李芦钰，牛 芸

（大连理工大学 土木工程学院，辽宁 大连 116023）

基于小波变换对非线性系统进行参数识别已经成为土木工程界研究的热点问题之一。小波分析是一种信号的时间－频率分析方法，它具有多分辨率分析的特点，而且在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，很适合分析时变信号，国内外学者对小波分析方法在系统识别中的应用进行了大量的研究。Staszewski［1］以Morlet小波作为分析工具，通过提取小波脊初步建立了一种非线性阻尼及刚度的识别方法，但它仅能对系统的非线性进行定性分析。Ta等［2］完善了这种方法，进行了仿真验证并将其用于辨识一个固支梁的非线性阻尼及刚度。任宜春［3］用复Morlet小波函数对弱Duffing系统的有阻尼自由振动响应进行了辨识，得到系统的固有频率、阻尼系数和非线性系数。伊廷华等［4］针对小波变换中遇到的边端效应问题，提出了基于自回归滑动平均模型（ARMA）的“预测延拓”方法，并以美国土木工程师学会（ASCE）提供的Benchmark模型为例进行了数值模拟，验证了方法的有效性，但该方法只能对平稳信号进行预测。代煜等［5］利用脊上连续小波变换系数的幅度和相位，从结构系统的自由衰减响应中辨识了弱非线性阻尼和刚度，提出了一种检测小波脊的新方法以消除连续小波变换幅度极值的频移，为抑制边界效应，提出利用最小二乘拟合误差选择小波函数参数的优化算法。王超等［6］采用复Morlet小波对非线性结构自由响应信号进行连续小波变换，为了降低噪声的影响，采用一个基于奇异值分解（SVD）的方法对识别的结构进行处理，从而识别了待辨识的参数。史治宇等［7］首先运用Daubechies小波识别了时变系统的物理参数，文中借助小波尺度函数的正交性将物理空间下的二阶微分方程转化为线性代数方程组进行求解，识别算法中需要同时计算一阶和二阶小波连接系数，难度大，精度受限。许鑫等［8］用小波状态空间法实现了从振动微分方程到线性代数方程组的两次降阶，解决了时变系统在自由振动状态下的参数识别问题，许鑫等［9］用此方法解决了时变系统受迫振动下的参数识别问题。

在利用小波分析方法进行参数识别的过程中，不可避免的会出现边端效应问题，进而会影响识别结果的准确性。在取较少采样点的情况下，同样也会影响参数识别结果的准确性。信号延拓是处理这两个问题的有效方法之一，Torrence等［10］采用零延拓，未考虑信号的原有特征，效果较差；Kijewski等［11］采用对称延拓，但该方法没有考虑信号的连续性，存在一定的局限性；伊廷华等［4］提出了基于自回归滑动平均模型（ARMA）的“预测延拓”方法，但只对平稳信号有效。相关研究指出，不能任意对信号进行延拓，应保留原信号的频率和带宽特性，否则会影响到真实信号［12］。

本文介绍了基于复Morlet小波变换的结构非线性振动模型参数识别算法，针对小波变换过程中出现的边端效应及较少采样点情况下参数识别精度低等问题，提出了采用BP神经网络对原始信号进行预测延拓，并针对两种非线性振动模型进行了数值模拟与分析。

1 小波理论及信号的连续小波变换

在小波分析中，主要讨论的函数空间是 L2（R）。L2（R）是指R上平方可积函数构成的函数空间，即：

如果 f（t）∈L2（R），则称 f（t）为能量有限信号。L2（R）也被称为能量有限的信号空间。如果ψ（t）∈L2（R），其傅里叶变换 ψ＾（ω）满足容许条件（Admissible Condition）：

即Cψ有界，则称ψ为一个基小波或母小波（Mother Wavelet）。将母小波经过伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列：

其中，a，b∈R，且 a＞0，称 a为伸缩因子，b为平移因子。

定义下式：

为关于基小波ψ的连续小波变换。其中，ψ*（·）表示复共轭运算。从式（4）可知变换后的函数是二维的，即小波变换把原来的一维时域信号映射到为二维“时间—尺度”域上，以便分析信号的时—频特性。定义以下变换：

为关于基小波ψ的小波逆变换。小波逆变换是把二维信号重构回原来的一维信号。

目前常用的小波函数有：Haar小波，Morlet小波，Daubechies小波，Cgau小波，复Morlet小波等。但是复解析小波变换将Hilbert变换与小波分析紧密结合在一起，具有很好的自适应分析能力［13］。本文采用复Mor-let小波变换进行参数识别，它的表达式为：

