何 伟， 徐福缘

(1.上海理工大学管理学院,上海200093； 2.安徽财经大学统计与应用数学学院,安徽蚌埠233041)

1 引 言

随着全球经济一体化，企业逐渐认识到了联合上下游企业形成优势互补的供应链系统以增强其整体竞争力的重要性.因此不同程度、不同层次的供应链系统应运而生，这使得系统各成员间的协调运作与合作问题引起了人们的关注.如果企业成员完全合作，即各成员隶属于同一家公司，那么此时企业成员的利益目标是完全一致的，企业间的协调比较单一且容易.然而实际中的企业之间大多是非合作或者不完全合作的，即企业成员是属于不同的经济体，因此供应链各成员追求的是自身利益最大化，而且他们的利益目标往往是冲突的，这就使得供应链各成员之间的协调运作变得相当困难.因此如何设计合适的激励机制使得企业间更好地协调成为供应链管理理论研究的热点问题之一.

进入21 世纪，随着市场竞争的加剧，传统供应链成员的经营越来越受到资金瓶颈的约束，这种情况在零售业中尤其突出[1].关于供应链中存在资金约束情况的理论研究，目前已逐渐成为学术界的研究热点.而在运作管理领域，基于上下游企业间的资金融通，最常见的就是上游企业为下游企业提供延期支付策略.延期支付策略是促进企业间协调运作十分有效的金融手段之一，因为延期支付策略提供者可以设计适当的策略来诱使其他成员完成企业间的协调运作.例如，沃尔玛，世界最大的零售企业，一直要求他的制造商提供延期支付策略.此外，Aaronson等[2]报道，在美国有60.8%的企业都要求他的制造商提供延期支付策略.比较典型的是以Goyal[3]为代表的基于EOQ模型研究延期支付对订货决策的影响.目前已有很多学者对Goyal的文章进行了多方面的拓展，如Zhong和Zhou[4]在货架空间有限情形下研究用延期支付策略协调供应链问题； Jaggi和Khanna[5]研究了易腐品在固定需求和延期支付下的订货批量问题；Sheen和Tsao[6]研究了延期支付政策下，存在运输成本折扣时零售商的订货问题等.刘春玲等[7]研究产业集群下的供应链期权采购及延迟支付策略问题.

在已有供应链协调运作的研究文献中，不管需求是确定的还是随机的，都假设其不会受到零售商的库存水平影响.然而许多学者研究发现，商品的库存展示量也可以影响消费者的需求.在忽略货架空间容量的限制的情形下，Soni和Shah[8]、Teng等[9]在需求依赖于库存水平和两阶段延期支付情形下研究了零售商的最优订货问题；Min等[10]在需求依赖于当前库存水平和延期支付情形下研究了变质性物品的最优订货问题.而在实际中，货架空间的容量总是有限的，Hartely[11]首先提出了货架空间有限的库存模型，然后得到很多学者的拓展，Goyal和Chang[12]给出了需求依赖于货架展示水平且货架空间容量有限的库存模型；Huang[13]在货架空间容量有限和两阶段延期支付下研究了零售商的库存策略；Chung和Huang[14]在延期支付条件下给出了变质性物品的两货栈库存模型；Lee和Hsu[15]、Jaggi等[16]拓展了两货栈库存模型，但是他们忽略了延期支付策略的影响；杨爱峰等[17]基于两货栈和延期支付的零售商最优订货和支付策略；张义刚等[18]在部分延期付款下研究了制造商的决策与供应链协调问题；刚号等[19]在延迟支付策略下研究损失厌恶型零售商参与的供应链运作及协调问题；很少有文献在考虑延期支付的同时，又考虑到货架和仓库库存水平共同影响需求，且货架空间有限问题.

基于零售商的视角，保持较高的库存水平意味着零售商需要更多的货架空间，然而货架容量总是有限的.在现实中，当商品订单数量超过货架容量，零售商通常会把超出的部分存放入他们的仓库中.在本文中，我们假设货架和“仓库”的总库存水平共同影响需求.采用这样存储方式的仓储式超市如山姆会员店等.在这些超市里，所有的货架下部是用于展示商品，货架的上部空间是用来作为“仓库”存放商品.因此，在货架和“仓库” 可见的库存可以共同激励客户的潜在需求.类似的例子还有网上零售商店.虽然在互联网上客户无法看到真实的货物存放在显示商店或仓库，很多在线业务的公司(如eBay，Amazon，中国的阿里巴巴等)通常在他们的网站上显示可用的每个商品的数目，当顾客浏览公司网站时，在线商品的数量就会影响他们的购买欲望.

