桂永方，朱如鹏，靳广虎，李枝军

（南京航空航天大学 江苏省精密与微细制造技术重点实验室，南京 210016）

圆柱齿轮分流传动系统通过简单定轴轮系应用于大功率齿轮传动系统中，在直升机、舰船等领域具有广泛的应用前景。针对分流传动系统，国内外学者开展了一系列的研究工作。White等［1－6］通过设计对比发现：分流传动系统相对于传动行星齿轮传动系统具有终端减速比大、传动级少、能量损失低、可靠性高、齿轮和轴承数少、质量轻和噪声低等优点。Rashidi等［7－10］研究了基于弹性元件和平衡梁均载机构的单输入圆柱齿轮分流传动系统的动力学特性，发现摩擦系数对平衡梁均载机构影响很大，认为安装角、啮合刚度相位是影响系统动力学响应的重要设计参数；计算了连接直齿轮与人字齿轮之间轴的扭转刚度对系统振动能的影响。Gmirya等［11－13］提出了应用于CH－53K直升机的高效分流传动系统，对弹性轴均载性能进行了实验研究。杨振等［14－16］研究了二分支分流传动系统的动力学响应与输入转速之间的关系，采用静力平衡法分析了制造误差和安装误差对传动系统均载系数的影响。董皓等［17］采用变形协调法，研究了双重功率分流传动系统的制造误差和安装误差对系统功率分流的影响。由于齿侧间隙的存在，轮齿间的接触状态会发生变化，导致轮齿间的接触、脱离、再接触的重复冲击，带来的强烈振动和较大的动载荷，影响了分流传动系统的载荷分配。目前，关于齿侧间隙对双输入分流传动系统动态均载特性的研究，鲜有文献报道。

本文以双输入圆柱齿轮分流传动系统为研究对象，考虑左右输入轴之间安装角、轴的横向位移、时变啮合刚和齿侧间隙等因素，基于集中质量法，建立了弯扭耦合的圆柱齿轮分流系统的非线性动力学模型；分析了齿侧间隙对分流传动系统动态均载系数的影响，为圆柱齿轮分流传动系统的设计提供了理论依据。

1 分流传动系统动力学模型

图1为双输入圆柱齿轮分流传动系统示意图。图中，LD和RD分别表示左右输入构件。双输入分流传动系统分为左右两个输入端，每个输入路线由分流级传动系统（左端：输入齿轮ZLp和两分支齿轮ZL1s、ZL2s；右端：输入齿轮ZRp和两分支齿轮ZR1s、ZR2s）与并车级传动系统（左端：两分支齿轮ZL1h、ZL2h；右端：两分支齿轮ZR1h、ZR2h；输出齿轮ZB）组成。扭矩经左右两输入齿轮ZLp和ZRp将扭矩传递给与其同时啮合的两分支齿轮ZL1s与ZL2s和ZR1s与ZR2s，实现扭矩分流；又经过齿轮ZR1h与ZR2h和ZL1h与ZL2h汇流至输出齿轮ZB，实现扭矩并车。齿轮 ZR1s与 ZR1h、ZR2s与 ZR2h、ZL1s与 ZL1h和 ZL2s与ZL2h通过扭力轴相联。图2所示为双输入圆柱齿轮分流传动系统各轴安装角度关系图。

图1 双输入圆柱齿轮分流传动系统示意图Fig．1 Sketch of2－input cylindrical gear split-torque transmission system

图2 双输入圆柱齿轮分流系统安装角度关系图Fig．2 Installation angle of 2－input cylindrical gear split-torque transmission system

图3 双输入圆柱齿轮分流传动系统物理模型Fig．3 Dynamicmodel ofcylindrical gear split－torque transmission system

图3为弹性支承下的双输入圆柱齿轮分流传动系统的物理模型。各级传动轴的支撑刚度分为X、Y两个方向，啮合副、回转副及支撑处的弹性变形用等效弹簧刚度表示。各构件的刚度、阻尼、传递误差和齿侧间隙分别用字母K、c、e、b配合相应的下标表示。

