傅莺莺

(北京工商大学理学院，北京100048)

1 引 言

在高等数学中，经常遇到计算有理函数的高阶导数、幂级数展开、以及不定积分等问题. 除了极其简单或特殊情况以外，这类问题都要用有理真分式的部分分式分解来解决. 然而，数学教材中通常只介绍分解定理的结果而不提证明，并且对于如何确定分解系数都只给出了单一的待定系数法[1,2]，有待进一步讨论的问题很多.

对于有理真分式的部分分式分解定理，文献[3]给出了一个基于数学分析技巧和方法的证明，文献[4]通过对分母多项式的次数归纳进行证明，过程都较繁琐. 本文拟用多项式知识构造性地完成其证明，过程较简单. 至于分解系数的确定，文献[5-8]等展开了研究，其中有的针对某些特殊有理函数，有的单从某一角度提出了某种算法，有的提出用泰勒公式、留数等概念进行计算. 所用的方法看似很多，但本质不外乎待定系数法、赋值法、极限法和求导法；得到的公式虽然很多，但形式不统一且结果不完整. 有鉴于此，本文完整地给出了运用赋值法、极限法与导数法求分解系数的计算公式.

2 有理真分式部分分式分解的存在唯一性证明

证显然只需证明s=2的情形，当s>2时递归应用s=2的结论即可.

设Q(x)=Q1(x)Q2(x)且Q1,Q2互素，则存在多项式S1(x),S2(x)使得1=S1Q1+S2Q2，从而

令PS2,PS1分别除以Q1,Q2得PS2=R1Q1+P1,PS1=R2Q2+P2，则

下证分解的唯一性. 若另有T1(x),T2(x)满足

从而Q2(P1-T1)=Q1(T2-P2). 又因为Q1,Q2互素，所以Q1(P1-T1). 注意到P1-T1的次数低于Q1，故P1=T1. 同理可证P2=T2.

Q(x)=(x-a1)λ1…(x-as)λs(x2+p1x+q1)μ1…(x2+ptx+qt)μt,

(1)

其中等式右侧分式均为真分式. 根据多项式基本知识(事实上是多项式除法)，每一Pi(i=1,…,s) 可唯一地写作

Pi=Ai,1(x-ai)λi-1+Ai,2(x-ai)λi-2+…+Ai,λi-1(x-ai)+Ai,λi;

引理1及定理2构造性地给出了有理真分式部分分式分解的方法，下面给出例子.

例1求下列有理真分式的部分分式分解：

步骤1 求多项式S1(x),S2(x)使S1Q1+S2Q2=1. 对Q1,Q2作辗转相除，得到

Q2=1·Q1+(2x-2),

其余项即为

3 有理真分式部分分式分解的系数公式

例1的上述分解过程计算量较大，当分母Q(x)的标准分解包含两种以上因式时情况更棘手. 所幸定理 2确定了有理真分式部分分式分解的形式 (1)，分解系数Aij,Bij,Cij完全可以借助他法来求解. 系数的计算主要有待定系数法、赋值法、极限法和求导法. 当然，算法各有优劣，为了最快速简便地求解系数，各算法常交叉使用.

3.1 待定系数法

将 (1) 式右端所有部分分式通分，其分子恒等于P(x). 于是由同幂项系数相等可得关于Aij,Bij,Cij的线性方程组，其方程个数恰等于待定系数的个数deg(Q). 根据定理 2，该方程组有且仅有唯一解，求解该方程组即得全部系数. 该方法思路简单，但往往有较大计算量.

3.2 赋值法

定理3设P(x),Q(x)同定理2，则分解式(1) 中的系数满足

(2)

(3)

其中α为x2+pix+qi=0的复根，且

证将 (1)式两端同乘以Q(x)，得

(2),(3)两式给出了一部分分解系数(共s+2t个)的计算公式. 以例1为例，设

则

3.3 极限法

(4)

(5)

(6)

证观察 (1)式，注意到P/Q与Ai,λi/(x-ai)λi(i=1,…,s)为x→ai时的等价无穷大，故(4)式得证. 此外还已知P/Q-Ai,λi/(x-ai)λi与Ai,λi-1/(x-ai)λi-1为x→ai时的等价无穷大，故(5)式得证. 依此类推可以求得Ai,λi-2,…,Ai,1.