本文将在需求受零售商当前库存水平影响且货架展示空间有限情形下，研究有单一制造商和单一零售商组成的两层非一体化的供应链成员间协调问题.零售商按照传统的EOQ模型从制造商处补充某单一商品的库存并销售给顾客，而制造商则按照零售商订货量的要求确定自己的生产规模.我们要研究的主要问题是，制造商如何设计延期支付计划来激励零售商加大订货量，以便减少运作费用，从而提高整个供应链及其自身的利润.本问题的分析是基于制造商主导的Stackelberg博弈，即制造商是决策的主导方，他知道零售商对他给定的延期支付策略的反应前提下首先宣布其延期支付计划，而零售商是决策的跟随方，他将依据制造商的决策和自己的货架和仓库容量来确定自己的订货量.

2 模型假设与记号

在以下的分析过程中，使用的主要假设与记号如下：

1) 考虑单一制造商和单一零售商组成的两层非一体化的供应链，其中制造商生产并批发某一商品给零售商,并假设制造商为供应链上的核心企业,他知道需求信息及销售商发生的各项成本；

2) 假设销售商按照标准EOQ模型来确定最优订货策略，零售商将订购商品全部售完毕后即进行下一次补货，且补货率无穷大；

3) 假设制造商与零售商之间实行“批对批”策略，即制造商没有库存；

4) 由于货架展示水平有限,零售商将购买的商品部分放货架展示销售,剩下商品存放在货架上方的“仓库”，货架和“仓库”的总库存水平共同影响需求，即D(t)=αI(t)β，其中α>0,0<β<1分别为尺度参数和形状参数，I(t)为销售商在t时刻库存水平；

5)W表示零售商货架展示空间容量大小，本文假设货架空间容量有限，零售商订货量超出货架空间容量部分商品存放于货架上方的“仓库”，这样就更加符合现实情形；

6)c表示制造商的单位商品的成本，ω表示制造商给予零售商的单位商品批发价，p表示零售商单位商品零售价格，且有p>ω>c；

7)Ar表示零售商每次订货的固定订货费用，Am表示制造商每次生产准备费用；

11)hr表示零售商货架上单位商品库存费用，k表示零售商利用仓库存放单位商品库存费用(hr>k)；

12) 本文的利息收入和支出的计算方法参考文献[10]，sr,gr分别表示零售商的利息收入和利息支出，sr=Irω,gr=Ieω，其中Ir表示零售商单位货币支出利率，Ie表示单位货币收益利率.

3 双方协调运作的必要性

根据4)的假设知，零售商处的库存水平变化的微分方程可以表示为

(1)

由边界条件I(0)=Q，可得微分方程(1)的解为

I(t)=(Q1-β-α(1-β)t)1/(1-β).

(2)

由I(t)=0可得

(3)

3.1 双方联合运作的集中决策

如果制造商和零售商属于同一家公司或者双方通过协议能形成一个供应链，那么针对与库存水平相关的需求，一个订货周期内供应链的平均利润函数为

(4)

将(2)，(3)带入(4)，可得

(5)

(6)

3.2 各自独立运作的分散决策

如果供应链成员双方各自独立决策，则双方的决策将是一个制造商主导的Stackelberg过程.即制造商处于主导地位，而零售商处于从属地位.从零售商角度来看，按照上述假设，对于任何给定的批发价格ω，零售商以平均利润最大化为目标确定最优订货量.此时零售商的平均利润函数为

(7)

(8)

(9)

对Πm(ω)关于ω求导，可得

(10)

由(8)式可得

(11)

将(8)，(11)带入(10)式中，得

(12)

(13)

将(13)带入(8)式中，可得

(14)

(15)

化简可得

(16)

3.2 集中决策和分散决策的结果比较

f1(Q)=β(p-ω)Q+(1-β)B2,f2(Q)=β(p-c)Q+(1-β)B1

图1 函数f1(Q)，f2(Q)和g(Q)的大致图像

由定理1可知，供应链成员独立决策时订货量小于联合决策时的订货量，因此整个供应链的利润没有达到最大值.这表明作为核心企业的制造商存在通过某些协调手段来提高供应链整体利润的可能性，从而使得自身的利润也可能进一步得到提高.