双输入圆柱齿轮分流传动系统共有28个自由度，其广义位移矢量Y可表示为

式中，φjp、φjis和 φjih分别为 Zjp、Zjis和 Zjih的扭转微位移；φjD、φB和φo分别为左右输入端、ZB和输出端的扭转微位移；Xjp和Xji分别为左右输入轴和分支i的坐标系横向位移；Yjp和Yji分别为左右输入轴和分支i的坐标系纵向位移；XB和YB分别为输出轴坐标系横向和纵向位移；j＝L，R，i＝1，2。

2 啮合线综合位移

图4为双输入圆柱齿轮分流传动系统的局部与广义坐标关系图。图中，上标有星号的表示局部坐标，坐标系中的Y、Y*沿齿轮啮合线方向。根据齿轮啮合关系可知，当一个齿轮同时与两个齿轮啮合时，两啮合线的交角与齿轮中心连线的交角相等。设左右输入轴的坐标为左右输入端在输出齿轮上形成的坐标是

设γ为相应齿轮副的压力角的余角，则可得左右输入齿轮副压力角的余角分别为γjnpis和γjnBih。取XB和YB分别表示XLB和YLB，则可得

由图4可得啮合线相对位移与扭转位移之间的关系为：

图4 系统的局部与广义坐标关系图Fig．4 Relationship of partial and generalized coordinates of system

为消除刚体位移，在保持系统拓扑结构不变的前提下，将各轴的扭转位移转换为线位移，则得

式中，rjDp、rjisih和rBo分别是左右输入轴、双联齿轮轴i和输出轴的半径。

根据系统的分流并车闭环结构特点和变形协调的要求，由式（3）与式（4），可求得 YRnB2h为

同理，可以求得相对位移YLnB2h的表达式。

3 分流传动系统的动力学方程

令Fjnpis和FjnBih分别为齿轮副 Zjp与 Zjis和 ZB与 Zjih之间的啮合力，则各齿轮副之间的啮合力为

式中，Kl、fl（Yl）和 cl分别为齿轮副的时变啮合刚度、间隙函数和啮合阻尼，l为jnpis和jnBih。

啮合刚度的时变性采用齿频的间谐周期函数来反映，其表达式为［14］：

式中分别为齿轮副的平均啮合刚度、刚度幅值系数和啮合频率，其中直齿轮啮合刚度均值Kjnpis采用有限元法获得，而人字齿轮啮合刚度均值KjnBih按斜齿轮啮合刚度并联方式计算获得。

设齿轮副间的法向平均啮合间隙为2bl，间隙函数fl（Yl）可表示为

传动系统中，传动轴上受到多对啮合力的作用。为推导系统的微分运动方程，需要将各个啮合力沿轴的广义坐标的两个方向进行分解。由坐标变换矩阵的逆矩阵可得分流传动系统右输入各轴和输出轴沿X、Y方向的合力为

式中，FRpx与FRpy和FRix与FRiy分别为右输入轴，右分支i横向与纵向受力；FBx和FBy分别为输出轴横向受力和纵向受力。

便于计算与分析，引入下述变量，即

根据以上状况分析，建立双输入圆柱齿轮分流传动系统动力学方程组，右输入端方程如式（11）～式（13），分别为

式中，mRp、mRis、mRih和 mB分别为 ZRp、ZRis、ZRih和 ZB的质量；IRp、IRis、IRih和 IB分别为 ZRp、ZRis、ZRih和 ZB的转动惯量；MRi为（mRis＋mRih）。

式中，TjD和To分别为左右输入和输出扭矩；IjD和Io分别为左右输入和输出的转动惯量。

4 动载荷与均载系数计算

采用四阶龙格库塔法求解系统动力学方程，获得系统的位移响应，将位移代入式（6），获得动态啮合力Pjnpis和PjnBih。令Gjnpis和GjnBih分别为分流级和并车级传动系统中各啮合线上的动载系数，则动载系数为：