其中，fc为小波的中心频率，fb为带宽参数。严格来讲，因复Morlet小波的傅里叶变换不满足容许性条件，因此它不是一个真正的小波。但当时，复 Mor-let近似满足容许条件，可以作为小波使用［14］。复Mor-let小波在时、频域均具有很好的局部性，信号的频率f与尺度a之间的关系为：

其中，fs为信号的采样频率。

2 基于复M orlet小波变换弱Duffing模型参数提取过程

对于有如下表达形式的信号：

其中，φ（t）＝ω0t＋β（t）。如果式（8）中信号的频率变化率相对于振幅变化率来说大很多，则信号从整体来看是一个幅度变化平缓的信号即为渐进信号。对于弱Duffing系统的自由衰减响应而言，在阻尼较小的情况下可以看成渐进信号。渐进信号x（t）的复Morlet小波变换系数可近似表示为［15］：

大多数情况下是通过小波变换系数的模｜Wx（a，b）｜的最大值提取小波脊，但是尺度决定了分析窗的频带，则小波变换存在频移现象，此现象会对参数识别精度有影响，代煜等［5］提出了从｜Wx（a，b）中提取小波脊线以消除这种现象的影响。本文采用此方法，则小波脊线上的小波变换系数表示为：

其中，a＝a（b）是b的函数。则根据式（10）可以得出：

其中，A（b）、φ（b）分别为信号的瞬时振幅和相位，则信号的瞬时圆频率为：

则根据式（7）和式（11）可求出系统的瞬时频率和瞬时振幅。

对于弱Duffing系统的立方刚度的自由振动方程为：

由多尺度法求得方程的一阶近似解为：

其中，a0为初始振幅，β0为初相位。则系统的瞬时振幅和瞬时圆频率分别为：

再由式（17）利用最小二乘法拟合出从而可得出参数ω0和α的识别值。

3 BP神经网络预测延拓信号

BP神经网络是一种多层前馈神经网络，该网络的主要特点是信号前向传递，误差反向传播。在前向传递中，输入信号从输入层经隐含层逐层处理，直至输出层。每一层的神经元只影响下一层神经元状态。如果输出层得不到期望输出，则转入反向传播，根据预测误差调整网络权值和阈值，从而使BP神经网络预测输出不断逼近期望输出［16］。BP神经网络的拓扑结构如图1所示。

图1 BP神经网络Fig．1 BP neural network

在图1中，x1，x2，…，xn是 BP神经网络的输入值，y1，…，ym是 BP神经网络的预测值，ωij和 ωjk是神经网络的权值。从图1中可看出，BP神经网络可看成一个非线性函数，网络输入值和预测值分别为函数的自变量和因变量。BP神经网络预测前先要训练网络，通过训练使网络具有联想和预测能力。训练网络的过程包括：网络初始化、隐含层输出计算、输出层输出计算、误差计算、权值更新、阈值更新，最后判断算法迭代是否结束，若没结束，返回第二步［16］。

基于BP神经网络对信号进行预测分为以下三步：BP神经网络构建、BP神经网络训练和BP神经网络预测。本文对于信号进行预测，是利用前两时刻的值预测下一时刻的值，则选用BP神经网络的结构为2－5－1，即输入层有2个节点，隐含层有5个节点，输出层有1个节点。本文先用已有的样本点进行网络训练，再用训练好的网络进行预测。

4 数值算例

4.1 算例（一）

本文首先采用弱Duffing非线性振动模型：·u·＋ω20u＋2μu2·u＋αu3＝0，ω0＝100，μ＝0．008，α＝3，采样频率为1 000 Hz，振动时间为0～0．6 s，初始振幅为100 mm，用Simulink搭建了模型，然后采用四阶龙格—库塔法进行计算，振动响应如图2实线所示。为了识别参数，采用复Morlet小波函数ψ（t）对响应信号和预测后的信号进行小波变换，根据上面提到的方法提取小波脊线，然后得到系统的瞬时振幅和瞬时圆频率，进而识别未知参数。