4 延期支付协调

在此延期支付计划(N,M)下，零售商的平均利润函数为

(17)

制造商的平均利润函数为

(18)

现在制造商的问题是要确定N和M的最优值使得平均利润最大，即求解如下优化问题：

(19)

(20)

(21)

其中N>N1,M>0.(20)式表示零售商利润不减的时候才会接受延期支付计划，(21)式表示制造商的利润不小于自己在Stackelberg主从博弈下利润才会实施此延期支付计划.作为理性的制造商在设计延期支付计划时必然会只满足零售商的最低要求

(22)

将(17)式代入(22)式，可得

(23)

将(23)代入(18)式可得

(24)

(25)

令

(26)

所以f(N)在(1,+∞)内存在唯一解N*，即为N的最优值.从而M的最优值由(23)式可被唯一确定.又因为在延期支付计划下制造商利润必须不受损失，所以由(21)式可推出如下关系式：

(27)

由此可得S的最大值S*为

(28)

而当S∈(0,S*)时，对(23)式作等价变形，可得

结合(27)，(29)式，可以推出当S∈(0,S*)，必有M*>0.因此，所求N*,M*均满足要求的条件.

5 算例和灵敏度分析

为说明上述延期支付计划的有效性，考虑如下具体算例：假设需求受零售商的当前库存水平影响的需求函数为D(t)=100I(t)0.2，即α=100,β=0.2，其他参数分别为

p=25，ω=20，Ar=50,Am=200，hr=5,k=3，Ie=0.08,Ir=0.2，W=120.

在此延期支付计划下，计算相应的结果见表1，并与联合决策和Stackelberg主从博弈下的结果进行比较.

表1 三种策略下的计算结果

由表1可见，与没有施行延期支付计划情形相比，延期支付计划确实提高了供应链的整体利润，而且延期支付计划给双方都带来了更大的利润，因此该延期支付计划在企业生产管理实践中是合理可行的.

下面，进一步考察了模型参数α,β,p,ω,hr,k,Ie,Ir,Ar和Am的变化对延期支付策略、双方利润以及供应链利润的影响.为此，令参数α以步长20从10变化到70；参数β以步长0.1从0.2变化到0.5；参数hr以步长0.5从1变化到2.5；参数k以步长0.5从0.1变化到1.6；参数Ie以步长0.04从0.00变化到0.12；参数Ir以步长0.05从0.05变化到0.20；参数Ar以步长5从10变化到25；参数Am以步长20从60变化到120；当一个参数变化时，其他参数保持不变，表2～8给出了所有的计算结果，其中CE,CEM分别表示制造商提供延期支付计划之前和之后的渠道效率，为制造商和零售商各自独立经营的总利润与双方联合情形的总利润的比值.

表2 参数α,β,hr,k,Ie,Ir,Ar和Am的变化对最优解的影响

表2(续)

从表2可以得出如下结论：

1) 当制造商提供延期支付计划时，双方的利润都随着α和β的增加而增加.此外，延期支付时间随着α的增加而减小，随着β的增加而增加.即依赖于当前库存水平的需求弹性系数变大时，制造商应该减小延期支付时间.

2) 对于整个供应链而言，无论模型参数如何变化，延期支付计划总能增加供应链的利润，而且可以看出延期支付计划对零售商更加有利.

3) 当hr和k增加时，制造商和零售商的边际利润都减少.因为库存成本提高，零售商必然降低订货量以减少成本，从而影响零售商和制造商的利润.

4) 当Ir增加时，制造商的延期支付时间在增加，但是利润在减小.即延期支付计划对于制造商来说并非一直有利的，这可能是由于资金的风险原因.

5) 本文设计的延期支付计划不但不会降低零售商的利润，而且还能提高制造商的利润，真正实现“双赢”，从而进一步证明了延期支付计划在实际中被很多零售企业广泛采用是正确合理的.

