中都可以看出噪声图像的低频部分含有噪声，直接对其进行重构是不合适的。

表1 低频子带最小均方误差MSE

图3 原始图像和噪声图像的低频子带的比较

对于自然图像，在小波分解后，各子带系数总体上服从广义高斯分布，但对于每一个小的局部邻域，小波子带系数的分布可以很好地用一种具有局部相关的零均值高斯分布对其建模[6]，本文以这种小波域局部高斯模型作为低频子带的先验概率模型，即[p(w)~N(0,σ2I)]，则由贝叶斯去噪算法式（3）得低频子带小波系数的估计为：

[ws=σs2σs2+σn2ys] （10）

式中[σs]是未知的，采用近似最大似然估计器估计出一个方差：

[σ2s(i)=argmaxk∈N(i)p(Y(k)σ2s))=max(0,1Mk∈N(i)Y2(k)-σ2n)]（11）

式中：[N(i)]为节点处的局部邻域；[M]为局部邻域大小 。

1.3算法描述

这种基于局部自适应混合模型的图像去噪算法描述如下：

（1） 对观测图像[g]进行L级小波分解，形成一个低频子带和[3L]个高频子带；

（2） 用式（3）~式（5）估计出高频子带小波系数[w1]，其中计算式（5）时，首先对父带系数图进行同值扩展，把父带的系数图记作[Y2[i,j]]，将对应的子带系数图记作[Y1[i,j]]，使[Y2[i,j]]进行同值扩展后的灰度图像与[Y1[i,j]]大小相同；

（3） 用式（6）、式（10）、式（11）估计出低频子带的小波系数[ws]；

（4） 进行小波逆变换，得到去噪后的图像[f]。

1.4实验结果分析

为验证本文去噪算法的效果，选取了两幅大小为512[×]512含有不同程度高斯白噪声（[σn=10,20,30]）的图像Lena和Baboo，并与其他去噪算法相比较，图像去噪的性能用峰值信噪比（PSNR）来衡量，表2比较了本文算法与其他去噪算法的峰值信噪比，图4和图5对比了不同算法对噪声图像的去噪效果。从中可以看出本文算法去噪效果明显，可以很好地保留图像边缘，峰值信噪比也有很大的提高。

表2 不同噪声值不同测试图像的PSNR（dB）结果比较

图4 带噪Lena图像经不同算法去噪效果比较（[σn=30]）

图5 带噪Baboo图像经不同算法去噪效果比较（[σn=30]）

2结语

针对噪声图像中低频部分同样含有噪声的特点，对低频子带用具有强局部自适应的高斯模型进行去噪。该文算法既体现了小波变换子带间系数的相关性，又反映了子带内系数的聚类性。仿真实验证明了此方法的可行性和有效性，无论从峰值信噪比还是从主观视觉效果上都要优于传统的去噪算法。

参考文献

[1] 肖志云.小波域统计图像建模与图像降噪[D].北京：中国科学院自动化研究所，2004.

[2] CHANG S G， YU B， VETTERLI M. Spatially adaptive wavelet thresholding with context mode ling for image denoising [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2000， 9（9）： 1522⁃1531.

[3] MOULIN P， LIU J. Analysis of multiresolution image denoising schemes using generalized Gaussian and complexity priors [J]. IEEE Transactions on Imformation Theory， 1999， 45（3）： 909⁃919.

[4] CROUSE M S， NOWARK R D， BARANIUK R G. Wavelet⁃based statistical signal processing using hidden Markov models [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 1998， 46（4）： 886⁃902.

[5] KINGSBURY N. The dual⁃tree complex wavelet transform： a new efficient tool for image restoration and enhancement [C]// Proceeding of European Signal Processing Conference. Rhodes： [s.n.]， 1998： 319⁃322.

[6] 谢杰成，张大力，徐文立.基于小波系数多尺度随机过程模型的去噪方法[J].清华大学学报:自然科学版，2003，43（9）：1222⁃1225.

[7] PAN Q， ZHANG P. Two denoising methods by wavelet transform [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 1999， 47（12）： 3401⁃3406.