式中，Pjp和 Pjih分别为（TjD／rjbp）和（Zjis／Zjp）Pjp。

令bjisk1和bjihk2分别为左右输入端每一齿频周期分流级和并车级各分支的均载系数。每一齿频周期中的均载系数［18］为：

式中，k1为 1，2，…，n1；k2为 1，2，…，n2；n1、n2分别为系统周期分流级和并车级的啮合齿频周期数；N为2。

令Ωjis和Ωjih分别为左右输入端系统周期分流级和并车级各齿轮副的均载系数，则系统周期内各齿轮副均载系数为

则左右输入端分流级和并车级系统周期均载系数Ωjs和 Ωjh为

5 均载特性分析

本文进行算例分析的双输入分流传动系统的基本参数如下：

表1 双输入分流传动系统基本参数Tab．1 Basic parameters of 2－input sp lit-torque transm ission system

5．1 传动系统各分支齿频周期均载系数分析

图5所示为分流传动系统的齿频周期均载系数。从图5中可知，系统获得稳定以后，虽然系统几何结构是对称的，但左右输入端的各分支承受的扭矩并不相等，右分支2和左分支1承受的扭矩较大。

5．2 分流级单分支齿侧间隙对传动系统均载特性的影响分析

研究分流级单分支齿侧间隙对系统均载特性的影响时，在其它齿侧间隙不变的情况下，分别改变两输入齿侧间隙 bRnp1s与 bLnp1s、bRnp2s与 bLnp2s，获得系统周期均载系数分别随齿侧间隙bLnp1s与bRnp1s、bLnp2s与 bRnp2s的变化曲线。

图5 分流传动系统的齿频周期均载系数Fig．5 the load sharing coefficient of gearmesh frequency for split-torque transmission system

图6～7所示为分流级单分支齿侧间隙与分流级和并车级均载系数变化关系。分流级均载系数ΩR1s与ΩL1s、ΩR2s与ΩL2s对分流级单边齿侧间隙敏感，随着齿侧间隙bRnp1s与bLnp1s、bRnp2s与bLnp2s增加而增加。分流级单边齿侧间隙对并车级均载影响小，均载系数ΩR2h、ΩL1h分别随齿侧间隙bRnp1s、bLnp2s增大略有增加，分别如图6（a）和7（b）所示；均载系数 ΩL1h、ΩR2h分别随齿侧间隙bLnp1s、bRnp2s增大略有减小，如图 6（b）和图 7（a）所示。

5．3 并车级单分支齿侧间隙对传动系统均载特性的影响分析

图6 均载系数与齿侧间隙bRnp1s、bLnp1s变化关系Fig．6 Relationship between the load sharing coefficient of and backlash bRnp1s、bLnp1s

图7 均载系数与齿侧间隙bRnp2s、bLnp2s变化关系Fig．7 Relationship between the load sharing coefficient of and backlash bRnp2s、bLnp2s

研究并车级单分支齿侧间隙对系统均载特性的影响时，在其它齿侧间隙不变的情况下，分别改变两输入齿侧间隙bRnB1h与bLnB1h、bRnB2h与bLnB2h，获得系统周期均载系数分别随齿侧间隙bLnB1h与bRnB1h、bLnB2h与bRnB2h的变化曲线。

图8～9所示为并车级单分支齿侧间隙与分流级和并车级均载系数变化关系。并车级均载系数ΩR1h与ΩL1h、ΩR2h与ΩL2h对并车级单边齿侧间隙敏感，随齿侧间隙bRnB1h与 bLnB1h、bRnB2h与bLnB2h增加而增加。并车级单边齿侧间隙对分流级均载系数影响小，均载系数ΩR2s、ΩL1s分别随齿侧间隙bRnB1h、bLnB2h增大略有增加，如图8（a）和 9（b）所示；均载系数 ΩL1s、ΩR2s分别随着齿侧间隙 bLnB1h、bRnB2h增大略有减小，如图 8（b）和 9（a）所示。

5．4 分流级双分支齿侧间隙对传动系统的均载特性影响分析

研究分流级双分支齿侧间隙对系统均载特性的影响，分别改变分流级齿侧间隙 bLnp1s、bLnp2s、bRnp1s、bRnp2s，获得系统周期均载系数随分流级以及并车级双分支齿侧间隙变化曲线。