6 结束语

本文提出了一个需求受当零售商前库存水平影响且货架空间有限的供应链企业间延期支付协调模型，其不同于已有相关供应链协调模型，表现在三个方面：首先，该模型考虑了需求受当前库存水平影响，货架存储空间有限且货架商品和仓库商品同时影响需求，已有文献只考虑需求受初始库存水平影响或者货架空间无限；其次，本文考虑了制造商的生产费用和零售商的订货费用，这将更加接近实际情况；最后，本模型使用延期支付策略来协调制造商和零售商的运作，可以有效解决零售商的初始资金问题，同时也实现了制造商减少生产成本的目的，弥补量折扣策略的不足之处，研究结果显示制造商可以通过延期支付计划改善供应链整体利润，实现制造商和零售商的“双赢”.本模型的进一步扩展可以考虑：多零售商、部分延期支付或者多层延期支付等情形.

[参 考 文 献]

[1] 李佐平，杨爱峰.双层延期支付及价格折扣条件下零售商的最优库存策略[J].工业工程,2012,15(1):76-81.

[2] Aaronson D,Bostic R W,Huck P,Townsend R.Supplier relationships and small business use of trade credit[J].Journal of Urban Economics,2004,55(1)：46-67.

[3] Goyal S K.Economic order quantity under conditions of permissible delay in payments[J].Journal of the operational research society,1985,36(4):335-338.

[4] Yuan-Guang Zhong,Yong-Wu Zhou.Improving the supply chain′s performance through trade credit under inventory-dependent demand and limited storage capacity[J]. International Journal of Production Economics, 2013,143(2):364-370.

[5] Jaggi C,Khanna A.Retailer’s ordering policy for deteriorating items with inflation-induced demand under trade credit policy[J].International journal of operational research, 2009,6(3):360-379.

[6] Sheen G ,Tsao Y.Channel coordination,Trade credit and quantity discounts for freight cost[J].Transportation research part E:Logistics and transportation review,2007,43(2): 112-128.

[7] 刘春玲，肖位春,等.产业集群下的供应链信用期权采购及延迟支付策略[J].工业工程与管理,2012,17(6): 83-90.

[8] Soni H,Shah N H. Optimal ordering policy for stock-dependent demand under progressive payment scheme[J]. European Journal of Operational Research, 2008 ,184(1): 91-100.

[9] Teng J T,Krommyda I P,Skouri K,Lou K R.A comprehensive extension of optimal ordering policy for stock-dependent demand under progressive payment scheme[J].European Journal of Operational Research, 2011, 215(2): 97-104.

[10] Min J,Zhou Y W, Zhao J.An inventory model for deteriorating items under stock-dependent demand and two-level trade credit[J].Applied Mathematical Modelling,2010,34(2): 3273-3285.

[11] Hartely V R.Operations Research-A Managerial Emphasis[M].Good Year,Santa Monica，1976,12(4): 315-317.

[12] Goyal S K,Chang C T.Optimal ordering and transfer policy for an inventory with stock dependent demand[J].European Journal of Operational Research, 2009,196(2):177-185.

[13] Huang Y.An inventory model under two levels of trade credit and limited storage space derived without derivatives[J].Applied Mathematical Modeling, 2006,30(1):418-436.

[14] Chung K J,Huang T S.The optimal retailer′s ordering policies for deteriorating items with limited storage capacity under trade credit financing[J].International Journal of Production Economics, 2007,106(6):127-145.

[15] Lee C C,Hsu S L.A two-warehouse production model for deteriorating inventory items with time-dependent demands[J].European Journal of operational Research, 2009,194(1):700-710.

[16] Jaggi C K,Khanna A,Verma P.Two-warehouse partial backlogging inventory model for deteriorating items with linear trend in demand under inflationary conditions[J].International Journal of Systems Science, 2011,42(7), 1185-1196.

[17] 杨爱峰，杨晓琴,等.基于两货栈和延期支付的零售商最优订货和支付策略[J].合肥工业大学学报,2013,36(2):236-242.

[18] 张义刚，唐小我. 部分延期付款下的制造商决策与供应链协调[J].管理学报,2012,9(10):1356-1347.

[19] 刚号，唐小我,等. 延迟支付下损失厌恶型零售商参与的供应链运作及协调[J].控制与决策,2013,28(7): 1023-1032.