图2 原始信号和预测信号Fig．2 Original signal and predicted signal

4．1．1 边端效应

对图2的振动响应原始信号和预测信号分别进行小波变换，小波变换量图分别见图3、4，瞬时振幅与时间的关系及瞬时圆频率与时间的关系分别见图5、6，瞬时振幅与瞬时圆频率之间的关系见图7，小波系数平方的倒数与时间的关系见图8。图中实线表示原始信号经复Morlet小波变换得出的各种关系图，虚线表示预测信号经复Morlet小波变换得出的各种关系图。从图5～8可以看出对利用BP神经网络预测后的信号进行复Morlet小波变换能很好的解决边端效应。由图7可识别出ω0和α，由图8可识别出μ，原始信号和预测后的信号的参数识别结果见表1。从表1可看出：直接用0～0．6 s的数据进行参数识别，预测后的信号参数识别值更接近真实值，误差比直接用原始信号小得多；取0．2～0．5 s时间段的数据进行参数识别时，用预测后的信号误差比用原始信号的误差稍微减小。

图3 原始信号小波变换量图Fig．3Wavelet scalogram of the original signal

图4 预测信号小波变换量图Fig．4Wavelet scalogramof the predicted signal

图5 瞬时振幅与时间的关系曲线Fig．5 The relation curve of instantaneous amplitude and time

图6 瞬时圆频率与时间的关系曲线Fig．6 The relation curve of instantaneous angular frequency and time

图7 瞬时圆频率与瞬时振幅的关系曲线Fig．7 The relation curve of instantaneous angular frequency and instantaneous amplitude

图8小波系数平方的倒数与时间的关系曲线Fig．8 The relation curve of inverse square of the wavelet coefficients and time

表1 参数识别值及其误差Tab．1 Parameter identification values and their error

另外，因实际采集的信号会被噪声污染，所以也考虑了在仿真数据中叠加一定的白噪声的情况下该方法的有效性。加入白噪声的幅度由信噪比（SNR）来控制，信噪比定义为信号的均方差与噪声的均方差之比。由于神经网络预测对于噪声比较敏感，所以本文先对加入白噪声的信号进行了滤波处理，然后用BP神经网络对处理后的信号进行预测延拓，最后用复morlet小波识别出未知参数。表2给出了不同噪声水平下参数识别的相对误差。定义相对误差为：

从表2中可以看出，在信噪比达到5的情况下，参数识别值的相对误差仍在10%以内，这表明该方法对噪声具有一定的鲁棒性。

表2 不同噪声水平下参数识别的相对误差Tab．2 The relative error of param eter identification under different noise levels

4．1．2 较少采样点

对上述系统取0～0．2 s的振动响应如图9实线所示，然后进行复Morlet小波变换，小波变换量图见图10，各变量的关系如图12～15实线所示。从图中的结果可以看出因采样点太少及边端效应的影响，无法对参数进行识别。采用BP神经网络对信号进行预测延拓后，再进行复Morlet小波变换，小波变换量图见图11，各变量的关系如图12～15虚线所示，取图14、15的0．15～0．3 s时间段的数据进行参数识别，可以很好识别出未知参数，识别结果见表3。由此可知，在采样点较少的情况下，利用BP神经网络对信号进行延拓，是很有效的方法。

图9 采样点较少情况下的原始信号和预测信号Fig．9 Original signal and predicted signal in the less sampling points

图10 原始信号的小波量图Fig．10 Wavelet scalogram of the original signal

图11 预测信号的小波量图Fig．11 Wavelet scalogram of the predicted signal

图12 瞬时振幅与时间的关系曲线Fig．12 The relation curve of instantaneous amplitude and time

图13 瞬时圆频率与时间的关系曲线Fig．13 The relation curve of instantaneous angular frequency and time

图14 瞬时圆频率与瞬时振幅的关系曲线Fig．14 The relation curve of instantaneous angular frequency and instantaneous amplitude

表3 参数识别值及其误差Tab．3 Parameter identification values and their error

4.2 算例（二）

为了验证本文的算法对于不同非线性振动模型的有效性，下面考虑第二个非线性振动模型为：

其利用多尺度法解得一阶近似解为：

其中，a0为初始振幅，β0为初相位。同理系统的瞬时振幅和瞬时圆频率分别为：

则有 ln（A（t））＝ln（a0）－δt即（a0）－δt，从而可知在小波脊线上｜的对数与时间t呈直线的关系，则直线斜率的绝对值为参数δ

的识别值。接着，由式（7）可得：ω（t）再由式（24）利用最小二乘法拟合出从而可得出参数ω0和ε的识别值。

对于上述模型取 δ＝3．4，ε＝3，ω0＝120，同样采样频率为1 000 Hz，振动时间为0～1．0 s，初始振幅为100 mm，用Simulink搭建模型，然后采用四阶龙格—库塔法进行计算，振动响应如图16实线所示。为了识别参数，同样采用复Morlet小波函数2对响应信号和预测后的信号进行小波变换，根据上面提到的方法提取小波脊线，然后得到系统的瞬时振幅和瞬时圆频率，进而识别未知参数。