[σy2=1Myi∈N(k)yi2] （7）

[M]是局部邻域[N(k)]的大小，从观测模型可得：[σy2=σ2+σn2]，由此可以得到[σ]的估计：

[σ=σy2-σn2] （8）

图2 小波分解后当前点系数，对应

父系数和邻域系数的关系

该模型采用一种局部自适应的去噪算法，很好地利用了小波系数层内和层间的关系，得到了较好的去噪效果，但是只对高频子带进行去噪，而低频子带保持不变，直接进行小波逆变换，实际上低频子带同样含有噪声。下面是一种改进的方法。

1.2改进的算法

图3是Lena原始图像和噪声图像（[σn=20]，[σn=30]）经三级小波分解后提取的低频子带部分。用均方误差（MSE）来表示图3（a）和（b）之间的差别：

[MES=1N2i,j=1N(b(i,j)-a(i,j))2]（9）

式中：[N2]为像素总数；[b(i,j)]，[a(i,j)]分别表示噪声图像和原始图像低频子带图像灰度值。表1为Lena，Baboo，Barbara和Boat四幅图像加入不同高斯白噪声的均方误差，从表格上及图像的主观视觉效果中都可以看出噪声图像的低频部分含有噪声，直接对其进行重构是不合适的。

表1 低频子带最小均方误差MSE

图3 原始图像和噪声图像的低频子带的比较

对于自然图像，在小波分解后，各子带系数总体上服从广义高斯分布，但对于每一个小的局部邻域，小波子带系数的分布可以很好地用一种具有局部相关的零均值高斯分布对其建模[6]，本文以这种小波域局部高斯模型作为低频子带的先验概率模型，即[p(w)~N(0,σ2I)]，则由贝叶斯去噪算法式（3）得低频子带小波系数的估计为：

[ws=σs2σs2+σn2ys] （10）

式中[σs]是未知的，采用近似最大似然估计器估计出一个方差：

[σ2s(i)=argmaxk∈N(i)p(Y(k)σ2s))=max(0,1Mk∈N(i)Y2(k)-σ2n)]（11）

式中：[N(i)]为节点处的局部邻域；[M]为局部邻域大小 。

1.3算法描述

这种基于局部自适应混合模型的图像去噪算法描述如下：

（1） 对观测图像[g]进行L级小波分解，形成一个低频子带和[3L]个高频子带；

（2） 用式（3）~式（5）估计出高频子带小波系数[w1]，其中计算式（5）时，首先对父带系数图进行同值扩展，把父带的系数图记作[Y2[i,j]]，将对应的子带系数图记作[Y1[i,j]]，使[Y2[i,j]]进行同值扩展后的灰度图像与[Y1[i,j]]大小相同；

（3） 用式（6）、式（10）、式（11）估计出低频子带的小波系数[ws]；

（4） 进行小波逆变换，得到去噪后的图像[f]。

1.4实验结果分析

为验证本文去噪算法的效果，选取了两幅大小为512[×]512含有不同程度高斯白噪声（[σn=10,20,30]）的图像Lena和Baboo，并与其他去噪算法相比较，图像去噪的性能用峰值信噪比（PSNR）来衡量，表2比较了本文算法与其他去噪算法的峰值信噪比，图4和图5对比了不同算法对噪声图像的去噪效果。从中可以看出本文算法去噪效果明显，可以很好地保留图像边缘，峰值信噪比也有很大的提高。

表2 不同噪声值不同测试图像的PSNR（dB）结果比较

图4 带噪Lena图像经不同算法去噪效果比较（[σn=30]）

图5 带噪Baboo图像经不同算法去噪效果比较（[σn=30]）

2结语

针对噪声图像中低频部分同样含有噪声的特点，对低频子带用具有强局部自适应的高斯模型进行去噪。该文算法既体现了小波变换子带间系数的相关性，又反映了子带内系数的聚类性。仿真实验证明了此方法的可行性和有效性，无论从峰值信噪比还是从主观视觉效果上都要优于传统的去噪算法。

参考文献

[1] 肖志云.小波域统计图像建模与图像降噪[D].北京：中国科学院自动化研究所，2004.

[2] CHANG S G， YU B， VETTERLI M. Spatially adaptive wavelet thresholding with context mode ling for image denoising [J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2000， 9（9）： 1522⁃1531.

[3] MOULIN P， LIU J. Analysis of multiresolution image denoising schemes using generalized Gaussian and complexity priors [J]. IEEE Transactions on Imformation Theory， 1999， 45（3）： 909⁃919.

[4] CROUSE M S， NOWARK R D， BARANIUK R G. Wavelet⁃based statistical signal processing using hidden Markov models [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 1998， 46（4）： 886⁃902.

[5] KINGSBURY N. The dual⁃tree complex wavelet transform： a new efficient tool for image restoration and enhancement [C]// Proceeding of European Signal Processing Conference. Rhodes： [s.n.]， 1998： 319⁃322.

[6] 谢杰成，张大力，徐文立.基于小波系数多尺度随机过程模型的去噪方法[J].清华大学学报:自然科学版，2003，43（9）：1222⁃1225.

[7] PAN Q， ZHANG P. Two denoising methods by wavelet transform [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 1999， 47（12）： 3401⁃3406.