类似地，设x=α为x2+pix+qi=0 (i=1,…,t)的复根，则P/Q与(Bi,μix+Ci,μi)/(x2+pix+qi)μi为x→α时的等价无穷大(注意这里将极限推广至复数域显然是可以接受的)，故(6)式得证. 参照Aij的处理方法还可依次求得Bi,μi-1,Ci,μi-1,…,Bi,1,Ci,1.

极限法提供了计算全部分解系数的方法(其中Ai,λi与Bi,μi,Ci,μi的公式与赋值法本质上相同)，以例1为例，有

3.4 求导法

(7)

i=1,…,t;k=0,…,μi-1.

(8)

证(1)式两端同乘以 (x-ai)λi(i=1,…,s)，可写作

其中R1为某有理函数.

上式两端求k(0≤k<λi) 阶导并代入x=ai，得(7)式.

类似地，(1)式两端同乘以 (x2+pix+qi)μi(i=1,…,t)，可写作

其中R2为某有理函数.

上式两端求k(1≤k<μi) 阶导，注意到

含有因式 (x2+pix+qi)k+1，故其k阶导可写作R3(x)(x2+pix+qi)，其中R3为有理函数.

又因为

[(Bi,μi-kx+Ci,μi-k)(x2+pix+qi)k](k)

=(Bi,μi-kx+Ci,μi-k)[(x2+pix+qi)k](k)+k·Bi,μi-k·[(x2+pix+qi)k](k-1)

可以写作

k!(2x+pi)k(Bi,μi-kx+Ci,μi-k)+R4(x)(x2+pix+qi),

其中R4为某多项式，所以

代入x=α，整理即得(8)式. 显然(8)式中令k=0恰为(3)式，据此可以递推地计算Bi,μi-1,Ci,μi-1,…,Bi,1,Ci,1.

根据(7),(8)两式可以较快地算出全部分解系数. 以下述分解为例.

其中

4 结论与启示

本文构造性地证明了有理函数具有部分分式分解形式(1)，并且基于赋值、极限和求导的思想分别给出了分解系数的计算公式(2)-(8). 结果表明，极限法与导数法都能求出全部分解系数,相对而言,导数法的计算公式(7)与(8)形式更简洁、更易于计算.

对于大多数高等数学或数学分析课程，有理函数部分分式分解的教学都出现在不定积分这一章中. 以往学生只是单纯接受教材上的既有结论和固定方法，其能力仅仅是掌握如何按部就班地进行计算. 考虑到学生此前已经掌握了多项式、极限与导数等方面的知识，教师可以将这部分教学内容扩展开来，引导学生充分进行自主学习，鼓励和启发学生运用已有知识思考定理的证明、充分拓展系数计算的方法、甚至借助Matlab等数学软件自行实现算法. 这有助于学生将极限、导数等知识融会贯通，并且对训练他们的逻辑思维与推演能力、培养科研能力与动手能力，都有着重要意义.

[参 考 文 献]

[1] 同济大学数学系. 高等数学 (上册)[M]. 6版. 北京: 高等教育出版社，2007: 213-218.

[2] 华东师范大学数学系. 数学分析 (上册)[M]. 3版. 北京: 高等教育出版社，2001: 190-199.

[3] 崔明正. 有理真分式P(x)/Q(x)展开成部分分式定理一种证法及启示 [J]. 工科数学，1993，9(2):105-108.

[4] 常建明. 关于有理函数的部分分式展开 [J]. 常熟高专学报，2000，14(4): 16-21.

[5] 黄伯强. 有理分式函数的部分分式分解 [J]. 南京工程学院学报，2008，6(2): 13-16.

[6] 卢小宁. 确定部分分式中的待定系数的一个方法 [J]. 湖南理工学院学报 (自然科学版). 2008，21(4): 14-16.

[7] 邵建新. 用 Laurent 级数展开法化有理分式为部分分式 [J]. 大学数学，2007，23(6): 189-190.

[8] 张迎秋. 有理真分式分解中的系数公式 [J]. 工科数学，2000，16(2): 107-108.