图15 小波系数平方的倒数与时间的关系曲线Fig．15 The relation curve of inverse square of the wavelet coefficients and time

图16 原始信号和预测信号Fig．16 Original signal and predicted signal

图17 原始信号小波变换量图Fig．17Wavelet scalogram of the original signal

4．2．1 边端效应

对图16的振动响应原始信号和预测信号分别进行小波变换，小波变换量图分别见图17、18，瞬时振幅与时间的关系及瞬时圆频率与时间的关系分别见图19、20，瞬时振幅与瞬时圆频率之间的关系见图21，小波系数的对数与时间的关系见图22。图中实线表示原始信号经复Morlet小波变换得出的各种关系图，虚线表示预测信号经复Morlet小波变换得出的各种关系图。从图19～22可以看出对利用BP神经网络预测后的信号进行复Morlet小波变换能很好的解决边端效应。由图21可识别出ω0和ε，由图22可识别出δ，原始信号和预测后的信号的参数识别结果见表4。从表4可看出：直接用0～1．0 s的数据进行参数识别，预测后的信号参数识别值更接近真实值，误差比直接用原始信号小；取0．2～0．8 s时间段的数据进行参数识别时，从图19～22可以看出，在时间段0．2～0．8 s上预测前后数据是完全重合的，故在这个时间段上参数识别的值是一样的。

图18 预测信号小波变换量图Fig．18Wavelet scalogram of the predicted signal

图19 瞬时振幅与时间的关系曲线Fig．19 The relation curve of instantaneous amplitude and time

图20 瞬时圆频率与时间的关系曲线Fig．20 The relation curve of instantaneous angular frequency and time

图21 瞬时圆频率与瞬时振幅的关系曲线Fig．21 The relation curve of instantaneous angular frequency and instantaneous amplitude

图22 小波系数的对数与时间的关系曲线Fig．22 The relation curve of logarithm of the wavelet coefficients and time

图23 采样点较少情况下的原始信号和预测信号Fig．23 Original signal and predicted signal in the less sampling points

表4 参数识别值及其误差Tab．4 Parameter identification values and their error

同样，此算例也考虑了噪声影响的情况，表5给出了不同噪声水平下参数识别的相对误差。从表中可以看出信噪比达到4时，参数识别值的相对误差在10%以内，这表明该方法对噪声依然具有较好的鲁棒性。

表5 不同噪声水平下参数识别的相对误差Tab．5 The relative error of parameter identification under different noise levels

4．2．2 较少采样点

对算例二取0～0．3 s的振动响应如图23实线所示，然后进行复Morlet小波变换，小波变换量图见图24，各变量的关系如图26～29实线所示。从图中的结果可以看出因采样点太少及边端效应的影响，无法对参数进行识别。采用BP神经网络对信号进行预测延拓后，再进行复Morlet小波变换，小波变换量图见图25，各变量的关系如图26～29虚线所示，取图28～29的0．2～1．1 s时间段的数据进行参数识别，可以很好识别出未知参数，识别结果见表6。由此可知，对于此模型在采样点较少的情况下，利用BP神经网络对信号进行延拓，也是很有效的方法。

图24 原始信号的小波量图Fig．24Wavelet scalogram of the original signal

图25 预测信号的小波量图Fig．25Wavelet scalogram of the predicted signal

图26 瞬时振幅与时间的关系曲线Fig．26 The relation curve of instantaneous amplitude and time

图27 瞬时圆频率与时间的关系曲线Fig．27 The relation curve of instantaneous angular frequency and time

图28 瞬时圆频率与瞬时振幅的关系曲线Fig．28 The relation curve of instantaneous angular frequency and instantaneous amplitude

图29 小波系数的对数与时间的关系曲线Fig．29 The relation curve of logarithm of the wavelet coefficients and time

表6 参数识别值及其误差Tab．6 Parameter identification values and their error

5 结 论

本文利用BP神经网络很好地解决了信号复Morlet小波变换所产生的边端效应，使非线性系统的参数识别精度有所提高。尤其是在采样点较少的情况下，原始信号进行复Morlet小波变换后不能够进行参数识别；而采用BP神经网络进行信号的预测延拓，并且基于预测延拓的结果利用复Morlet小波变换进行参数识别，可较好地识别出结构非线性模型的未知参数。而且利用BP神经网络预测的信号，能保持原始信号的变化趋势，不失信号的原有特征。同时，本文也验证了该方法对噪声具有很好的鲁棒性。训练时所需的样本点，原则上是越多效果越好，在本文算例中较少采样点的情况下，用200左右的样本点就能达到很好的效果，这为非线性系统的参数在线识别奠定了一定的基础。