图8 均载系数与齿侧间隙bRnB1h、bLnB1h变化关系Fig．8 Relationship between the load sharing coefficient and backlash bRnB1h、bLnB1h

图9 均载系数与齿侧间隙bRnB2h、bLnB2h变化关系Fig．9 Relationship between the load sharing coefficient and backlash bRnB2h、bLnB2h

图10 右输入均载系数与间隙bRnp1s、bRnp2s变化关系Fig．10 Relationship between the load sharing coefficient of right input and backlash bRnp1s、bLnp2s

图10～11所示为分流级双分支齿侧间隙与分流级和并车级均载系数变化曲线。随着齿轮ZLp与ZL1s、ZL2s以及齿轮 ZRp与 ZR1s、ZR2s啮合副间齿侧间隙 bLnp1s、bLnp2s、bRnp1s、bRnp2s等值变化，分流级均载系数 ΩL2s与 ΩR2s对分流级双边齿侧间隙敏感，随着齿侧间隙bLnp1s与bLnp2s、bRnp1s与 bRnp2s增加而减小，如图 10（a）和图 11（a）所示；分流级双分支齿侧间隙对并车级均载系数影响小，如图10（b）和图11（b）所示。

图11 左输入均载系数与间隙bLnp1s、bLnp2s变化关系Fig．11 Relationship between the load sharing coefficient of left input and backlash bLnp1s、bLnp2s

5．5 并车级双分支齿侧间隙对传动系统的均载特性影响分析

研究并车级双分支齿侧间隙对系统均载特性的影响，分别改变并车级齿侧间隙 bLnB1h、bLnB2h、bRnB1h、bRnB2h，获得系统周期均载系数随分流级以及并车级双分支齿侧间隙变化曲线。

图12～13所示为并车级双分支齿侧间隙与分流级和并车级均载系数变化曲线。随着齿轮ZB与ZL1h、ZL2h，齿轮 ZB与 ZR1h、ZR2h啮合副间齿侧间隙 bLnB1h、bLnB2h、bRnB1h、bRnB2h等值变化，并车级均载系数 ΩL2h与ΩR2h对分流级双边齿侧间隙敏感，随着齿侧间隙bLnB1h与 bLnB2h、bRnB1h与 bRnB2h增加而减小，如图 12（b）和图 13（b）所示；并车级双分支齿侧间隙对分流级均载系数影响小，如图12（a）和图 13（a）所示。

图12 右输入均载系数与间隙bRnB1h、bRnB2h变化关系Fig．12 Relationship between the load sharing coefficient of right input and backlash bRnB1h、bRnB2h

图13 左输入均载系数与间隙bLnB1h、bLnB2h变化关系Fig．13 Relationship between the load sharing coefficient of left input and backlash bLnB1h、bLnB2h

5．6 齿侧间隙对传动系统的动载特性的影响分析

从前面的研究可知，双分支齿侧间隙的同步变化有利于改善均载系数，但是较大的齿侧间隙会导致系统产生较大冲击载荷，影响传动系统的动载系数。为研究齿侧间隙对传动系统动载系数的影响，假设同步改变各齿轮啮合副间齿侧间隙，使其从0～60μm变化，获得动载系数随各齿轮啮合副间齿侧间隙变化曲线，如图14所示。传动系统左右输入的分流级和并车级动载系数随齿侧间隙的增加而增大。并车级动载系数GLnB1h、GLnB2h、GRnB1h和GRnB2h对齿侧间隙敏感度相对分流级动载系数 GLnp1s、GLnp2s、GRnp1s和 GRnp2s高。

图14 动载系数与齿侧间隙变化关系Fig．14 Relationship between dynamic load coefficient and backlash

6 结 论

（1）分流级均载系数随分流级单分支齿侧间隙增加而增大，随分流级双分支齿侧间隙增加而减小；

（2）分流级单分支、双分支齿侧间隙对并车级均载系数影响较小；

（3）并车级均载系数随并车级单分支齿侧间隙增加而增大，随并车级双分支齿侧间隙增加而减小；

（4）并车级单分支、双分支齿侧间隙对分流级均载系数影响较小；

（5）传动系统的动载系数随双分支齿侧间隙的增加而增大。

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