［1］Staszewski W J．Identification of non-linear systems using multi-scale ridges and skeletons of thewavelet transform［J］．Journal of Sound and Vibration，1998，214（4）：639－658．

［2］Ta M N，Lardiès J．Identification of weak nonlinearities on damping and stiffness by the continuous wavelet transform［J］．Journal of Sound and Vibration，2006，293（1）：16－37．

［3］任宜春．基于小波分析的结构参数识别方法研究［D］．长沙：湖南大学，2007．

［4］伊廷华，李宏男，王国新．基于小波变换的结构模态参数识别［J］．振动工程学报，2006，19（1）：51－56．YI Ting-hua， LI Hong-nan， WANG Guo-xin． Structural modal parameter identification based on wavelet transform［J］．Journal of Vibration Engineering，2006，19（1）：51－56．

［5］代煜，孙和义，李慧鹏，等．基于小波变换的弱非线性阻尼和刚度辨识方法［J］．振动与冲击，2009，28（2）：51－55．DAIYu，SUN He-yi，LI Hui-peng，et al．Identification of weak nonlin-earities in damping and stiffness based on wavelet transform ［J］．Journal of Vibration and Shock，2009，28（2）：51－55．

［6］王超，任伟新，黄天立．基于小波的非线性结构系统识别［J］．振动与冲击，2009，28（3）：10－13．WANG Chao， REN Wei-xin， HUANG Tian-li． System identification of a nonlinear structure based on wavelet transformation［J］．Journal of Vibration and Shock，2009，28（3）：10－13．

［7］史治宇，沈林．基于小波方法的时变动力系统参数识别［J］．振动．测试与诊断，2008，28（2）：108－112．SHIZhi-yu，SHEN Lin．Parameter identification of linear time-Varying dynamical system based on wavelet method［J］．Journal of Vibration，Measurement＆Diagnosis，2008，28（2）：108－112．

［8］许鑫，史治宇，龙双丽．基于小波状态空间法的时变结构瞬时频率识别［J］．中国机械工程，2011，22（8）：901－904．XUXin， SHI Zhi-yu， LONG Shuang-li． Instantaneous frequency identification of a time-varying structure using wavelet-based state space method［J］．China Mechanical Engineering，2011，22（8）：901－904．

［9］许鑫，史治宇．用于时变系统参数识别的状态空间小波方法［J］．工程力学，2011，28（3）：23－28．XUXin，SHIZhi-yu．Parameter identification for time-varying system using state space and wavelet method ［J］．Engineering Mechanics，2011，28（3）：23－28．

［10］Torrence C，Compo GP．A practical guide towaveletanalysis［J］．Bulletin of the American Meteorological society，1998，79（1）：61－78．

［11］ Kijewski T L，Kareem A．Wavelet transforms for system identification and associated processing concerns［A］．15th ASCE Engineering Mechanics Conference［C］．Columbia University，New York，2002．6：1－8．

［12］ Meyers S D，Kelly B G，O’Brien J J．An introduction to wavelet analysis in oceanography and meteorology：With application to the dispersion of Yanai waves［J］．Monthly Weather Review，1993，121（10）：2858－2866．

［13］于德介，成琼，程军圣．基于复解析小波变换的瞬时频率分析方法［J］．振动与冲击，2004，23（1）：108－109．YU De-jie，CHENG Qiong，CHENG Jun-sheng．Transient frequency analysis based on complex analytical wavelet transform and its application to fault diagnosis in gear drive［J］．Journal of Vibration and Shock，2004，23（1）：108－109．

［14］Yan B F，Miyamoto A，Brühwiler E．Wavelet transform-based modal parameter identification considering uncertainty［J］．Journal of Sound and Vibration，2006，291（1－2）：285－301．

［15］ Delprat N，Escudie B，Guillemain P，et al．Asymptotic wavelet and Gabor analysis：Extraction of instantaneous frequencies［J］．IEEE Transactions on Information Theory，1992，38（2）：644－664．

［16］史峰，王小川，郁 磊，等．Matlab神经网络30个案例分析［M］．北京：北京航空航天大学出版社，2010．